1、四川省成都市重点中学 2012 届高三下期入学考试题 数学 本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。共 150 分。考试时间 120 分钟。参考公式:如果事件 A、B 互斥,那么 球是表面积公式 P(A+B)=P(A)+P(B)S=4R2 如果事件 A、B 相互独立,那么 其中 R 表示球的半径)()()(BPAPBAP 球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P,那么 334 RV n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 其中 R 表示球的半径 knkknnPPCkP)1()(一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给
2、出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的 1.化简:1-3i(3+i)2=()A.14+34 i B.-14-34 i C.12+32 i D.-12-32 i 2.过定点作圆(x-2)2+y2=4 的切线,若这样的切线有且仅有两条,则定点可能是()A.(2,2)B.(2,1)C.(3,2)D.(4,0)3.将 y=2cos(x3+6)的图象按向量a=(-4,-2)平移,则平移后所得图象的解析式为()y=2cos(x3+4)-2 y=2cos(x3-4)+2 y=2cos(x3-12)-2 y=2cos(x3+12)+2 4.在各项均为正数的等比数列an中,若 a5a6=9,则13loga+
3、23loga+103loga 的值为()A.12 B.10 C.8 D.2+log35 5.已知limn2n-an2n+an=1(aR),那么 a 的取值范围是()A.a0 B.a2 且 a-2 C.-2a2 D.a2 6.ABC 中,点 D 在 AB 上,CD 平方ACB若CB=a,CA=b,|a|=1,|b|=2,则CD=A.13a+23b B.23a+13b C.35a+45b D.45a+35b 7.在平面直角坐标系中,若不等式组 xy10,x10,axy10,(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于 2,则 a 的值为()A5 B1 C2 D3 8.下面四个命题:“直线 a直线 b”
4、的充要条件是“a 平行于 b 所在的平面”;“直线 l平面内所有直线”的充要条件是“l平面”;“直线 a、b 为异面直线”的充分不必要条件是“直线 a、b 不相交”;“平面平面”的必要不充分条件是“内存在不共线三点到的距离相等”其中正确命题的序号是 ()A B C D 9.如图所示,过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A、B,交其准线于点 C,若|BC|2|BF|,|AF|3,则此抛物线的方程为()Ay232x By29x Cy292x Dy23x 10.正四棱锥 VABCD 的五个顶点在同一个球面上,若其底面边长为 4,侧棱长为 2 6,则()A球的表面积为 1
5、8 BAB 两点的球面距为 3arccos19 CVA 两点的球面距为 3 2arccos13 D球的体积32 11.某班进行班干部选举,从甲、乙、丙、丁四人中选出 3 人分别担任班长、副班长、团支书,则上届任职的甲、乙、丙三人没有连任原职的概率是()A 512 B1124 C12 D1324 12.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 xO 时,f-1(x)=x,若对任意的 xt,t+2,不等式 f(x)12f(x+t)恒成立,则实数 x 的取值范围是()A.2,+)B.-2,-10,2 C.2,+)D.(0,2 二、填空题:本大题共 4 小题每小题 4 分,共 16 分。13.已知函
6、数 f(x)=11-x的定义域为 A,函数 g(x)=ln(1+x)的定义域为 B,则 AB 等于_.14.已知(3 x-123 x)n的展开式中,第 6 项为常数项,则 x2的系数为_.15.已知 P 点是 60的二面角内一点,它到两个半平面的距离分别为 2 和 3,则它到棱的距离是_.16.以下四个命题:(1)=0.8413,(2)=0.9772,(3)=0.9987 供选用)工厂制造的某机械零件尺寸N(4,19),在一次正常的试验中,取 1000 个零件时,不属于区间(3,5)这个尺寸范围的零件大约有 3 个.抛掷 n 次硬币,记不连续出现两次正面向上的概率为 Pn,则limn Pn=0
7、 若直线 ax+by-3a=0 与双曲线x29-y24=1 有且只有一个公共点,则这样的直线有 2 条.已知函数 f(x)=x+1x+a2,g(x)=x3-a3+2a+1,若存在 x1,x21a,a(a1),使得|f(x1)-g(x2)|9,则 a 的取值范围是(0,4 其中正确的命题是_(写出所有正确的命题序号)成都七中 2012 届高三下期入学考试题(理)二、填空题:13._,14._,15._,16._.三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本小题满分 12 分)设角 A,B,C 是ABC 的三个内角,已知向量 m(sinAsinC
8、,sinBsinA),n(sinAsinC,sinB),且 m n.(1)求角 C 的大小;(2)若向量 s(0,1),t(cosA,2cos2B2),试求|s t|的取值范围 18.(本小题满分 12 分)如图,在四棱柱 ABCDA1B1C1D1中,AA1底面 ABCD,底面 ABCD 是菱形,DAB60,AA14,AB2,点 E 在棱 CC1上,点 F 是棱 C1D1的中点(1)若点 E 是棱 CC1的中点,求证:EF平面 A1BD;(2)试确定点 E 的位置,使得 A1BDE 为直二面角,并说明理由 19.(本小题满分 12 分)如图,由 M 到 N 的电路中有4 个元件,分别标为 T1
9、,T2,T3,T4,电流能通过 T1,T2,T3的概率都是 p,电流能通过 T4的概率是 0.9电流能否通过各元件相互独立已知 T1,T2,T3中至少有一个能通过电流的概率为 0.999 (1)求 p;(2)求电流能在 M 与 N 之间通过的概率;(3)表示 T1,T2,T3,T4中能通过电流的元件个数,求的期望 20.已知数列an的前 n 项和 Sn12n2112 n,数列bn满足 bn22bn1bn0(nN*),且 b311,前 9 项和为 153.(1)求数列an、bn的通项公式;(2)设 cn3nn,数列cn的前 n 项和为 Tn,若对任意正整数 n,Tna,b,求 ba 的最小值 2
10、1.(本小题满分 12 分)已知定点 A(1,0),F(2,0),定直线 l:x12.不在 x 轴上的动点 P与点 F 的距离是它到直线 l 的距离的 2 倍设点 P 的轨迹为 E,过点 F 的直线交 E 于 B、C两点,直线 AB、AC 分别交 l 于点 M、N.(1)求 E 的方程;(2)试判断以线段 MN 为直径的圆是否过点 F,并说明理由 22.(本小题满分 14 分)已知函数 f(x)=x-mx-2lnx 在定义域是单调函数,f(x)是函数 f(x)的导函数.(1)求实数 m 的取值范围;(2)当 m 取得最小值时,数列an满足:a1=m+3,an+1=f(1an+1)-nan+1,
11、nN*.试证:ann+2;1a1+1+1a2+1+1a3+1+1an+1m+1m+4.数学参考答案 1.化简:1-3i(3+i)2=()B A.14+34 i B.-14-34 i C.12+32 i D.-12-32 i 2.过定点作圆(x-2)2+y2=4 的切线,若这样的切线有且仅有两条,则定点可能是()C A.(2,2)B.(2,1)C.(3,2)D.(4,0)3.将 y=2cos(x3+6)的图象按向量a=(-4,-2)平移,则平移后所得图象的解析式为()A y=2cos(x3+4)-2 y=2cos(x3-4)+2 y=2cos(x3-12)-2 y=2cos(x3+12)+2 4
12、.在各项均为正数的等比数列an中,若 a5a6=9,则13loga+23loga+103loga 的值为()B A.12 B.10 C.8 D.2+log35 5.已知limn2n-an2n+an=1(aR),那么 a 的取值范围是()C A.a0 B.a2 且 a-2 C.-2a2 D.a2 6.ABC 中,点 D 在 AB 上,CD 平方ACB若CB=a,CA=b,|a|=1,|b|=2,则CD=(A)13a+23b (B)23a+13b (C)35a+45b (D)45a+35b 【解析】因为CD 平分ACB,由角平分线定理得 ADCA2=DBCB1,所以 D 为 AB 的三等分点,且2
13、2ADAB(CBCA)33,所以2121CDCA+ADCBCAab3333,故选B.7.在平面直角坐标系中,若不等式组 xy10,x10,axy10,(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于 2,则 a 的值为()A5 B1 C2 D3 解析:由 yax1,x1得 A(1,a1),由 x1,xy10 得 B(1,0),由 yax1,xy10得 C(0,1)ABC 的面积为 2,且 a1,SABC12|a1|2,a3.答案:D 8.下面四个命题:“直线 a直线 b”的充要条件是“a 平行于 b 所在的平面”;“直线 l平面内所有直线”的充要条件是“l平面”;“直线 a、b 为异面直线”的充分不必
14、要条件是“直线 a、b 不相交”;“平面平面”的必要不充分条件是“内存在不共线三点到的距离相等”其中正确命题的序号是 ()C A B C D 9.如图所示,过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A、B,交其准线于点C,若|BC|2|BF|,|AF|3,则此抛物线的方程为()Ay232x By29x Cy292x Dy23x 解析:如图所示,分别过点 A、B 作 AA1、BB1与准线垂直,垂足 分别为 A1、B1,由已知条件|BC|2|BF|得|BC|2|BB1|,BCB130,于是可得直线 AB 的倾斜角为 60.方法一:又由|AF|3 得|AF|AA1|312|A
15、C|,于是可得|CF|AC|AF|633,|BF|13|CF|1.|AB|4.直线 AB 的方程为 y 3xp2,代入 y22px 得 3x25px34p20.|AB|AF|BF|AA1|BB1|xAp2xBp2xAxBp53pp83p4,p32,即得抛物线方程为 y23x.方法二:直线 AB 的方程为 y 3xp2.代入抛物线 y22px 得 3x25px34p20,其中 A(xA,yA)满足方程,其中 xA3p2p2,则 p3,将 xA3p2代入式得 4p224p270.解得 p32或92(舍),那抛物线方程为 y23x.答案:D 10.正四棱锥 VABCD 的五个顶点在同一个球面上,若其
16、底面边长为 4,侧棱长为 2 6,则()B A球的表面积为 18 BAB 两点的球面距为 3arccos19 CVA 两点的球面距为 3 2arccos13 D球的体积32 11.某班进行班干部选举,从甲、乙、丙、丁四人中选出 3 人分别担任班长、副班长、团支书,则上届任职的甲、乙、丙三人没有连任原职的概率是()A 512 B1124 C12 D1324 解析:分类:不选丁,有 2 种任职方案,选丁有 3 种选法如:甲、乙、丁任职,甲任原乙职,则乙有两种任职方案,或直接先安排丁任职有 3 种方案,共有不同任职方案 12+33=ll(种),期本事件共有 24 种答案:B 12.设 f(x)是定义
17、在 R 上的奇函数,且当 xO 时,f-1(x)=x,若对任意的 xt,t+2,不等式 f(x)12f(x+t)恒成立,则实数 x 的取值范围是()C A.2,+)B.-2,-10,2 C.2,+)D.(0,2 四、填空题:本大题共 4 小题每小题 4 分,共 16 分。13.已知函数 f(x)=11-x的定义域为 A,函数 g(x)=ln(1+x)的定义域为 B,则 AB 等于_AB=x|-1x1),使得|f(x1)-g(x2)|9,则 a 的取值范围是(1,4 其中正确的命题是_(写出所有正确的命题序号)(1),(2),(4)五、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明
18、,证明过程或演算步骤)17.(本小题满分 12 分)设角 A,B,C 是ABC 的三个内角,已知向量 m(sinAsinC,sinBsinA),n(sinAsinC,sinB),且 m n.(1)求角 C 的大小;(2)若向量 s(0,1),t(cosA,2cos2B2),试求|s t|的取值范围 解:(1)由题意得 mn(sin2Asin2C)(sin2Bsin Asin B)0.即 sin2Csin2Asin2Bsin Asin B,由正弦定理得 c2a2b2ab,再由余弦定理得 cos Ca2b2c22ab12,0C,C3.(2)stcos A,2cos2B21(cos A,cos B)
19、,|st|2cos2Acos2Bcos2Acos223 A 1cos 2A21cos43 2A2 14cos 2A 34 sin 2A112sin2A6 1.0A23,6 2A6 76,12sin2A6 1,所以12|st|254,故 22|st|52.18.(本小题满分 12 分)如图,在四棱柱 ABCDA1B1C1D1中,AA1底面 ABCD,底面 ABCD 是菱形,DAB60,AA14,AB2,点 E 在棱 CC1上,点 F 是棱 C1D1的中点(1)若点 E 是棱 CC1的中点,求证:EF平面 A1BD;(2)试确定点 E 的位置,使得 A1BDE 为直二面角,并说明理由(1)证明:取
20、 AB 的中点 G,连接 GD,底面 ABCD 是菱形,DAB60,AB2,ABD 是正三角形,DGAB,DG 3,又ABCD,DGDC,四棱柱 ABCDA1B1C1D1 为直四棱柱,AA1DD1,A1A底面ABCD,DD1底面 ABCD.以 D 为坐标原点,射线 DG 为 x 轴的正半轴,射线 DC 为 y 轴的正半轴,射线 DD1 为 z 轴的正半轴建立如图所示空间直角坐标系Dxyz.依题意得 B(3,1,0),C(0,2,0),A1(3,1,4),E(0,2,2),F(0,1,4)则EF(0,1,2),DB(3,1,0),DA1(3,1,4)设面 A1BD 的法向量为 n(x,y,z),
21、nDA10nDB0 3xy4z03xy0,令 z32,则 x 3,y3,n(3,3,32)nEF0,又EF面 A1DB,EF平面 A1BD.(2)设 E(0,2,c),则DE(0,2,c),设面 EBD 的法向量为 m(x,y,z)mDE0mDB02ycz03xy0,则x 33 yz2cy,令 y3,则法向量 m3,3,6c二面角 A1BDE 为直二面角,面 A1BD面 BDE,mn399c0,c34,所以当 EC34时,二面角 A1BDE 为直二面角 19.(本小题满分 12 分)如图,由 M 到 N 的电路中有4 个元件,分别标为 T1,T2,T3,T4,电流能通过 T1,T2,T3的概率
22、都是 p,电流能通过 T4的概率是 0.9电流能否通过各元件相互独立已知 T1,T2,T3中至少有一个能通过电流的概率为 0.999 (1)求 p;(2)求电流能在 M 与 N 之间通过的概率;(3)表示 T1,T2,T3,T4中能通过电流的元件个数,求的期望 20.已知数列an的前 n 项和 Sn12n2112 n,数列bn满足 bn22bn1bn0(nN*),且 b311,前 9 项和为 153.(1)求数列an、bn的通项公式;(2)设 cn3nn,数列cn的前 n 项和为 Tn,若对任意正整数 n,Tna,b,求 ba 的最小值 解:(1)因为 Sn12n2112 n,当 n2 时,a
23、nSnSn1n5,当 n1 时 a1S16,满足上式,所以 ann5,又因为 bn22bn1bn0,所以数列bn为等差数列,由 S93b72153,b311,故 b723,所以公差 d231173 3,所以 bnb3(n3)d3n2,(2)由(1)知 cn3nn1 1212n112n1,所以 Tnc1c2cn 12113 1315 12n112n1 12112n1 n2n1,又因为 Tn1Tn n12n3n2n110,所以Tn单调递增,故(Tn)minT113,而 Tnn2n1 n2n12,故13Tn12,所以对任意正整数 n,Tna,b时,a 的最大值为13,b 的最小值为12,故(ba)m
24、in 121316.21.(本小题满分 12 分)已知定点 A(1,0),F(2,0),定直线 l:x12.不在 x 轴上的动点 P与点 F 的距离是它到直线 l 的距离的 2 倍设点 P 的轨迹为 E,过点 F 的直线交 E 于 B、C两点,直线 AB、AC 分别交 l 于点 M、N.(1)求 E 的方程;(2)试判断以线段 MN 为直径的圆是否过点 F,并说明理由 解:(1)设 P(x,y),则2y22x12,化简得 x2y231(y0)(2)当直线 BC 与 x 轴不垂直时,设 BC 的方程为 yk(x2)(k0),与双曲线方程 x2y231 联立消去 y 得(3k2)x24k2x(4k
25、23)0.由题意知,3k20 且 0.设 B(x1,y1),C(x2,y2),则 x1x2 4k2k23,x1x24k23k23,y1y2k2(x12)(x22)k2x1x22(x1x2)4 k24k23k23 8k2k234 9k2k23.因为 x1,x21,所以直线 AB 的方程为 yy1x11(x1),因此 M 点的坐标为12,3y11,FM32,3y11.同理可得FN32,3y22.因此FMFN32 32 9y1y212 9481k2k2344k23k23 4k2k2310.当直线 BC 与 x 轴垂直时,其方程为 x2,则 B(2,3),C(2,3),AB 的方程为 yx1,因此 M
26、 点的坐标为12,32,FM32,32.同理可得FN32,32.因此FMFN32 32 32 320.综上,FMFN0,即 FMFN.故以线段 MN 为直径的圆过点 F.22.(本小题满分 14 分)已知函数 f(x)=x-mx-2lnx 在定义域是单调函数,f(x)是函数 f(x)的导函数.(1)求实数 m 的取值范围;m1(2)当 m 取得最小值时,数列an满足:a1=m+3,an+1=f(1an+1)-nan+1,nN*.试证:ann+2;1a1+1+1a2+1+1a3+1+1an+1m+1m+4.(1)f(x)=x2-2x+mx2,当 f(x)单调递增时,m1;f(x)在定义域内不单调递减.(2)m=1,an+1=an2-nan+1用数学归纳法证明:1 当1n时,143 1 2a ,不等式成立;2 假设当kn 时,不等式成立,即2kak,那 么,1()1(2)(2)13kkkaa akkkkk 也 就 是 说,当1 kn时,1(1)2kak 根据1 和2,对于所有1n,有2 nan.由1)(1naaannn及,对2k,有1)1(11kaaakkk1)121(1kkak121 ka1222211kkkaa1)1(211 ak于是11111112kkaa,2k.1211111112nkkaa nkka1112111121a22145 版权所有:高考资源网()