1、一圆周角定理1理解圆周角定理及其两个推论，并能解决有关问题(重点、难点)2了解圆心角定理基础初探教材整理1圆周角定理及其推论阅读教材P24P26，完成下列问题1圆周角定理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半2推论1同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等3推论2半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径如图211，在O中，BAC60，则BDC()图211A30B45C60D75【解析】在O中，BAC与BDC都是所对的圆周角，故BDCBAC60.【答案】C教材整理2圆心角定理阅读教材P25P26，完成下列问题圆心角的度数等于它所对弧的度数在
2、半径为R的圆中有一条长度为R的弦，则该弦所对的圆周角的度数是()【导学号：07370028】A30 B30或150C60D60或120【解析】弦所对的圆心角为60，又弦所对的圆周角有两个且互补，故选B.【答案】B质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：小组合作型利用圆周角定理和圆心角定理进行计算在半径为5 cm的圆内有长为5 cm的弦，求此弦所对的圆周角【精彩点拨】过圆心作弦的垂线构造直角三角形先求弦所对的圆心角度数，再分两种情况求弦所对的圆周角的度数【自主解答】如图所示，过点O作ODAB于点D.ODAB，OD经过圆心O，ADB
3、D cm.在RtAOD中，OD cm，OAD30，AOD60，AOB2AOD120，ACBAOB60.AOB120，劣弧的度数为120，优弧的度数为240.AEB240120，此弦所对的圆周角为60或120.1解答本题时应注意弦所对的圆周角有两个，它们互为补角2和圆周角定理有关的线段、角的计算，不仅可以通过计算弧、圆心角、圆周角的度数来求相关的角、线段，有时还可以通过比例线段，相似比来计算再练一题1如图212，已知ABC内接于O，点D是上任意一点，AD6 cm，BD5 cm，CD3 cm，求DE的长图212【解】，ADBCDE.又，BADECD，ABDCED，即.DE2.5 cm.直径所对的圆
4、周角问题如图213所示，AB是半圆的直径，AC为弦，且ACBC43，AB10 cm，ODAC于D.求四边形OBCD的面积图213【精彩点拨】由AB是半圆的直径知C90，再由条件求出OD，CD，BC的长可得四边形OBCD的面积【自主解答】AB是半圆的直径，C90.ACBC43，AB10 cm，AC8 cm，BC6 cm.又ODAC，ODBC.OD是ABC的中位线，CDAC4 cm，ODBC3 cm.S四边形OBCD(ODBC)DC(36)418 cm2.在圆中，直径是一条特殊的弦，其所对的圆周角是直角，所对的弧是半圆，利用此性质既可以计算角大小、线段长度，又可以证明线线垂直、平行等位置关系，还可
5、以证明比例式相等.再练一题2.如图214，已知等腰三角形ABC中，以腰AC为直径作半圆交AB于点E，交BC于点F，若BAC50，则的度数为()【导学号：07370029】图214A25B50C100D120【解析】如图，连接AF.AC为O的直径，AFC90，AFBC.ABAC，BAFBAC25，的度数为50.【答案】B探究共研型圆周角定理探究1圆的一条弦所对的圆周角都相等吗？【提示】不一定相等一般有两种情况：相等或互补，弦所对的优弧与所对劣弧上的点所成的圆周角互补，所对同一条弧上的圆周角都相等，直径所对的圆周角既相等又互补探究2“相等的圆周角所对的弧相等”，正确吗？【提示】不正确“相等的圆周角
6、所对的弧相等”是在“同圆或等圆中”这一大前提下成立，如图若ABDG，则BACEDF，但.如图215，ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E.图215(1)证明：ABEADC；(2)若ABC的面积SADAE，求BAC的大小【精彩点拨】(1)通过证明角相等来证明三角形相似(2)利用(1)的结论及面积相等求sinBAC的大小，从而求BAC的大小【自主解答】(1)证明：由已知条件，可得BAECAD.因为AEB与ACB是同弧上的圆周角，所以AEBACD.故ABEADC.(2)因为ABEADC，所以，即ABACADAE.又SABACsinBAC且SADAE，故ABACsinBACADAE，则sin
7、BAC1，又BAC为三角形内角，所以BAC90.1解答本题(2)时关键是利用ABACADAE以及面积SABACsinBAC确定sinBAC的值2利用圆中角的关系证明时应注意的问题(1)分析已知和所证，找好所在的三角形，并根据三角形所在圆上的特殊性，寻求相关的圆周角作为桥梁；(2)当圆中出现直径时，要注意寻找直径所对的圆周角，然后在直角三角形中处理相关问题再练一题3.如图216，AB是圆O的直径，D，E为圆O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使BDDC，连接AC，AE，DE.求证：EC.图216【证明】如图，连接OD，因为BDDC，O为AB的中点，所以ODAC，于是ODBC.因为OBO
8、D，所以ODBB.于是BC.因为点A，E，B，D都在圆O上，且D，E为圆O上位于AB异侧的两点，所以E和B为同弧所对的圆周角，故EB，所以EC.构建体系1如图217，在O中，BOC50，则A的大小为()图217A25B50C75D100【解析】由圆周角定理得ABOC25.【答案】A2如图218，已知AB是半圆O的直径，弦AD，BC相交于点P，若CD3，AB4，则tanBPD等于()图218A. B.C.D.【解析】连接BD，则BDP90，DCPBAP，CDPABP，CPDAPB，在RtBPD中，cosBPD，cosBPD，tanBPD.故选D.【答案】D3如图219，A，B，C是O的圆周上三点
9、，若BOC3BOA，则CAB是ACB的_倍【导学号：07370030】图219【解析】BOC3BOA，3，CAB3ACB.【答案】34如图2110所示，两个同心圆中，的度数是30，且大圆半径R4，小圆半径r2，则的度数是_图2110【解析】的度数等于AOB，又的度数等于AOB，则的度数是30.【答案】305如图2111，已知A，B，C，D是O上的四个点，ABBC，BD交AC于点E，连接CD，AD.图2111(1)求证：DB平分ADC；(2)若BE3，ED6，求AB的长【解】(1)证明：ABBC，BDCADB，DB平分ADC.(2)由(1)可知，BACADB.ABEABD.ABEDBA，.BE3
10、，ED6，BD9，AB2BEBD3927，AB3.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(六)(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1如图2112所示，若圆内接四边形的对角线相交于E，则图中相似三角形有()图2112A1对B2对C3对D4对【解析】由推论知：ADBACB，ABDACD，BACBDC，CADCBD，AEBDEC，AEDBEC.【答案】B2如图2113所示，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，CD4，BD8，则圆O的半径等于()图2113A6 B8C4D5【解析】AB为直径，ACB90.又CDAB，由射影定理可知，CD2ADBD，428AD，AD2
11、，ABBDAD8210，圆O的半径为5.【答案】D3在RtABC中，C90，A30，AC2，则此三角形外接圆半径为() 【导学号：07370031】A. B2C2D4【解析】由推论2知AB为RtABC的外接圆的直径，又AB4，故外接圆半径rAB2.【答案】B4如图2114所示，等腰ABC内接于O，ABAC，A40，D是的中点，E是的中点，分别连接BD，DE，BE，则BDE的三内角的度数分别是()图2114A50，30，100 B55，20，105C60，10，110D40，20，120【解析】如图所示，连接AD.ABAC，D是的中点，AD过圆心O.A40，BEDBAD20，CBDCAD20.E
12、是的中点，CBECBA35，EBDCBECBD55，BDE1802055105，故选B.【答案】B5如图2115，点A，B，C是圆O上的点，且AB4，ACB30，则圆O的面积等于()图2115A4 B8C12D16【解析】连接OA，OB.ACB30，AOB60.又OAOB，AOB为等边三角形又AB4，OAOB4，SO4216.【答案】D二、填空题6如图2116，已知RtABC的两条直角边AC，BC的长分别为3 cm，4 cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则_.图2116【解析】连接CD，AC是O的直径，CDA90.由射影定理得BC2BDAB，AC2ADAB，即.【答案】7(2016天津高考
13、)如图2117，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE2AE2，BDED，则线段CE的长为_图2117【解析】如图，设圆心为O，连接OD，则OBOD.因为AB是圆的直径，BE2AE2，所以AE1，OB.又BDED，B为BOD与BDE的公共底角，所以BODBDE，所以，所以BD2BOBE3，所以BDDE.因为AEBECEDE，所以CE.【答案】8.如图2118，AB为O的直径，弦AC，BD交于点P，若AB3，CD1，则sinAPD_.图2118【解析】由于AB为O的直径，则ADP90，所以APD是直角三角形，则sinAPD，cosAPD，由题意知，DCPABP，CDPBAP，所以PCDPB
14、A.所以，又AB3，CD1，则.cosAPD.又sin2APDcos2APD1，sinAPD.【答案】三、解答题9如图2119所示，O中和的中点分别为点E和点F，直线EF交AC于点P，交AB于点Q.求证：APQ为等腰三角形图2119【证明】连接AF，AE.E是的中点，即，AFPEAQ，同理FAPAEQ.又AQPEAQAEQ，APQAFPFAP，AQPAPQ，即APQ为等腰三角形10如图2120(1)所示，在圆内接ABC中，ABAC，D是BC边上的一点，E是直线AD和ABC外接圆的交点图2120(1)求证：AB2ADAE；(2)如图2120(2)所示，当D为BC延长线上的一点时，第(1)题的结论
15、成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由【解】(1)证明：如图(3)，连接BE.ABAC，ABCACB.ACBAEB，ABCAEB.又BADEAB，ABDAEB，ABAEADAB，即AB2ADAE.(2)如图(4)，连接BE，结论仍然成立，证法同(1)能力提升1如图2121，已知AB是半圆O的直径，弦AD，BC相交于点P，那么等于() 【导学号：07370032】图2121AsinBPDBcosBPDCtanBPDD以上答案都不对【解析】连接BD，由BA是直径，知ADB是直角三角形由DCBDAB，CDACBA，CPDBPA，得CPDAPB，cos BPD.【答案】B2如图2122所示，已知
16、O为ABC的外接圆，ABAC6，弦AE交BC于D，若AD4，则AE_.图2122【解析】连接CE，则AECABC，又ABC中，ABAC，ABCACB，AECACB，ADCACE，AE9.【答案】93如图2123，在O中，已知ACBCDB60，AC3，则ABC的周长是_图2123【解析】由圆周角定理，得ADACB60，ABBC，ABC为等边三角形周长等于9.【答案】94.如图2124，在ABC中，ABAC，以AB为直径的O交AC于点E，交BC于点D，连接BE，AD交于点P.求证：图2124(1)D是BC的中点；(2)BECADC；(3)ABCE2DPAD.【证明】(1)因为AB是O的直径，所以ADB90，即ADBC，因为ABAC，所以D是BC的中点(2)因为AB是O的直径，所以AEBADB90，即CEBCDA90，因为C是公共角，所以BECADC.(3)因为BECADC，所以CBECAD.因为ABAC，BDCD，所以BADCAD，所以BADCBE，因为ADBBEC90，所以ABDBCE，所以，所以，因为BDPBEC90，PBDCBE，所以BPDBCE，所以.因为BC2BD，所以，所以ABCE2DPAD.
