1、3.1.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、教学目标：知识与技能： 通过让学生探索、猜想、发现并推导“两角差的余弦公式”,了解单角与复角的三角函数之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对两角差的余弦公式的理解,培养学生的运算能力及逻辑推理能力,提高学生的数学素质.过程与方法：通过两角差的余弦公式的运用,会进行简单的求值、化简、证明,体会化归思想在数学当中的运用,使学生进一步掌握联系的观点,自觉地利用联系变化的观点来分析问题,提高学生分析问题、解决问题的能力. 情感、态度与价值观通过本节的学习,使学生体会探究的乐趣,认识到世间万物的联系与转化,养成用辩证与联系的观点看问题.创设问题情境,
2、激发学生分析、探求的学习态度,强化学生的参与意识,从而培养学生分析问题、解决问题的能力和代换、演绎、数形结合等数学思想方法.二重点难点重点：通过探究得到两角差的余弦公式.难点：探索过程的组织和适当引导.三、教材与学情分析本节是以一个实际问题做引子,目的在于从中提出问题,引入本章的研究课题.在用方程的思想分析题意,用解直角三角形的知识布列方程的过程中,提出了两个问题:实际问题中存在研究像tan(45+)这样的包含两个角的三角函数的需要;实际问题中存在研究像sin与tan(45+)这样的包含两角和的三角函数与、45单角的三角函数的关系的需要.以实例引入课题也有利于体现数学与实际问题的联系,增强学生
3、的应用意识,激发学生学习的积极性,同时也让学生体会数学知识产生、发展的过程. 本节首先引导学生对cos(-)的结果进行探究,让学生充分发挥想象力,进行猜想,给出所有可能的结果,然后再去验证其真假.这也展示了数学知识的发生、发展的具体过程,最后提出了两种推导证明“两角差的余弦公式”的方案.方案一,利用单位圆上的三角函数线进行探索、推导,让学生动手画图,构造出-角,利用学过的三角函数知识探索存在一定的难度,教师要作恰当的引导.方案二,利用向量知识探索两角差的余弦公式时,要注意推导的层次性:在回顾求角的余弦有哪些方法时,联系向量知识,体会向量方法的作用;结合有关图形,完成运用向量方法推导公式的必要准
4、备;探索过程不应追求一步到位,应先不去理会其中的细节,抓住主要问题及其线索进行探索,然后再反思,予以完善;补充完善的过程,既要运用分类讨论的思想,又要用到诱导公式. 本节是数学公式的教学,教师要遵循公式教学的规律,应注意以下几方面:要使学生了解公式的由来;使学生认识公式的结构特征,加以记忆;使学生掌握公式的推导和证明;通过例子使学生熟悉公式的应用,灵活运用公式进行解答有关问题.四、教学方法 问题引导，主动探究，启发式教学五、教学过程（一）导入新课思路1.(问题导入)播放多媒体,出示问题,让学生认真阅读课本引例.在用方程的思想分析题意,用解直角三角形的知识布列方程的过程中,提出了两个问题:实际问
5、题中存在研究像tan(45+)这样的包含两个角的三角函数的需要;实际问题中存在研究像sin与tan(45+)这样的包含两角和的三角函数与、45单角的三角函数的关系的需要.在此基础上,再一般化而提出本节的研究课题进入新课.思路2.(复习导入)我们在初中时就知道cos45=,cos30=,由此我们能否得到cos15=cos(45-30)=?这里是不是等于cos45-cos30呢？教师可让学生验证,经过验证可知,我们的猜想是错误的.那么究竟是个什么关系呢？cos(-)等于什么呢？这时学生急于知道答案,由此展开新课:我们就一起来探讨“两角差的余弦公式”.这是全章公式的基础.（二）新知探究、提出问题请学
6、生猜想cos(-)=?利用前面学过的单位圆上的三角函数线,如何用、的三角函数来表示cos(-)呢？利用向量的知识,又能如何推导发现cos(-)=?细心观察C(-)公式的结构,它有哪些特征？其中、角的取值范围如何？如何正用、逆用、灵活运用C(-)公式进行求值计算？ 活动:问题,出示问题后,教师让学生充分发挥想象能力尝试一下,大胆猜想,有的同学可能就首先想到cos(-)=cos-cos的结论,此时教师适当的点拨,然后让学生由特殊角来验证它的正确性.如=60,=30,则cos(-)=cos30=,而cos-cos=cos60-cos30=,这一反例足以说明cos(-)cos-cos. 让学生明白,要
7、想说明猜想正确,需进行严格证明,而要想说明猜想错误,只需一个反例即可. 问题,既然cos(-)cos-cos,那么cos(-)究竟等于什么呢？由于这里涉及的是三角函数的问题,是-这个角的余弦问题,我们能否利用单位圆上的三角函数线来探究呢？图1如图1,设角的终边与单位圆的交点为P1,POP1=,则POx=-.过点P作PM垂直于x轴,垂足为M,那么OM就是角-的余弦线,即OM=cos(-),这里就是要用角、的正弦线、余弦线来表示OM.过点P作PA垂直于OP1,垂足为A,过点A作AB垂直于x轴,垂足为B,过点P作PC垂直于AB,垂足为C.那么,OA表示cos,AP表示sin,并且PAC=P1Ox=.
8、于是,OM=OB+BM=OB+CP=OAcosa+APsina=coscos+sinsin,所以,cos(-)=coscos+sinsin. 教师引导学生进一步思考,以上的推理过程中,角、-是有条件限制的,即、-均为锐角,且,如果要说明此结果是否对任意角、都成立,还要做不少推广工作,并且这项推广工作的过程比较繁琐,由同学们课后动手试一试.图2 问题,教师引导学生,可否利用刚学过的向量知识来探究这个问题呢?如图2,在平面直角坐标系xOy内作单位圆O,以Ox为始边作角、,它们的终边与单位圆O的交点分别为A、B,则=(cos,sin),=(cos,sin),AOB=-. 由向量数量积的定义有=|co
9、s(-)=cos(-), 由向量数量积的坐标表示有 =(cos,sin)(cos,sin)=coscos+sinsin, 于是,cos(-)=coscos+sinsin. 我们发现,运用向量工具进行探究推导,过程相当简洁,但在向量数量积的概念中,角-必须符合条件0 -,以上结论才正确,由于、都是任意角,-也是任意角,因此就是研究当-是任意角时,以上公式是否正确的问题.当-是任意角时,由诱导公式,总可以找到一个角0,2),使cos=cos(-),若0,则=cos=cos(-).若,2,则2-0,且=cos(2-)=cos=cos(-).由此可知,对于任意角、都有cos(-)=coscos+sin
10、sin(C(-) 此公式给出了任意角、的正弦、余弦值与其差角-的余弦值之间的关系,称为差角的余弦公式,简记为C(-).有了公式C(-)以后,我们只要知道cos、cos、sin、sin的值,就可以求得cos(-)的值了. 问题,教师引导学生细心观察公式C(-)的结构特征,让学生自己发现公式左边是“两角差的余弦”,右边是“这两角的余弦积与正弦积的和”,可让学生结合推导过程及结构特征进行记忆,特别是运算符号,左“-”右“+”.或让学生进行简单填空,如:cos(A-B)=_,cos(-)=_等.因此,只要知道了sin、cos、sin、cos的值就可以求得cos(-)的值了. 问题,对于公式的正用是比较
11、容易的,关键在于“拆角”的技巧,而公式的逆用则需要学生的逆向思维的灵活性,特别是变形应用,这就需要学生具有较强的观察能力和熟练的运算技巧.如cos75cos45+sin75sin45=cos(75-45)=cos30=,cos=cos(+)-=cos(+)cos+sin(+)sin.讨论结果:略.（三）应用示例例1 利用差角余弦公式求cos15的值. 活动:先让学生自己探究,对有困难的学生教师可点拨学生思考题目中的角15,它可以拆分为哪些特殊角的差,如15=45-30或者15=60-45,从而就可以直接套用公式C(-)计算求值.教师不要包办,充分让学生自己独立完成,在学生的具体操作下,体会公式
12、的结构,公式的用法以及把未知转化为已知的数学思想方法.对于很快就完成的同学,教师鼓励其换个角度继续探究.解:方法一:cos15=cos(45-30)=cos45cos30sin45sin30=方法二:cos15=cos(60-45)=cos60cos45sin60sin45= 点评:本题是指定方法求cos15的值,属于套用公式型的,这样可以使学生把注意力集中到使用公式求值上.但是仍然需要学生将这个非特殊角拆分成两个特殊角的差的形式,灵活运用公式求值.本例也说明了差角余弦公式也适用于形式上不是差角,但可以拆分成两角差的情形.至于如何拆分,让学生在应用中仔细体会.变式训练1. .不查表求sin75
13、,sin15的值.解:sin75=cos15=cos(45-30)=cos45cos30sin45sin30=sin15=点评:本题是例题的变式,比例题有一定的难度,但学生只要细心分析,利用相关的诱导公式,不难得到上面的解答方法.2.不查表求值:cos110cos20sin110sin20.解:原式=cos(110-20)=cos90=0.点评:此题学生一看就有似曾相识而又无从下手的感觉,需要教师加以引导,让学生细心观察,再结合公式C(-)的右边的特征,逆用公式便可得到cos(110-20).这就是公式逆用的典例,从而培养了学生思维的灵活性.例2 已知sin=,(,),cos=,是第三象限角,
14、求cos(-)的值. 活动:教师引导学生观察题目的结构特征,联想到刚刚推导的余弦公式,学生不难发现,欲求cos(-)的值,必先知道sin、cos、sin、cos的值,然后利用公式C(-)即可求解.从已知条件看,还少cos与sin的值,根据诱导公式不难求出,但是这里必须让学生注意利用同角的平方和关系式时,角、所在的象限,准确判断它们的三角函数值的符号.本例可由学生自己独立完成.解:由sin=,(,),得cos=又由cos=,是第三象限角,得sin=所以cos(-)=coscos+sinsin= 点评:本题是直接运用公式C(-)求值的基础练习,但必须思考使用公式前应作出的必要准备.特别是运用同角三
15、角函数平方关系式求值时,一定要弄清角的范围,准确判断三角函数值的符号.教师可提醒学生注意这点,养成良好的学习习惯.变式训练2.已知sin=,(0,),cos=,是第三象限角,求cos(-)的值.解:当,)时,且sin=,得cos=,又由cos=,是第三象限角,得sin=.所以cos(-)=coscos+sinsin=.当(0,)时,且sin=,得cos=,又由cos=,是第三象限角,得sin=所以cos(-)=coscos+sinsin= 点评:本题与例2的显著的不同点就是角的范围不同.由于(0,),这样cos的符号可正、可负,需讨论,教师引导学生运用分类讨论的思想,对角进行分类讨论,从而培养
16、学生思维的严密性和逻辑的条理性.教师强调分类时要不重不漏.例3. 已知cos=,cos(+)=,且、(0, ),求cos的值. 活动:教师引导学生观察题目中的条件与所求,让学生探究、+、之间的关系,也就是寻找已知条件中的角与所求角的关系.学生通过探究、讨论不难得到=(+)-的关系式,然后利用公式C(-)求值即可.但还应提醒学生注意由、的取值范围求出+的取值范围,这是很关键的一点,从而判断sin(+)的符号进而求出cos.解:、(0,),+(0,).又cos=,cos(+)=,sin=sin(+)=又=(+)-,cos=cos(+)cos+sin(+)sin= 点评:本题相对于例1难度大有提高,
17、但是只要引导适当,学生不难得到= (+)-的关系式,继而运用公式解决.但值得注意的是+的取值范围确定,也是很关键的,这是我们以后解题当中常见的问题.变式训练3.求值:cos15+sin15.解:原式=cos15+sin15)=(cos45cos15+sin45sin15)=cos(45-15)= cos30=.2.已知sin+sin=,cos+cos=,求cos(-)的值.解:(sin+sin)2=()2,(cos+cos)2=()2,以上两式展开两边分别相加得2+2cos(-)=1,cos(-)=. 点评:本题又是公式C(-)的典型应用,解决问题的关键就是将已知中的两个和式两边平方,从而得到
18、公式C(-)中coscos和sinsin的值,即可求得cos(-)的值,本题培养了学生综合运用三角函数公式解决问题的能力.六、课堂小结1.先由学生自己思考、回顾公式的推导过程,观察公式的特征,特别要注意公式既可正用、逆用,还可变用及掌握变角和拆角的思想方法解决问题.然后教师引导学生围绕以下知识点小结:(1)怎么联系有关知识进行新知识的探究？(2)利用差角余弦公式方面:对公式结构和功能的认识;三角变换的特点.2.教师画龙点睛:本节课要理解并掌握两角差的余弦公式及其推导,要正确熟练地运用公式进行解题,在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系,准确判断三角函数值的符号.多对题目进行一题多解,从中比较
19、最佳解决问题的途径,以达到优化解题过程,规范解题步骤,领悟变换思路,强化数学思想方法之目的.七、课后作业1.课时练与测2.课本习题3.1 A组2、3、4、5.八、教学反思1本节课是典型的公式教学模式，因此本节课的设计流程为“实际问题猜想探索推导记忆应用”它充分展示了公式教学中以学生为主体，进行主动探索数学知识发生、发展的过程同时充分发挥教师的主导作用，引导学生利用旧知识推导、证明新知识，并学会记忆公式的方法，灵活运用公式解决实际问题，从而培养学生独立探索数学知识的能力，增强学生的应用意识，激发学生学习的积极性2纵观本教案的设计，学生发现推导出公式C()后就是应用，同时如何训练公式的正用、逆用、变形用也是本节的重点难点而学生从探究活动过程中学会了怎样去发现数学规律，又发现了怎样逆用公式及活用公式，那才是深层的，那才是我们中学数学教育的最终目的3教学矛盾的主要方面是学生的学，学是中心，会学是目的，根据高中三角函数的推理特点，本节主要是教给学生“研究问题、猜想探索公式、验证特殊情形、推导公式、学习应用”的探索创新式学习方法这样做增强了学生的参与意识，教给了学生发现规律、探索推导，获取新知的途径，让学生真正尝到探索的喜悦，真正成为教学的主体学生体会到数学的美，产生一种成功感，从而提高了学习数学的兴趣
