1、1合情推理(1)归纳推理定义:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳)特点:由部分到整体、由个别到一般的推理(2)类比推理定义:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)特点:由特殊到特殊的推理(3)合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想的推理,我们把它们统称为合情推理2演绎推理(1)演绎推理从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推
2、理简言之,演绎推理是由一般到特殊的推理(2)“三段论”是演绎推理的一般模式,包括:大前提已知的一般原理;小前提所研究的特殊情况;结论根据一般原理,对特殊情况做出的判断【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确,类比推理得到的结论一定正确()(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质,这是一种合情推理()(3)在类比时,平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适()(4)“所有3的倍数都是9的倍数,某数m是3的倍数,则m一定是9的倍数”,这是三段论推理,但其结论是错误的()(5)一个数列的前三项是1,2,3,那么这个数列的通项公式是
3、ann(nN*)()(6)在演绎推理中,只要符合演绎推理的形式,结论就一定正确()1观察下列各式:ab1,a2b23,a3b34,a4b47,a5b511,则a10b10等于()A28 B76C123 D199答案C解析从给出的式子特点观察可推知,等式右端的值,从第三项开始,后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和,依据此规律,a10b10123.2下面几种推理过程是演绎推理的是()A在数列an中,a11,an(an1)(n2),由此归纳数列an的通项公式B由平面三角形的性质,推测空间四面体性质C两直线平行,同旁内角互补,如果A和B是两条平行直线与第三条直线形成的同旁内角,则AB180D
4、某校高二共10个班,1班51人,2班53人,3班52人,由此推测各班都超过50人答案C解析A、D是归纳推理,B是类比推理,C符合三段论模式,故选C.3(2017济南调研)类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质,可得出空间内的下列结论:垂直于同一个平面的两条直线互相平行;垂直于同一条直线的两条直线互相平行;垂直于同一个平面的两个平面互相平行;垂直于同一条直线的两个平面互相平行则正确的结论是_答案解析显然正确;对于,在空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行,也可以异面或相交;对于,在空间中垂直于同一个平面的两个平面可以平行,也可以相交4(教材改编)在等差数列an中,若a100,则
5、有a1a2ana1a2a19n (n19,nN*)成立,类比上述性质,在等比数列bn中,若b91,则存在的等式为_答案b1b2bnb1b2b17n(n17,nN*)解析利用类比推理,借助等比数列的性质,bb1nb17n,可知存在的等式为b1b2bnb1b2b17n(n17,nN*)5(2017西安质检)观察下列式子:1,121,12321,1234321,由以上可推测出一个一般性结论:对于nN*,12n21_.答案n2解析112,12122,1232132,123432142,归纳可得12n21n2.题型一归纳推理命题点1与数字有关的等式的推理例1(2016山东)观察下列等式:2212;222
6、223;222234;222245;照此规律,2222_.答案n(n1)解析观察等式右边的规律:第1个数都是,第2个数对应行数n,第3个数为n1.命题点2与不等式有关的推理例2(2016山西四校联考)已知x(0,),观察下列各式:x2,x3,x4,类比得xn1(nN*),则a_.答案nn解析第一个式子是n1的情况,此时a111;第二个式子是n2的情况,此时a224;第三个式子是n3的情况,此时a3327,归纳可知ann.命题点3与数列有关的推理例3古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数,如三角形数1,3,6,10,第n个三角形数为n2n,记第n个k边形数为N(n,k)(k3),以下列出
7、了部分k边形数中第n个数的表达式:三角形数 N(n,3)n2n,正方形数 N(n,4)n2,五边形数 N(n,5)n2n,六边形数 N(n,6)2n2n. 可以推测N(n,k)的表达式,由此计算N(10,24)_.答案1 000解析由N(n,4)n2,N(n,6)2n2n,可以推测:当k为偶数时,N(n,k)n2n,N(10,24)100101 1001001 000.命题点4与图形变化有关的推理例4(2017大连调研)某种树的分枝生长规律如图所示,第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5,则预计第10年树的分枝数为()A21 B34 C52 D55答案D解析由211,312,523知,
8、从第三项起,每一项都等于前两项的和,则第6年为8,第7年为13,第8年为21,第9年为34,第10年为55,故选D.思维升华归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的等式的推理观察数字特点,找出等式左右两侧的规律及符号可解(2)与不等式有关的推理观察每个不等式的特点,注意是纵向看,找到规律后可解(3)与数列有关的推理通常是先求出几个特殊现象,采用不完全归纳法,找出数列的项与项数的关系,列出即可(4)与图形变化有关的推理合理利用特殊图形归纳推理得出结论,并用赋值检验法验证其真伪性(1)(2015陕西)观察下列等式:1,1,1,据此规律,第n个等式可为_(2)(2016抚顺模拟)观察下图,
9、可推断出“x”处应该填的数字是_答案(1)1(2)183解析(1)等式左边的特征:第1个等式有2项,第2个有4项,第3个有6项,且正负交错,故第n个等式左边有2n项且正负交错,应为1;等式右边的特征:第1个有1项,第2个有2项,第3个有3项,故第n个有n项,且由前几个的规律不难发现第n个等式右边应为.(2)由前两个图形发现:中间数等于四周四个数的平方和,“x”处应填的数字是325272102183.题型二类比推理例5(1)(2017西安月考)对于命题:如果O是线段AB上一点,则|0;将它类比到平面的情形是:若O是ABC内一点,有SOBCSOCASOBA0;将它类比到空间的情形应该是:若O是四面
10、体ABCD内一点,则有_(2)求 的值时,采用了如下方法:令 x,则有x,解得x(负值已舍去)可用类比的方法,求得1的值为_答案(1)VOBCDVOACDVOABDVOABC0(2)解析(1)线段长度类比到空间为体积,再结合类比到平面的结论,可得空间中的结论为VOBCDVOACDVOABDVOABC0.(2)令1x,则有1x,解得x(负值已舍去)思维升华(1)进行类比推理,应从具体问题出发,通过观察、分析、联想进行类比,提出猜想其中找到合适的类比对象是解题的关键(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比;低维的与高维的类比;等差数列与等比数列类比;数的运算与向量的运算类比;圆锥曲线间的类比等在平
11、面上,设ha,hb,hc是三角形ABC三条边上的高,P为三角形内任一点,P到相应三边的距离分别为Pa,Pb,Pc,我们可以得到结论:1.把它类比到空间,则三棱锥中的类似结论为_答案1解析设ha,hb,hc,hd分别是三棱锥ABCD四个面上的高,P为三棱锥ABCD内任一点,P到相应四个面的距离分别为Pa,Pb,Pc,Pd,于是可以得出结论:1.题型三演绎推理例6设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn,满足4Sna4n1,nN*,且a2,a5,a14构成等比数列(1)证明:a2;(2)求数列an的通项公式;(3)证明:对一切正整数n,有0,a2.(2)解当n2时,4Sn1a4(n1)1,4an4
12、Sn4Sn1aa4,即aa4an4(an2)2,又an0,an1an2,当n2时,an是公差为2的等差数列又a2,a5,a14成等比数列,aa2a14,即(a26)2a2(a224),解得a23.由(1)知a11,又a2a1312,数列an是首项a11,公差d2的等差数列an2n1.(3)证明(1)()()(1).思维升华演绎推理是由一般到特殊的推理,常用的一般模式为三段论,演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系,解题时要找准正确的大前提,一般地,若大前提不明确时,可找一个使结论成立的充分条件作为大前提(1)某国家流传这样的一个政治笑话:“鹅吃白菜,参议员先生也吃白菜,所以参议员先生是鹅”结
13、论显然是错误的,是因为()A大前提错误 B小前提错误C推理形式错误 D非以上错误(2)(2016洛阳模拟)下列四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是()A大前提:无限不循环小数是无理数;小前提:是无理数;结论:是无限不循环小数B大前提:无限不循环小数是无理数;小前提:是无限不循环小数;结论:是无理数C大前提:是无限不循环小数;小前提:无限不循环小数是无理数;结论:是无理数D大前提:是无限不循环小数;小前提:是无理数;结论:无限不循环小数是无理数答案(1)C(2)B解析(1)因为大前提“鹅吃白菜”,不是全称命题,大前提本身正确,小前提“参议员先生也吃白菜”本身也正确,但不是大前提下的特
14、殊情况,鹅与人不能类比,所以不符合三段论推理形式,所以推理形式错误(2)A中小前提不是大前提的特殊情况,不符合三段论的推理形式,故A错误;C、D都不是由一般性命题到特殊性命题的推理,所以C、D都不正确,只有B正确,故选B.10高考中的合情推理问题考点分析合情推理在近年来的高考中,考查频率逐渐增大,题型多为选择、填空题,难度为中档解决此类问题的注意事项与常用方法:(1)解决归纳推理问题,常因条件不足,了解不全面而致误应由条件多列举一些特殊情况再进行归纳(2)解决类比问题,应先弄清所给问题的实质及已知结论成立的缘由,再去类比另一类问题典例(1)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小
15、石子表示数他们研究过如图所示的三角形数:将三角形数1,3,6,10,记为数列an,将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列bn,可以推测:b2 014是数列an的第_项;b2k1_.(用k表示)(2)设S,T是R的两个非空子集,如果存在一个从S到T的函数yf(x)满足:(i)Tf(x)|xS;(ii)对任意x1,x2S,当x1x2时,恒有f(x1)f(x2)那么称这两个集合“保序同构”以下集合对不是“保序同构”的是_AN*,BN;Ax|1x3,Bx|x8或0x10;Ax|0x1,BR;AZ,BQ.解析(1)an12n,b1a4,b2a5,b3a9,b4a10,b5a14,b6a15
16、,b2 014a5 035.由知b2k1.(2)对于,取f(x)x1,xN*,所以AN*,BN是“保序同构”的,故排除;对于,取f(x) 所以Ax|1x3,Bx|x8或0x10是“保序同构”的,故排除;对于,取f(x)tan(x)(0x1),所以Ax|0x0且a1)是增函数,而函数y是对数函数,所以y是增函数”所得结论错误的原因是()A大前提错误 B小前提错误C推理形式错误 D大前提和小前提都错误答案A解析因为当a1时,ylogax在定义域内单调递增,当0a|AB|,则P点的轨迹为椭圆B由a11,an3n1,求出S1,S2,S3,猜想出数列的前n项和Sn的表达式C由圆x2y2r2的面积r2,猜
17、想出椭圆1的面积SabD科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇答案B解析从S1,S2,S3猜想出数列的前n项和Sn,是从特殊到一般的推理,所以B是归纳推理,故应选B.3(2016西安八校联考)观察一列算式:11,12,21,13,22,31,14,23,32,41,则式子35是第()A22项 B23项 C24项 D25项答案C解析两数和为2的有1个,和为3的有2个,和为4的有3个,和为5的有4个,和为6的有5个,和为7的有6个,前面共有21个,35是和为8的第3项,所以为第24项4(2016泉州模拟)正偶数列有一个有趣的现象:246;810121416;18202224262830,按照这样的规律,则
18、2 016所在等式的序号为()A29 B30 C31 D32答案C解析由题意知,每个等式正偶数的个数组成等差数列3,5,7,2n1,其前n项和Snn(n2)且S311 023,即第31个等式中最后一个偶数是1 02322 046,且第31个等式中含有63个偶数,故2 016在第31个等式中5若数列an是等差数列,则数列bn(bn)也为等差数列类比这一性质可知,若正项数列cn是等比数列,且dn也是等比数列,则dn的表达式应为()Adn BdnCdn Ddn答案D解析若an是等差数列,则a1a2anna1d,bna1dna1,即bn为等差数列;若cn是等比数列,则c1c2cncq12(n1)c1
19、, dnc1,即dn为等比数列,故选D.6把正整数按一定的规则排成如图所示的三角形数表,设aij(i,jN*)是位于这个三角形数表中从上往下第i行,从左往右数第j个数,如a428,若aij2 009,则i与j的和为_答案107解析由题可知奇数行为奇数列,偶数行为偶数列,2 00921 0051,所以2 009为第1 005个奇数,又前31个奇数行内数的个数为961,前32个奇数行内数的个数为1 024,故2 009在第32个奇数行内,则i63,因为第63行第1个数为296211 923,2 0091 9232(j1),所以j44,所以ij107.7若P0(x0,y0)在椭圆1(ab0)外,过P
20、0作椭圆的两条切线的切点分别为P1,P2,则切点弦P1P2所在的直线方程是1,那么对于双曲线则有如下命题:若P0(x0,y0)在双曲线1(a0,b0)外,过P0作双曲线的两条切线,切点分别为P1,P2,则切点弦P1P2所在直线的方程是_答案1解析设P1(x1,y1),P2(x2,y2),则P1,P2的切线方程分别是1,1.因为P0(x0,y0)在这两条切线上,故有1,1,这说明P1(x1,y1),P2(x2,y2)在直线1上,故切点弦P1P2所在的直线方程是1.8.如图,我们知道,圆环也可以看作线段AB绕圆心O旋转一周所形成的平面图形,又圆环的面积S(R2r2)(Rr)2.所以,圆环的面积等于
21、以线段ABRr为宽,以AB中点绕圆心O旋转一周所形成的圆的周长2为长的矩形面积请你将上述想法拓展到空间,并解决下列问题:若将平面区域M(x,y)|(xd)2y2r2(其中0rd)绕y轴旋转一周,则所形成的旋转体的体积是_答案22r2d解析平面区域M的面积为r2,由类比知识可知:平面区域M绕y轴旋转一周得到的旋转体为实心的车轮内胎,旋转体的体积等于以圆(面积为r2)为底,以O为圆心、d为半径的圆的周长2d为高的圆柱的体积,所以旋转体的体积Vr22d22r2d.9设f(x),先分别求f(0)f(1),f(1)f(2),f(2)f(3),然后归纳猜想一般性结论,并给出证明解f(0)f(1),同理可得
22、f(1)f(2),f(2)f(3).由此猜想f(x)f(1x).证明:f(x)f(1x).10(2016泉州模拟)先阅读下列不等式的证法,再解决后面的问题:已知a1,a2R,a1a21,求证aa.证明:构造函数f(x)(xa1)2(xa2)2,即f(x)2x22(a1a2)xaa2x22xaa.因为对一切xR,恒有f(x)0,所以48(aa)0,从而得aa.(1)若a1,a2,anR,a1a2an1,请写出上述结论的推广式;(2)参考上述证法,对你推广的结论加以证明(1)解若a1,a2,anR,a1a2an1,则aaa.(2)证明构造函数f(x)(xa1)2(xa2)2(xan)2.即f(x)
23、nx22(a1a2an)xaaanx22xaaa,因为对一切xR,恒有f(x)0,所以44n(aaa)0,从而得aaa.*11.对于三次函数f(x)ax3bx2cxd(a0),给出定义:设f(x)是函数yf(x)的导数,f(x)是f(x)的导数,若方程f(x)0有实数解x0,则称点(x0,f(x0)为函数yf(x)的“拐点”某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心若f(x)x3x23x,请你根据这一发现,(1)求函数f(x)的对称中心;(2)计算f()f()f()f()f()解(1)f(x)x2x3,f(x)2x1,由f(x)0,即2x10,解得x.f()()3()231.由题中给出的结论,可知函数f(x)x3x23x的对称中心为(,1)(2)由(1)知函数f(x)x3x23x的对称中心为(,1),所以f(x)f(x)2,即f(x)f(1x)2.故f()f()2,f()f()2,f()f()2,f()f()2.所以f()f()f()f()f()22 0162 016.