1、7.2 复数的四则运算 7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义 第七章 复数 学 习 任 务核 心 素 养 1掌握复数代数形式的加、减运算法则(重点)2了解复数代数形式的加、减运算的几何意义(易错点)1通过复数代数形式的加、减运算的几何意义，培养数学直观的素养 2借助复数代数形式的加、减运算，提升数学运算的素养 情境导学探新知 NO.1 乘飞机从上海到香港约2.5小时，从香港到台北约4小时，因此从上海经香港转航到台北约6.5小时在两岸同胞的共同努力下，现在实现两岸直航，上海到台北只需约1.5小时，比直航前节省约5小时，有关航行节时的多少，体现了实数集内的代数运算 问题：复数集内可进行复数的四
2、则运算吗？知识点1 复数的加、减运算 1复数加法、减法的运算法则 设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)是任意两个复数，则有：z1z2(abi)(cdi)；z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i(ac)(bd)i2复数加法的运算律 设z1，z2，z3C，则有：交换律：z1z2；结合律：(z1z2)z3 z1(z2z3)z2z11思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)复数加法的运算法则类同于实数的加法法则()(2)复数与复数相加减后结果为复数()答案(1)(2)2已知复数z134i，z234i，则z1z2()A8i B6 C68i D68i B z1z234i34i(33)(
3、44)i6 3复数(1i)(2i)3i等于()A1iB1i CiDi A(1i)(2i)3i(12)(ii3i)1i故选A 知识点2 复数加减法的几何意义 如图所示，设复数z1，z2对应向量分别为 OZ1，OZ2，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，向量OZ 与复数对应，向量Z2Z1 与复数_对应z1z2z1z2类比绝对值|xx0|的几何意义，|zz0|(z，z0C)的几何意义是什么？提示|zz0|(z，z0C)的几何意义是复平面内点Z到点Z0的距离 4已知向量 OZ1对应的复数为23i，向量 OZ2对应的复数为34i，则向量Z1Z2 对应的复数为_ 1i Z1Z2 OZ2 OZ1(34i)(23
4、i)1i 合作探究释疑难 NO.2类型1 类型2 类型3 类型1 复数代数形式的加、减运算【例1】(对接教材P76例1)(1)计算：1312i(2i)4332i；(2)已知复数z满足z13i52i，求z 解(1)1312i(2i)4332i 13243 12132 i1i(2)法一：设zxyi(x，yR)，因为z13i52i，所以xyi(13i)52i，即x15且y32，解得x4，y1，所以z4i 法二：因为z13i52i，所以z(52i)(13i)4i 解决复数加、减运算的思路两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减)复数的减法是加法的逆运算，两个复数相减，也可以看成
5、是加上这个复数的相反数当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加(减)，所有虚部相加(减)跟进训练 1(1)计算：(23i)(42i)_(2)已知z1(3x4y)(y2x)i，z2(2xy)(x3y)i，x，y为实数，若z1z253i，则|z1z2|_(1)2i(2)2 (1)(23i)(42i)(24)(32)i2i(2)z1z2(3x4y)(y2x)i(2xy)(x3y)i(3x4y)(2xy)(y2x)(x3y)i(5x5y)(3x4y)i53i，所以5x5y5，3x4y3，解得x1，y0，所以z132i，z22i，则z1z21i，所以|z1z2|2 类型2 复数代数形式加、减运
6、算的几何意义【例2】(1)复数z1，z2满足|z1|z2|1，|z1z2|2 则|z1z2|_(2)如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应复数分别为0,32i，24i，试求：AO 所表示的复数，BC所表示的复数；对角线CA所表示的复数；对角线OB 所表示的复数及OB 的长度(1)2 由|z1|z2|1，|z1z2|2，知z1，z2，z1z2对应的点是一个边长为1的正方形的三个顶点，所求|z1z2|是这个正方形的一条对角线长，所以|z1z2|2(2)解 AO OA，AO 所表示的复数为32i BCAO，BC所表示的复数为32i CAOA OC，CA所表示的复数为(32i)(24i)52
7、i 对角线OB OA OC，它所对应的复数z(32i)(24i)16i,|OB|1262 37 利用复数加、减运算的几何意义解题有哪些技巧？提示(1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理(2)数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中 跟进训练 2复数z112i，z22i，z312i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数 解 设复数z1，z2，z3在复平面内所对应的点分别为A，B，C，正方形的第四个顶点D对应的复数为xyi(x，yR)，如图 则AD OD OA(x，y)(1,2)(x1，y
8、2)BCOC OB(1，2)(2,1)(1，3)AD BC，x11，y23，解得x2，y1，故点D对应的复数为2i 类型3 复数模的最值问题【例3】(1)如果复数z满足|zi|zi|2，那么|zi1|的最小值是()A1 B12 C2 D 5(2)若复数z满足|z 3i|1，求|z|的最大值和最小值 1满足|z|1的所有复数z对应的点组成什么图形？提示 满足|z|1的所有复数z对应的点在以原点为圆心，半径为1的圆上 2若|z1|z1|，则复数z对应的点组成什么图形？提示|z1|z1|，点Z到(1,0)和(1,0)的距离相等，即点Z在以(1,0)和(1,0)为端点的线段的中垂线上(1)A 设复数i
9、，i，1i在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，因为|zi|zi|2,|Z1Z2|2，所以点Z的集合为线段Z1Z2问题转化为动点Z在线段Z1Z2上移动，则求|ZZ3|的最小值，因为|Z1Z3|1所以|zi1|min1(2)解 如图所示，设OM3i，则|OM|32122 所以|z|max213，|z|min211|z1z2|表示复平面内z1，z2对应的两点间的距离.利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解.跟进训练 3已知|z|1且zC，求|z22i|(i为虚数单位)的最小值 解 因为|z|1且zC，作图如图：所以|z22
10、i|的几何意义为单位圆上的点M到复平面上的点P(2,2)的距离，所以|z22i|的最小值为|OP|12 21 当堂达标夯基础 NO.31 2 3 4 5 1设z12bi，z2ai，当z1z20时，复数abi为()A1i B2i C3 D2i D 由2a0，b10，得a2，b1.abi2i 1 2 3 4 5 2已知复数z1(a22)3ai，z2a(a22)i，若z1z2是纯虚数，那么实数a的值为()A1B2 C2D2或1 C 由z1z2a22a(a23a2)i是纯虚数，得a22a0，a23a20，得a2 1 2 3 4 5 3计算|(3i)(12i)(13i)|_ 5|(3i)(12i)(13
11、i)|(2i)(13i)|34i|32425 1 2 3 4 5 4已知复数z1(a22)(a4)i，z2a(a22)i(aR)，且z1z2为纯虚数，则a_ 1 z1z2(a2a2)(a4a22)i(aR)为纯虚数，a2a20，a2a60，解得a1 1 2 3 4 5 5在复平面内，复数3i与5i对应的向量分别是OA与OB，其中O是原点，则向量OA OB _，则BA 对应的复数为_，A，B两点间的距离为_ 1 2 3 4 5 2 82i 2 17 向量OA OB 对应的复数为(3i)(5i)2BAOA OB，向量BA对应的复数为(3i)(5i)82i A，B两点间的距离为|82i|82222 17 回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)复数加法、减法的运算律是什么？复数的加法满足哪些运算律？(2)复数的加法、减法的几何意义是什么？(3)如何利用数形结合思想求复数模的最值？点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!
