1、第4课时 绝对值三角不等式1绝对值不等式：|a|b|_.2几何意义：_.|ab|a|b|三角形任意两边之差小于第三边，三角形任意两边之和大于第三边1已知a，bR，且ab0，下面给出了四个不等式：(1)|ab|a|；(2)|ab|a|b|；(3)|ab|ab|；(4)|a|b|ab|；其中正确的是()A(1)和(2)B(1)和(3)C(1)和(4)D(3)和(4)【答案】B【解析】取a1，b1，则(1)、(3)成立，(2)、(4)不成立2若|xm|，|ym|，下列不等式中一定成立的是()A|xy|B|xy|2C|xy|2D|xy|【答案】B【解析】|xy|(xm)(ym)|xm|ym|2.3对于
2、实数x，y，若|x1|1，|y2|1，则|x2y1|的最大值为_【答案】5【解析】因为|x1|1，|y2|1，所以|x2y1|x12(y2)2|x1|2|y2|2|1225.4若f(x)x2xc(c为常数)，|xa|1，求证：|f(x)f(a)|2(|a|1)【解析】|f(x)f(a)|(x2xc)(a2ac)|x2a2(xa)|xa|xa1|，因为|xa|1，所以|f(x)f(a)|xa1|xa2a1|xa|2a|112|a|1，即|f(x)f(a)|2(|a|1)【解题探究】由于题设和结论相差很远，为了能整体运用上条件，应先对结论式子的左端进行配凑绝对值不等式的证明方法【例 1】已知|xa
3、|2M，0|yb|2|a|，y(0，M)，求证：|xyab|.【解析】|xa|2M，0|yb|2|a|，0yM，|xyab|xyyayaab|y(xa)a(yb)|y|xa|a|yb|M 2M|a|2|a|，即|xyab|.在证明中关键是把|xyab|变形为|xyyayaab|y(xa)a(yb)|，从而利用题设的条件，通常是利用“加减项”技巧1(2017 年常宁模拟节选)已知函数 f(x)|xa|x1a (a0)，求证：f(m)f1m 4.【证明】f(m)f1m|ma|m1a 1ma 1m1a|m a|1ma m1a 1m1a ma1ma m1a 1m1a 2 m1m 2|m|1m 4，f(
4、m)f1m 4 成立【例2】若不等式|x1|x3|a对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围【解题探究】只需求出|x1|x3|的最小值，利用最值法绝对值不等式的恒成立问题【解析】|x1|x3|(x1)(x3)|4，a4，当且仅当(x1)(x3)0 即3x1 时，|x1|x3|有最小值为 4.故实数 a 的取值范围为(，4不等式f(x)a恒成立f(x)mina；f(x)a恒成立f(x)maxa，使用不等式|a|b|ab|求最值时通常使ab或ab为定值2设函数 f(x)x1a|xa|m 对任意的 x 恒成立，求m 的取值范围【解析】f(x)x1a|xa|x1a xa a1a|a|1a 2.函数 f(
5、x)x1a|xa|m 对任意的 x 恒成立，m2.故 m 的取值范围是(，2绝对值不等式的最值问题【例 3】已知二次函数 f(x)x2axb(a，bR)的定义域为1,1且|f(x)|的最大值为 M.(1)证明：|1b|M；(2)证明：M12；(3)当 M12时，试求出 f(x)的解析式【解题探究】证明(1)要充分利用条件M|f(1)|，M|f(1)|.(2)的证明可以用推论|a1|a2|a3|a1a2a3|.(3)确定f(x)的解析式，关键是利用不等式取等号生成方程【解析】(1)|f(x)|M，M|f(1)|1ab|，M|f(1)|1ab|.2M|1ab|1ab|(1ab)(1ab)|2|1b
6、|，即|1b|M.(2)依题意，有 M|f(1)|，M|f(0)|，M|f(1)|.又 f(1)2f(0)f(1)2，4M|f(1)|2|f(0)|f(1)|f(1)2f(0)f(1)|2.M12.(3)当 M12时，|f(0)|b|12，12b12.同理|f(1)|1ab|12，121ab12，|f(1)|1ab|12，121ab12.由得32b12.由得 b12.当 b12时分别代入得1a0，0a1.a0.故 f(x)x212.证明含有绝对值的不等式常用途径有二：一是去掉绝对值符号；二是用绝对值不等式|a|b|ab|a|b|来证明3(1)已知定义在R上的函数f(x)|x1|x2|的最小值为a，求a的值；(2)对于实数x，y，若|x1|1，|y2|1，求|xy1|的最大值【解析】(1)f(x)|x1|x2|(x1)(x2)|3，故 a3.(2)对于实数 x，y，若|x1|1，|y2|1，则|xy1|(x1)(y2)|x1|y2|2，故|xy1|的最大值为 2.1应用绝对值不等式求解基本问题时，要注意等号成立的条件：(1)|ab|a|b|ab0；(2)|ab|a|b|ab0.2利用|ab|a|b|求最值时，原则上是使ab或ab为定值3通常采取加、减项进行配凑，然后再利用绝对值不等式
