1、单元质量测试(六)时间：120分钟满分：150分第卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1已知a、b表示直线，、表示平面，则a的一个充分条件是()A，aB，aCab，bDb，a，ab答案D解析对于A选项直线a有可能在平面内，B选项可以推出a，或者a在平面内，对于C选项直线a有可能在平面内，D选项是正确的，故选D.2已知一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是，(1,1,0)，(1,0,1)，画该四面体三视图中的正视图时，以yOz平面为投影面，则得到的正视图可以为()答案A解析由直观图可得A中的图正确，故选A.3已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱
2、的高为2，这个球的表面积为6，则这个正四棱柱的体积为()A1B2C3D4答案B解析S表4R26，R，设正四棱柱底面边长为x，则x2x222(2R)2，x1.V正四棱柱2.故选B.4如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则在该几何体中，最长的棱的长度是()A4B2C6D4答案D解析该几何体为边长为4的正方体的一部分，如图，最长的边为PC4.5设m，n为两条不同的直线，为两个不同的平面，给出下列命题：若m，m，则；若m，m，则；若m，n，则mn；若m，n，则mn.上述命题中，所有真命题的序号是()ABCD答案A解析对于，垂直于同一条直线的两个平面互相平行，所以正确；对于，
3、平行于同一条直线的两个平面的位置关系不确定，所以错误；对于，平行于同一个平面的两条直线的位置关系不确定，所以错误；对于，垂直于同一个平面的两条直线互相平行，所以正确故选A.6已知A，B是球O的球面上两点，AOB90，C为该球面上的动点若三棱锥OABC体积的最大值为36，则球O的表面积为()A36B64C144D256答案C解析SOAB是定值，且VOABCVCOAB，当OC平面OAB时，VCOAB最大，即VOABC最大设球O的半径为R，则(VOABC)maxR2RR336，R6，球O的表面积S4R2462144.7已知甲、乙两个几何体的正视图和侧视图相同，俯视图不同，如图所示记甲的体积为V甲，乙
4、的体积为V乙，则()AV甲V乙DV甲，V乙的大小不能确定答案C解析如图，在正方体中，甲几何体的直观图是四棱锥DA1B1C1D1，乙几何体的直观图是三棱锥DA1B1C1，显然有V甲V乙，故选C.8已知某几何体的三视图如图所示，则其体积为()AB8CD9答案B解析由三视图可知该几何体为一个底面半径为1，高为5的圆柱与一个底面半径为1，高为3的圆柱的组合体，其体积为V12(53)8，故选B.9算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也又以高乘之，三十六成一该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的
5、近似公式VL2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么，近似公式VL2h相当于将圆锥体积公式中的近似取为()ABCD答案B解析设圆锥底面半径为r，则2rL，r.圆锥的体积Vr2h2h，则12，即，故选B.10在正四棱柱ABCDABCD中，AB1，AA2，则AC与BC所成角的余弦值为()ABCD答案C解析由题意知，ACB即为AC与BC所成的角，连接AB，在RtABC中，AC，BC1，故cosACB，故选C.11在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABACBC2，AA11，则点A到平面A1BC的距离为()ABCD答案B解析解法一：如图，设D为BC的中点，连接AD、A1D、A1C、A1B，
6、过A作A1D的垂线，垂足为E，则BCA1D，BCAD，所以BC平面A1AD，则BCAE.又AEA1D，所以AE平面A1BC，由条件可得ADAB，A1D2，由面积相等得AEA1DAA1AD，即AE，故选B.解法二：设点A到平面A1BC的距离为h，因为VAA1BCVA1ABC，所以hSA1BCAA1SABC，又SA1BC22，AA11，SABC22，所以h，故选B.12在三棱锥CABD中(如图)，ABD与CBD是全等的等腰直角三角形，O为斜边BD的中点，AB4，二面角ABDC的大小为60，给出下列结论：ACBD；ADCO；AOC为正三角形；cosADC；四面体ABCD外接球的表面积为32.其中所有
7、正确结论的序号是()ABCD答案D解析由题意知BCCDADAB，且BCCD，BAAD.因为O是斜边BD的中点，所以OCBD，OABD，且OCOABD，所以AOC是二面角ABDC的平面角，所以AOC60，所以AOC是正三角形，即正确而OCOAO，所以BD平面AOC，所以BDAC，即正确若ADCO，则由COBD，可得CO平面ABD，所以COOA，这与AOC60矛盾，所以不正确因为ABCDAD4，AC2，所以cosADC，所以不正确因为OBOCOAOD，所以O是四面体ABCD外接球的球心，所以外接球的表面积为4(2)232，即正确综上所述，所有正确结论的序号是.第卷(非选择题，共90分)二、填空题(
8、本大题共4小题，每小题5分，共20分)13如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则_.答案解析由水面高度升高r，得圆柱体积增加R2r，恰好是半径为r的实心铁球的体积，因此有r3R2r.故.14直三棱柱ABCA1B1C1的六个顶点都在球O的球面上若ABBC2，ABC90，AA12，则球O的表面积为_答案16解析由题设可知，直三棱柱可以补成一个球的内接长方体，所以球的直径为长方体的体对角线长，即4，故球O的表面积S4R216.15已知A，B，C三点在球O的球面上，ABBCCA3，且球心O到平面ABC的距离等于球半径的，则球O的表面积为_答
9、案解析设球O的半径为R.ABBCCA3，ABC的外接圆半径r3，则R22r2，即R23，解得R2，则球O的表面积为S表4R2.16已知一个几何体由八个面围成，每个面都是正三角形，有四个顶点在同一平面内且为正方形，若该八面体的棱长为2，所有顶点都在球O上，则球O的表面积为_答案8解析依题意，该八面体的各个顶点都在同一球面上，则其中四点所组成的截面在球的大圆面上，因为该八面体的棱长为2，所以这四点组成的正方形的对角线的长为2，故球的半径为，该球的表面积为4()28.三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)四棱锥SABCD的三视图和直观图如
10、图所示，其中正视图和侧视图为两个全等的直角三角形，俯视图为正方形，M、N、P分别为AB、SA、AD的中点(1)求四棱锥SABCD的体积；(2)求证：直线MC平面BPN.解(1)由三视图知SD底面ABCD，底面ABCD是正方形，AB1，SD2，S正方形ABCD111，VSABCDS正方形ABCDSD12.(2)证明：连接PN、PB，设PBCMO.P、N分别为AD、SA的中点，PNSD.PN平面ABCD.又MC平面ABCD，PNMC.在正方形ABCD中，P、M分别是AD、AB的中点，PABMBC，PBAMCB.又MCBBMC90，PBABMC90.PBMC.又PNPBP，且PN、PB平面BPN，M
11、C平面BPN.18(本小题满分12分)已知四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是边长为a的菱形，BAD120，PAb.(1)求证：平面PBD平面PAC；(2)设AC与BD交于点O，M为OC的中点，若点M到平面POD的距离为b，求ab的值解(1)证明：平面PBD平面PAC.(2)因为VMPODVPOMD，在RtOMD中，有SOMDaaa2.在RtPOD中，有ODa，POSPODa.所以ba2b3a24b2，即ab2.19(本小题满分12分) 如图，P为正方形ABCD外一点，PB平面ABCD，PBAB2，E为PD的中点(1)求证：PACE；(2)求四棱锥PABCD的表面积解(1)证明
12、：取PA的中点F，连接EF，BF，则EFADBC，即EF，BC共面PB平面ABCD，PBBC.又BCAB，且PBABB，BC平面PAB，BCPA.PBAB，BFPA.又BCBFB，PA平面EFBC，PACE.(2)设四棱锥PABCD的表面积为S.PB平面ABCD，PBCD.又CDBC，PBBCB，CD平面PBC，CDPC，即PCD为直角三角形由(1)知BC平面PAB，ADBC，AD平面PAB，ADPA，即PAD为直角三角形SPCCDPBCBPAADABPBABBC84.20(本小题满分12分)如图，梯形ABCD中，ABCD，BECD，DEBECE2AB，将ABED沿BE边翻折，使平面ABED平
13、面BCE，M是BC的中点，点N在线段DE上且满足DNDE.(1)求证：MN平面ACD；(2)若AB2，求点A到平面BMN的距离解(1)证明：取AC的中点G，连接MG，DG.AGGC，BMMC，GMAB，且GMAB.ABDE，且ABDE，DNDE，DNAB，且DNAB，GMDN，GMDN.四边形DGMN是平行四边形，DGMN.GD平面ACD，MN平面ACD，MN平面ACD.(2)设点A到平面BMN的距离为h，连接CN，ME，AN.平面ABED平面BCE，且CEBE，CE平面ABED.又M是BC的中点，点M到平面ABED的距离等于点C到平面ABED的距离的一半，即EC2.在BMN中，由平面ABED
14、平面BCE，且DEBE，得DE平面BCE，NB5，NC5，NBNC，故NMBM.又MN，BM2，SBMNBMMN2.而SABNABBE424，由VABMNVMABN，得SBMNhSABNCE，即h42，解得h.点A到平面BMN的距离为.21(本小题满分12分) 如图所示，在三棱锥DABC中，AC，BC，CD两两垂直，ACCD1，BC，O为AB的中点(1)若过点O的平面与平面ACD平行，且与棱DB，CB分别相交于M，N，在图中画出该截面多边形，并说明点M，N的位置(不要求证明)；(2)求点C到平面ABD的距离解(1)当M为棱DB的中点，N为棱BC的中点时，平面平面ACD.如图，因为平面平面ACD
15、，平面ACD平面ABDAD，平面平面ABDOM，所以OMAD，又O为AB的中点，所以M为BD的中点，同理可证点N为BC的中点(2)因为CDAC，CDBC，ACBCC，所以直线CD平面ABC.又ACCD1，BC，则AD，BD2.又AB2，所以ABBD，设E是AD的中点，连接BE，则BEAD，所以BE，SABDADBE.由等积法知VCABDVDABC，而SABCACBC1，设点C到平面ABD的距离为h，则有SABDhSABCCD，即h1，所以h，即点C到平面ABD的距离为.22 (本小题满分12分)如图，平面ABCD平面ADEF，四边形ABCD为菱形，四边形ADEF为矩形，M、N分别是EF、BC的
16、中点，AB2AF，CBA60.(1)求证：DM平面MNA；(2)若三棱锥ADMN的体积为，求点A到平面DMN的距离解(1)证明：连接AC，在菱形ABCD中，CBA60且ABBC，ABC为等边三角形N是BC的中点，ANBC，BCAD，ANAD.平面ABCD平面ADEF，AN平面ABCD，平面ABCD平面ADEFAD，AN平面ADEF.DM平面ADEF，ANDM.矩形ADEF中，AD2AF，M是EF的中点，AMF为等腰直角三角形，AMF45，同理可证DME45，DMA90，DMAM.AMANA，AM平面MNA，AN平面MNA，DM平面MNA.(2)设AFx，则AB2AF2x，在RtABN中，AB2x，BNx，ABN60，ANx.SADN2xxx2.平面ABCD平面ADEF，FAAD，平面ABCD平面ADEFAD，FA平面ABCD.设h为点M到平面ADN的距离，则hFAx.VMADNSADNhx2xx3，VMADNVADMN，x1.作AHMN交MN于点H.DM平面MNA，DMAH.AH平面DMN，即AH为点A到平面DMN的距离在RtMNA中，MA，AN，AH.点A到平面DMN的距离为.
