1、考点规范练26平面向量的数量积与平面向量的应用基础巩固1.对任意平面向量a,b,下列关系式不恒成立的是()A.|ab|a|b|B.|a-b|a|-|b|C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)(a-b)=a2-b22.已知a,b为单位向量,其夹角为60,则(2a-b)b=()A.-1B.0C.1D.23.(2017河南新乡二模)已知向量a=(1,2),b=(m,-4),若|a|b|+ab=0,则实数m等于()A.-4B.4C.-2D.24.(2017河南濮阳一模)若向量BA=(1,2),CA=(4,5),且CB(BA+CA)=0,则实数的值为()A.3B.-92C.-3D.-535.在四边
2、形ABCD中,AC=(1,2),BD=(-4,2),则该四边形的面积为()A.5B.25C.5D.106.(2017河北邯郸二模)已知向量a=(m,2),b=(2,-1),且ab,则|2a-b|a(a+b)等于()A.-53B.1C.2D.547.(2017北京,文7)设m,n为非零向量,则“存在负数,使得m=n”是“mn|a|-|b|.故不等式不恒成立;C项,(a+b)2=|a+b|2恒成立;D项,(a+b)(a-b)=a2-ab+ba-b2=a2-b2,故等式恒成立.综上,选B.2.B解析由已知得|a|=|b|=1,a与b的夹角=60,(2a-b)b=2ab-b2=2|a|b|cos-|b
3、|2=211cos60-12=0,故选B.3.C解析设a,b的夹角为,|a|b|+ab=0,|a|b|+|a|b|cos=0,cos=-1,即a,b的方向相反.又向量a=(1,2),b=(m,-4),b=-2a,m=-2.4.C解析BA=(1,2),CA=(4,5),CB=CA+AB=CA-BA=(3,3),BA+CA=(+4,2+5).又CB(BA+CA)=0,3(+4)+3(2+5)=0,解得=-3.5.C解析依题意得,ACBD=1(-4)+22=0,ACBD.四边形ABCD的面积为12|AC|BD|=12520=5.6.B解析a=(m,2),b=(2,-1),且ab,ab=2m-2=0,
4、解得m=1,a=(1,2),2a-b=(0,5),|2a-b|=5.又a+b=(3,1),a(a+b)=13+21=5,|2a-b|a(a+b)=55=1.7.A解析m,n为非零向量,若存在0,使m=n,即两向量反向,夹角是180,则mn=|m|n|cos180=-|m|n|0.反过来,若mn0,则两向量的夹角为(90,180,并不一定反向,即不一定存在负数,使得m=n,所以“存在负数,使得m=n”是“mn0),又n(tm+n),所以n(tm+n)=ntm+nn=t|m|n|cos+|n|2=t3k4k13+(4k)2=4tk2+16k2=0.所以t=-4,故选B.13.B解析因为AP=AB+
5、AD,所以|AP|2=|AB+AD|2.所以322=2|AB|2+2|AD|2+2ABAD.因为AB=1,AD=3,ABAD,所以34=2+32.又34=2+3223,所以(+3)2=34+2334+34=32.所以+3的最大值为62,当且仅当=64,=24时等号成立.14.A解析以点A为原点,AB,AC所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,如图.则A(0,0),B1t,0,C(0,t),AB|AB|=(1,0),AC|AC|=(0,1),AP=AB|AB|+4AC|AC|=(1,0)+4(0,1)=(1,4),点P的坐标为(1,4),PB=1t-1,-4,PC=(-1,t-4),PBP
6、C=1-1t-4t+16=-1t+4t+17-4+17=13.当且仅当1t=4t,即t=12时等号成立,PBPC的最大值为13.15.22解析CP=3PD,AP=AD+14AB,BP=AD-34AB.又AB=8,AD=5,APBP=AD+14ABAD-34AB=|AD|2-12ABAD-316|AB|2=25-12ABAD-12=2.ABAD=22.16.7解析设a与b的夹角为,由已知得=60,不妨取a=(1,0),b=(1,3).设e=(cos,sin),则|ae|+|be|=|cos|+|cos+3sin|cos|+|cos|+3|sin|=2|cos|+3|sin|,当cos与sin同号
7、时等号成立.所以2|cos|+3|sin|=|2cos+3sin|=727cos+37sin=7|sin(+)|其中sin=27,cos=37,取为锐角.显然7|sin(+)|7.易知当+=2时,|sin(+)|取最大值1,此时为锐角,sin,cos同为正,因此上述不等式中等号能同时取到.故所求最大值为7.17.3解析|OA|=|OB|=1,|OC|=2,由tan=7,0,得00,cos0,tan=sincos,sin=7cos,又sin2+cos2=1,得sin=7210,cos=210,OCOA=15,OCOB=1,OAOB=cos+4=-35,得方程组m-35n=15,-35m+n=1,解得m=54,n=74,所以m+n=3.
