1、遂宁市高中2023届第四学期期末教学水平监测数学(理科)试题本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。总分150分。考试时间120分钟。第卷(选择题,满分60分)注意事项:1答题前,考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。2选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上,非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。3考试结束后,将答题卡收回。一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共计60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求.)1在
2、复平面内,复数(i为虚数单位)对应的点位于A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2已知p:,那么p的一个充分不必要条件是A BC D3下列求导运算正确的是A BC D4已知圆与抛物线的准线相切,则A B C4 D85下列命题中为真命题的是A若为假命题,则均为假命题;B由锐角满足及,推出是合情推理C命题“存在,使得”的否定是“对任意,均有”;D命题“若,则或”的逆否命题为“若且,则”.6已知函数,则的图象在点处的切线的斜率为A-3 B3 C-5 D57设函数在定义域内可导,的图象如图所示,则其导函数的图象可能是A B 的图象C D 8已知的展开式中二项式系数之和为256,则该展开式中含x项的系
3、数为A896 B1024 C1792 D20489从一个装有3个白球,3个红球和3个蓝球的袋中随机抓取3个球,记事件A为“抓取的球中至少有两个球同色”,事件B为“抓取的球中有红色但不全是红色”,则在事件A发生的条件下,事件B发生的概率AB C D10已知是椭圆的左焦点,P为椭圆C上任意一点,点Q坐标为,则的最大值为 A3 B5 C D1311已知定义在R上的函数满足:函数为奇函数,且当时,成立(为的导函数),若,则a、b、c的大小关系是A. B. C D12已知双曲线与直线交于A、B两点,点P为C右支上一动点,记直线PA、PB的斜率分别为,曲线C的左、右焦点分别为若,则下列说法正确的是AB双曲
4、线的渐近线方程为 C若,则的面积为 D曲线的离心率为第卷(非选择题,满分90分)注意事项:1请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第卷答题卡上作答,不能答在此试卷上。2试卷中横线及框内注有“”的地方,是需要你在第卷答题卡上作答。二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.)13若随机变量,已知,则 .14若过点的双曲线的渐近线为,则该双曲线的标准方程是 .15已知,若在区间上存在,使得成立,则实数a的取值范围是 16已如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”,它们是由整数的倒数组成的,第n行有n个数且两端的数均为,每个数是它下一行左右相邻两数的和,如,则第7行第5个数(从左往右数)为 三、解答题(1
5、7题10分,18至22每小题12分,共计70分)17. (10分)设数列满足,.(1)求,并猜想数列的通项公式;(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.18. (12分)如图,设P是圆上的动点,点D是P在x轴上的射影,M为PD上的一点,且(1)当P在圆上运动时,求点M的轨迹C方程;(2)求点M到直线距离的最大值.19(12分)已知函数在和处取得极值(1)求a,b的值;(2)若函数的图象与抛物线恰有三个不同交点,求m的取值范围20.(12分)社会生活日新月异,看纸质书的人越来越少,更多的年轻人(35岁以下)喜欢阅读电子书籍,他们认为电子书不仅携带方便,而且可以随时随地阅读,而年长者(35岁以上)更
6、喜欢阅读纸质书.现在某书店随机抽取40名顾客进行调查,得到了如下列联表:年长者年轻人总计喜欢阅读电子书1620喜欢阅读纸质书8总计40(1)请将上面的列联表补充完整,并判断是否有90%的把握认为喜欢阅读电子书与年龄有关;(2)若在年轻人中按照分层抽样的方法抽取了7人,为进一步了解情况,再从抽取的7人中随机抽取4人,求抽到喜欢阅读电子书的年轻人人数X的分布列及数学期望.附:,其中.0.100.050.0100.0052.7063.8416.6357.87921. (12分)在平面直角坐标系xOy中,已知点,点P到点F的距离比点P到直线的距离小1,记P的轨迹为C(1)求曲线C的方程;(2)在直线上
7、任取一点M,过M作曲线C的切线,切点分别为A、B,求证直线AB过定点22.(12分)已知函数.(1)求的单调区间;(2)若函数有两个极值点且恒成立,求实数a的取值范围学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司遂宁市高中2023届第四学期期末教学水平监测数学(理科)试题参考答案及评分意见一、选择题(512=60分)题号123456789101112答案ACDCDBACCBBD二、填空题(每小题5分,共20分)13 14 15 16三、解答题(共70分)17.(1)由,可得:,3分由,可猜想:5分(2)证明:当时,成立; 6分假设当时,猜想成立,即. 7分则当时,即当时,猜想成立.由可知
8、,对于任意的,都有成立.综上所述,猜想得证10分18.(1)设点,由得即2分又点P在圆上得椭圆5分(2) 令平行于直线l且与C相切的直线8分当与C相切时.10分及的方程为12分19解:(1),由题意,得则 解得经检验,此时满足在和处取得极值,符合题意.5分(2)令,则原题意等价于图象与轴有三个交点7分由,解得或;由,解得在时取得极大值;在时取得极小值10分依题意得,解得故的取值范围为12分20.(1)解:根据题意,可得如下的的列联表:年长者年轻人总计电子书41620纸质书81220总计1228402分则所以没有90%的把握认为喜欢阅读电子书与年龄有关5分(2)解:按照分层抽样的方法在年轻人中抽
9、取7名,则抽到喜欢阅读电子书的年轻人数为4名,喜欢阅读纸质书的年轻人数为3名6分所以随机变量的所有可能取值为1,2,3,4,可得;,10分所以的分布列为1234P则期望为12分21(1)解:设曲线C上任意一点P的坐标为,由题意知且有,2分解得;所以曲线C的方程为5分(2)证明:设,由题意知直线AB的斜率存在,设直线的方程为,联立方程,整理得,所以,且,7分又由,即,可得,所以抛物线在点处的切线的方程为,即,同理直线的方程为,联立方程,解得,9分又因为直线与的交点恰好在直线上,所以,即,所以,解得11分故直线的方程为,所以直线恒过定点12分22(1)的定义域为,求导得,1分令,得,其当时,又 ,故在上单调递增.当时, ,故在上单调递增. 3分当时, ,由得故在上单调递增.在上单调递增.综上,当时,在上单调递增.当时,在上单调递增,在上单调递减. 5分(2)的定义域为,求导得,有两个极值点时,等价于方程的有两个不等正根,7分此时不等式恒成立,等价于对恒成立,可化为对恒成立,令,则,令得得或(舍去)9分,故10分在恒成立,在上单调递减,.故实数的取值范围是12分