1、第二章 二 次 函 数 1 二次函数所描述的关系 1.理解二次函数的定义，能够表示简单变量之间的二次函数关系.(重点)2.经历探索二次函数关系的过程,获得用二次函数表示变量之间关系的体验.(难点)请完成以下各题：1.正方形的面积y与边长x之间的关系是y=_.2.三角形的一边是这边上高的2倍，设三角形这条边的长为x，面积为y，则y关于x的关系式为y=_.x2 21 x43.在半径为4 cm的圆中，挖去一个边长为x cm的正方形，剩下 部分的面积为y cm2，则y关于x的关系式为y=_.16-x2【思考】1.上面各题中的函数关系式有什么共同特点？提示：这些函数关系式是用自变量的二次式表示的.2.请
2、你归纳出这一类函数的一般形式是什么？提示：y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a0).【总结】1.二次函数的定义：一般地，形如_的函数，叫做 x的二次函数，其中x是自变量.2.相关概念：_是二次项系数，_是一次项系数，_是常数项.y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a0)a b c (打“”或“”)(1)y=ax2是二次函数.()(2)二次函数可以不含常数项.()(3)函数 不是二次函数.()(4)长方形的长是宽的2倍，设长方形的宽为x,面积为y，则y 关于x的关系式为y=2x2.()2y3xx1 知识点 1 二次函数的定义【例1】已知 是关于x的二次函 数，求出它的表达式【思路点拨】
3、先由二次函数的定义确定m的值，进而确定二次 函数的表达式 22m2m12ymm xm3 xm【自主解答】根据二次函数的定义知m应满足的条件是 解得：m=3，y=12x2+9 22m2m 12mm0，m3m1m0m1或，且，【总结提升】判断一个函数是否是二次函数的“三步法”知识点 2 列二次函数表达式【例2】在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框，制成一面镜子镜子的长与宽的比是21已知镜面玻璃的价格是每平方米120元，边框的价格是每米30元，另外制作这面镜子还需加工费45元设制作这面镜子的总费用是y元，镜子的宽度是x米，求y与x之间的关系式【解题探究】1.镜子的宽度是x米时，镜面玻璃
4、的费用是多 少？提示：镜面玻璃的面积是2xx=2x2，镜面玻璃的费用 是1202x2=240 x2.2.边框的费用如何表示？提示：边框的费用为2(2x+x)30=180 x.3.总费用y元由哪几部分组成？提示：总费用y元由镜面玻璃的费用、边框的费用及加工费 三部分组成 4.由以上探究可知y与x之间的关系式为y=_ 240 x2+180 x+45【互动探究】如果制作这面镜子共花了195元，那么这面镜子 的长和宽分别是多少？提示：由y=195可得240 x2+180 x+45=195，解得x1=0.5，x2=-1.25(舍去)，x=0.5，2x=1，镜子的长和宽分别是1 米和0.5 米.【总结提升
5、】实际问题中建立二次函数关系式的“三步法”题组一：二次函数的定义 1.下列函数中,是二次函数的是()【解析】选C.选项A，B不是整式方程，D选项变形为y=-4x+4,自变量x的最高次数不是2.22221A.y2xxB.y2x4x1C.yx x1D.yx2x22.下列函数：y=1x2,y=2(x1)2+4，y=(x1)(x+4)，y=3x2+x(13x)中二次函数的个数为()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【解析】选C.是二次函数，y=3x2+x(13x)变形 为y=x，是一次函数.二次函数有3个.3.已知函数y=(2k)x2+x是二次函数,则k_.【解析】y=(2k)x2+x是二次函数，
6、2-k0，k2.答案：2 4.若函数y=(4m2)x3+(m+2)x2是二次函数，则m=_.【解析】根据题意，由4-m2=0，得m=2，又m+20，得m-2，m=2 答案：2 5.已知函数y=(m2-1)x2+(m+1)x+5.(1)当m为何值时,此函数是关于x的二次函数?(2)当m为何值时,此函数是关于x的一次函数?【解析】(1)由函数是关于x的二次函数,得m2-10,即m1,所以当m1时,此函数是关于x的二次函数.(2)由函数是关于x的一次函数,得 m1,所以当m1时,此函数是关于x的一次函数.2m10m10 ，【名师点拨】函数y=ax2+bx+c与a,b之间的关系(1)当a0时，yax2
7、+bx+c是二次函数.(2)当a0且b0时，yax2+bx+c是一次函数.(3)当a0且b=0时，yax2+bx+c不是二次函数也不是一次 函数.题组二:列二次函数表达式 1.半径是2的圆,如果它的半径增加3x,则面积S与x之间的关系 式是()A.S=2(3x+2)2 B.S=4+3x C.S=9 x2+12x+4 D.S=9 x2+12 x+4 【解析】选D.S=(3x+2)2=9x2+12x+4.2.某公司的生产利润原来是a万元,经过连续两年的增长达到 了y万元,如果每年增长的百分数都是x,那么y与x的函数关系 式是()A.y=x2+a B.y=a(x-1)2 C.y=a(1-x)2 D.
8、y=a(1+x)2【解析】选D.增长一年后的生产利润是a(1+x),增长两年后 的生产利润y=a(1+x)(1+x)=a(1+x)2.3.在边长为10cm的正方形中间剪去一个边长为x cm(x10)的 小正方形,剩下的方框的面积为y,则y与x之间的函数关系式 是 .【解析】剩下的方框的面积=边长为10cm的正方形面积-边 长为x cm的小正方形的面积,y=100-x2=-x2+100.答案:y=-x2+100 4.用一根长为10m的木条,做一个长方形的窗框,若长为x m,则 该窗户的面积y(m2)与x(m)之间的函数关系式为 .【解析】木条的长为10m,窗框的长为x m,窗框的宽为(5-x)m
9、,该窗户的面积y=x(5-x)=-x2+5x.答案:y=-x2+5x【高手支招】由几何问题列二次函数表达式的技巧 1.一般步骤:(1)用含自变量的代数式表示出相关的量.(2)由题目中的等量关系得出函数表达式.2.常用的等量关系:(1)几何图形的面积公式.(2)勾股定理.(3)相似图形的有关性质.5.ABC中,BAC=90,AB=AC=1,点D是BC上一个动点(不与B,C重合),在AC上取一点E,使ADE=45.(1)求证:ABDDCE.(2)设BD=x,AE=y,求y关于x的函数关系式.【解析】(1)在ABC中,BAC=90,AB=AC=1,B=C=45.BDA+BAD=135,ADE=45,BDA+CDE=135.BAD=CDE.ABDDCE.(2)ABDDCE，即 ABBD.CDCEBDx,CDBCBD2x.21x,CE2xx.CE2x22AEACCE1(2xx)x2x1.2yx2x1.【想一想错在哪？】当m为何值时，是关于x的 二次函数？提示：判断一个函数是否是二次函数，要注意其二次项系数a 是否为零.2m3m2ym 1 x
