1、必考附加题模板成形练(一)1如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，ABAC2，AA16，点E，F分别在棱BB1，CC1上，且BEBB1，C1FCC1.(1)求异面直线AE与A1F所成角的大小；(2)求平面AEF与平面ABC所成角的余弦值解(1)建立如图所示的直角坐标系，则A(0,0,0)，E(2,0,2)，A1(0,0,6)，F(0,2,4)，从而(2,0,2)，(0,2，2)记与的夹角为，则有cos .又由异面直线AE与A1F所成角的范围为(0，)，可得异面直线AE与A1F所成的角为60.(2)记平面AEF和平面ABC的法向量分别为n和m，则由题设可令n(1，y，z)，且有平面A
2、BC的法向量为m(0,0,6)，(0,2,4)，(2,0,2)由n0，得2y4z0；由n0，得22z0.所以z1，y2，即n(1,2，1)记平面AEF与平面ABC所成的角为，有cos .由图形可知为锐角，所以cos .2已知数列bn满足b1，bn12(n2，nN*)(1)求b2，b3，猜想数列bn的通项公式，并用数学归纳法证明；(2)设xb，yb，比较xx与yy的大小解(1)当n2时，2，解得b2；当n3时，2，解得b3.猜想bn.证明：当n1时，b1.假设当nk(kN*)时，即bk，则当nk1时，bk2，即2，2，bk1也成立由得bn.(2)xbn，xxyy.3三棱柱ABCA1B1C1在如图
3、所示的空间直角坐标系中，已知AB2，AC4，A1A3.D是BC的中点(1)求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值；(2)求二面角B1A1DC1的大小的正弦值解(1)由题意，A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,4,0)，D(1,2,0)，A1(0,0,3)，B1(2,0,3)，C1(0,4,3).(1,2，3)，(0,4,0)设平面A1C1D的法向量为n(x，y，z)nx2y3z0，n4y0.x3z，y0.令z1，得x3.n(3,0,1)设直线DB1与平面A1C1D所成角为，(1，2,3)，sin |cos，n|.(2)设平面A1B1D的法向量为m(a，b，c)(2,0,0)，ma2
4、b3c0，m2a0.a0,2b3c.令c2，得b3.m(0,3,2)设二面角B1A1DC1的大小为，|cos |cosm，n|，则sin ，二面角B1A1DC1的大小的正弦值为.4已知整数n4，集合M1,2,3，n的所有3个元素的子集记为A1，A2，AC(CN*)(1)当n5时，求集合A1，A2，AC中所有元素之和；(2)设mi为Ai中的最小元素，设Pnm1m2mC，试求Pn(用n表示)解(1)当n5时，含元素1的子集中，必有除1以外的两个数字，两个数字的选法有C6个，所以含有数字1的集合有6个同时含2,3,4,5的子集也各有6个于是所求元素之和为(12345)C15690.(2)证明不难得到1min2，miZ，并且以1为最小元素的子集有C个，以2为最小元素的子集有C个，以3为最小元素的子集有C个，以n2为最小元素的子集有C个，则Pnm1m2mC1C2C3C(n2)C(n2)C(n3)C(n4)CCC(n3)(CC)(n4)CCC(n3)(CC)(n4)CCC(n3)C(n4)CCCC(n4)(CC)CCC(n4)CCCCCCC.
