1、第一章 直角三角形的边角关系 1 从梯子的倾斜程度谈起 第1课时 1.能够用正切表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，能够用正切进行简单计算(重点)2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系.(难点)1.正切与梯子的倾斜程度 如图,梯子斜靠在墙上.【思考】(1)AB1C1与AB2C2相似吗?为什么?提示:AB1C1与AB2C2相似.A=A,AC1B1=AC2B2=90,AB1C1AB2C2.(2)如果改变B2在梯子上的位置,那么AB1C1与AB2C2_(填“相似”或“不相似”).相似(3)根据以上探究可知，无论B2在梯子上的哪个位置，都有 (4)梯子的倾
2、斜程度与上面的比值有何关系？提示：上面的比值越大，梯子越陡.222B C.AC111B CAC【总结】(1)正切的定义:在RtABC中,如果锐角A确定,那么A的_与_的比便 随之确定,这个比叫做A的正切,记作_.(2)梯子的倾斜程度与正切的关系:如果梯子与地面的夹角为A,那么tanA的值_,梯子越陡.对边 邻边 tanA 越大 2.坡度 坡面的_与_的比称为坡度(或_),山坡 的坡度常用_描述.铅直高度 水平宽度 坡比 正切 (打“”或“”)(1)一个角所在的直角三角形越大，这个角的正切值也越 大.()(2)一个角的正切值只与这个角的大小有关.()(3)只有直角三角形中的角才有正切值.()(4
3、)一个斜坡的坡角越大，坡度也越大.()(5)在ABC中，()ACtan A.BC 知识点 1 求锐角的正切值【例1】已知ABC中，AB=AC，BD是AC边上的中线，AB=13，BC=10.求tan DBC的值【思路点拨】作高AH，DFBC求出AH的长求出DF的长 在RtDBF中求出tan DBC的值.【自主解答】过点A,D分别作AHBC,DFBC，垂足分别为 点H,F.AB=AC，AHBC，在RtABH中，AHDF，且BD是AC边上的中线，在RtDBF中，11BHBC105.222222AHABBH13512.1DFAH6CFFH2，3315BFBC10442，DF4tan DBC.BF5【总
4、结提升】利用定义求锐角的正切值的“三步法”1.观察：观察所给的锐角是否在直角三角形中.2.转化：如果所给的锐角不在直角三角形中，可通过作辅助线构造直角三角形或利用等量关系代换将锐角“转移”到直角三角形中.3.求解：在直角三角形中求出这个角的对边与邻边的比值，就是这个角的正切值.知识点 2 正切的应用【例2】如图，一段河坝的横断面为梯形ABCD，试根据图中的数据，求出坝底宽AD(i=CEED，单位：m)【解题探究】1.ED与CE有什么关系?ED的长是多少?提示:i=CEED=12,ED=2CE=24=8(m).2.如图,过点B作BFAD于F,则四边形BFEC是什么形状的特殊 四边形?EF,BF的
5、长是多少?提示:四边形BFEC是正方形,则EF=BF=BC=4 m.3.可求出AF的长是多少？那么即可求出坝底宽AD.提示：在RtABF中，由勾股定理可得：根据以上探究，可得坝底ADAF+FE+ED 3+4+815(m)22AF543 m【互动探究】在上题中，斜坡AB的坡度是多少？提示：在RtAFB中，因BF=4，AF=3，所以斜坡AB的坡度 为 4.3【总结提升】坡度的常见用法和两点注意 坡度的常见用法：(1)坡度常和实际生活中的问题相结合，如拦水坝、开渠、修路等.(2)坡度常和梯形的知识相结合，解题时常把梯形转化为三角形和矩形求解.两点注意：(1)坡度是两条线段的比值，不是度数.(2)坡度
6、是铅直高度与水平宽度的比，而不是斜面距离与水平宽度(或铅直高度)的比.题组一：求锐角的正切值 1.如图，在84的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan ACB的值 为()112ABCD 3322【解析】选A如图，在网格中构造含有ACB的RtACD，在该三角形中 AD21AD2DC6tan ACBDC63，2.某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔A位于客轮P的北偏东 30方向，且相距20海里客轮以60海里/小时的速度沿北偏 西60方向航行 小时到达B处，那么tan ABP()23152 5AB 2CD255【解析】选A如图，在PAB中，APB6030
7、90，PA20海里，(海里)，故 2PB60403PA201tan ABP.PB4023.(2013济南中考)已知直线l1l2l3l4，相邻的两条 平行直线间的距离均为h，矩形ABCD的四个顶点分别在这四 条直线上，放置方式如图所示，AB=4，BC=6，则tan 的值 等于()2343A.B.C.D.3432【解析】选C.如图，作AMl4于点M，作CNl4于点N，则AM=h，CN=2h，ABM+BAM=90，四边形ABCD是矩形，ABC=90，ABM+=90，BAM=，ABMBCN，BM=AMtan=htan，BMCN.ABBC44htan2htan.63 ，4.在ABC中，C=90，AB=5
8、，BC=4，则tan A=_.【解析】由勾股定理，得 答案：2222ACABBC543，BC4tan A.AC3435.如图，在ABC中，AC4，BC3，CDAB于点D，BD2,求tan A，tan B的值.【解析】在RtBDC中，BC3，BD2，在RtADC中,2222CDBCBD325.CD5tan B.BD2AC4,CD5,2222ADACCD4(5)11.CD555tan A.AD1111题组二：正切的应用 1.如图，在平地上种植树木时，要求株距(相邻两树间的水平距 离)为4 m.如果在坡度为0.75的 山坡上种树，也要求株距为4 m,那么相邻两树间的坡面距离为()A.5 m B.6
9、m C.7 m D.8 m 【解析】选A.由题意可得,如图，AC=4 m，tan A=0.75,则 故BC=3 m，则 BC0.75,4 22AB345 m.2.(2013聊城中考)河堤横断面如图所示，堤高BC=6 m，迎水 坡AB的坡比为 则AB的长为()A.12 mB.4 3 mC.5 3 mD.6 3 m1 3，【解析】选A.在RtABC中，1BCtan A,BC6 m,AC322AC6 3 m,ABBCAC12 m.【变式备选】河堤横断面如图所示，迎水坡AB的坡比为 AB的长是10 m，则堤高BC=_ m 1 3，【解析】在RtABC中，答案：5 BC1tan AAC3，222AC3B
10、C.ABBCAC，22210BC(3BC)BC5 m，3.(2013安顺中考)在RtABC中，则ABC的面积为_.【解析】RtABC中，解得CA=6，答案：24 4C90,tan A,BC8,34C90tan ABC83，BC84tan ACACA3，ABC1S8 6242 4.某人沿着有一定坡度的坡面前进了10 m，此时他与水平地面 的垂直距离为 则这个坡面的坡度为_【解析】如图，由勾股定理，得 斜坡AB的坡度 答案：12 2 5 m，AB10 mBC2 5 m，22ACABBC100 204 5 m，iBC AC2 5 4 512.5.如图,拦水坝的横断面为梯形ABCD,坝顶宽AD=5m,
11、斜坡AB的坡度i=13(指坡面的铅直高度AE与水平宽度BE的比),斜坡DC的坡度i=11.5,已知该拦水坝的高为6m.(1)求斜坡AB 的长.(2)求拦水坝的横断面梯形ABCD 的周长.(注意：本题中的计算过程和结果均保留根号)【解析】(1)在RtABE中，根据勾股定理得，答：斜坡AB 的长为 AE1AE6 mBE3AE18 m.BE3，2222ABAEBE6186 10 m.6 10 m.(2)过点D作DFBC于点F，四边形AEFD是矩形.EF=AD=5 m.又 DF2 DFAE6 mCF3，3CFDF9 m.2BC=BEEFFC=1859=32(m).在RtDCF中，根据勾股定理得，梯形ABCD 的周长为ABBCCDDA 答：梯形ABCD 的周长为 2222DCDFCF693 13 m.6 10323 135376 103 13 m.(376 103 13)m.【想一想错在哪？】如图，ABC中，C=90，BC=6 cm，ABC的面积是多少？3tan B2，提示：对正切的定义理解不透彻，搞错了边之间的比.
