1、第五讲 二次函数一、基础知识1解析式：（其中a、b、c R，a0，x1、x2是此方程的两根（此时0）。2二次函数性质： 定义域：二次函数本身的定义域是R，但在综合、应用问题中出现的二次函数常常会 出现“限制型”的定义域； 值域：a0时为 （注意：当定义域变化时，值域也发生相应的变化） 奇偶性：当b=0时为偶函数，当b0时既非奇函数也非偶函数； 单调性：上为减函数，在上为增函数；上为增函数，在上为减函数； 特性：1）对称轴方程为，2）顶点二、实根分布条件：已知（其中a、b、cR）1二次方程f(x)=0的两根中一根比r大，另一根比r小af(r)0;2二次方程f(x)=0的两根都大于r3二次方程f(
2、x)=0在区间(p,q)内有两根4二次方程f(x)=0在区间(p,q)内只有一根f(p)f(q)0，或（检验）或（检验）。5二次方程f(x)=0的一根小于p，另一根大于q(pq)三、二次不等式的转化策略：1二次不等式f(x)0的解集是：(,，+a0且f()=f()=0.2当a0时，f()|+|;当a0时，f()f() |+|0时，二次不等式f(x)0在p,q上恒成立或或4f(x)0恒成立或 f(x)0恒成立或四、学习要点：1二次函数的解析式有三种表示形式，在解题中要正确选择一种解析式的形式，其中的形式使用率最高.2二次函数与二次方程、二次不等式密切相关，解决二次函数问题时要熟练运用二次方程的韦
3、达定理、判别式、求根公式，以及二次不等式解集的相关知识.3解决二次函数的问题常常要抓住问题的图象特征来理解问题或帮助解决问题.4含参数的二次函数讨论问题是二次函数最常见的问题，题型非常广泛，解决问题时要正确选择分类方案，一般常以“对称轴”、“开口方向”、“判别式”分类.若二次函数的对称轴含有参数，这类问题要困难得多，应考虑以对称轴分类.五、例题解析例1（1）函数是单调函数的充要条件是 （ ） 分析：对称轴，函数是单调函数，对称轴在区间的左边，即，得 选（2）若不等式(a2)x2+2(a2)x40),若f(m)0,则f(0)0,而f(m)0,m(0,1),m10,f(m1)0. 答案：A（4）二
4、次函数f(x)的二次项系数为正，且对任意实数x恒有f(2+x)=f(2x),若f(12x2)f(1+2xx2),则x的取值范围是_.解析：由f(2+x)=f(2x)知x=2为对称轴，由于距对称轴较近的点的纵坐标较小，|12x22|1+2xx22|,2x0. 答案：2x0例2已知集合P=x|x25x+40,Q=x|x22bx+b+20满足PQ，求实数b的取值范围。解：显然P=x|1x4，记f(x)=x22bx+b+2若Q为空集，则由0得：4b24(b+2)0 1b2。若Q不是空集，则应满足 即解之得：2b 综上得：10，当时，函数有最小值1，最大值1.求使函数取得最大值和最小值时相应的x的值.13已知在区间0，1内有最大值5，求a的值.14函数是定义在R上的奇函数，当， （）求x0时，的解析式； （）问是否存在这样的正数a，b，当的值域为？若存在，求出所有的a，b的值；若不存在说明理由.答案与解析一、选择题1.D 2.C 3.A 4.B 5.B 6.B 二、填空题7； 83或； 92a0，f(x)对称轴当当.综上，当13f(x)的对称轴为当当当不合；综上，14（）当 （）当若存在这样的正数a，b，则当f(x)在a，b内单调递减，是方程的两正根，
