1、第二课时 定点、定值、证明问题定点问题典例 已知抛物线 C:y22px(p0)的焦点 F(1,0),O为坐标原点,A,B 是抛物线 C 上异于 O 的两点(1)求抛物线 C 的方程;(2)若直线 OA,OB 的斜率之积为12,求证:直线 AB过 x 轴上一定点解(1)因为抛物线 y22px(p0)的焦点坐标为(1,0),所以p21,即 p2所以抛物线 C 的方程为 y24x(2)证明:当直线 AB 的斜率不存在时,设 At24,t,Bt24,t 因为直线 OA,OB 的斜率之积为12,所以 tt24tt2412,化简得 t232所以 A(8,t),B(8,t),此时直线 AB 的方程为 x8当
2、直线 AB 的斜率存在时,设其方程为 ykxb,A(xA,yA),B(xB,yB),联立方程组y24x,ykxb,消去 x 得 ky24y4b0由根与系数的关系得 yAyB4bk,因为直线 OA,OB 的斜率之积为12,所以yAxAyBxB12,即 xAxB2yAyB0即y2A4 y2B4 2yAyB0,解得 yAyB0(舍去)或 yAyB32所以 yAyB4bk 32,即 b8k,所以 ykx8k,即 yk(x8)综合可知,直线 AB 过定点(8,0)方法点拨圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法:引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点(
3、2)特殊到一般法:根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关对点演练已知椭圆x2a2y2b21(ab0)过点(0,1),其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列直线 l 与 x 轴正半轴和 y 轴分别交于 Q,P,与椭圆分别交于点 M,N,各点均不重合且满足 PM1MQ,PN2 NQ(1)求椭圆的标准方程;(2)若 123,试证明:直线 l 过定点并求此定点解:(1)设椭圆的焦距为 2c,由题意知 b1,且(2a)2(2b)22(2c)2,又 a2b2c2,所以 a23所以椭圆的方程为x23 y21(2)由题意设 P(0,m),Q(x0,0),M(x1,y1),N(x2,y2
4、),直线 l的方程为 xt(ym),由 PM1MQ,知(x1,y1m)1(x0 x1,y1),y1my11,由题意 y10,1my11同理由2 知 2my21123,my11my213,y1y2m(y1y2)0,联立x23y23,xtym,得(t23)y22mt2yt2m230,由题意知 4m2t44(t23)(t2m23)0,且有 y1y22mt2t23,y1y2t2m23t23,代入得 t2m232m2t20,(mt)21,由题意 mt0,mt1,满足,故直线 l 的方程为 xty1,过定点(1,0),即 Q 为定点典例(2017张掖诊断)如图,椭圆E:x2a2y2b21(ab0)经过点
5、A(0,1),且离心率为 22(1)求椭圆 E 的方程;(2)经过点(1,1),且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同两点P,Q(均异于点 A),证明:直线 AP 与 AQ 的斜率之和为定值定值问题解(1)由题意知ca 22,b1,由 a2b2c2,得 a 2,所以椭圆 E 的方程为x22 y21(2)证明:设直线 PQ 的方程为 yk(x1)1(k2),代入x22 y21,得(12k2)x24k(k1)x2k(k2)0,由题意知 0,设 P(x1,y1),Q(x2,y2),且 x1x20,则 x1x24kk112k2,x1x22kk212k2,所以直线 AP 与 AQ 的斜率之和 kAPk
6、AQy11x1 y21x2kx12kx1kx22kx22k(2k)1x1 1x22k(2k)x1x2x1x2 2k(2k)4kk12kk22k2(k1)2故直线 AP 与 AQ 的斜率之和为定值 2方法点拨定值问题常见的2种求法(1)从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关(2)引进变量法:其解题流程为对点演练已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的左焦点 F1(1,0),长轴长与短轴长的比是 2 3(1)求椭圆的方程;(2)过 F1 作两直线 m,n 交椭圆于 A,B,C,D 四点,若 mn,求证:1|AB|1|CD|为定值解:(1)由已知得2a2b2 3,c1,a2b2c2.解得 a2,
7、b 3故所求椭圆的方程为x24 y231(2)证明:由已知 F1(1,0),当直线 m 不垂直于坐标轴时,可设直线 m 的方程为 yk(x1)(k0)由ykx1,x24 y231,得(34k2)x28k2x4k2120由于 0,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则有 x1x2 8k234k2,x1x24k21234k2,|AB|1k2x1x224x1x21k2 8k234k2 244k21234k2 121k234k2 同理|CD|121k23k24 所以 1|AB|1|CD|34k2121k2 3k24121k2 71k2121k2 712当直线 m 垂直于坐标轴时,此时|AB|3,|
8、CD|4;或|AB|4,|CD|3,所以 1|AB|1|CD|1314 712综上,1|AB|1|CD|为定值 712典例(2017山西省四校联考)如图,圆 C 与x 轴相切于点 T(2,0),与 y 轴正半轴相交于两点M,N(点 M 在点 N 的下方),且|MN|3(1)求圆 C 的方程;(2)过点 M 任作一条直线与椭圆x28 y241 相交于两点 A,B,连接 AN,BN,求证:ANMBNM证明问题解(1)设圆 C 的半径为 r(r0),依题意,圆心 C 的坐标为(2,r)|MN|3,r232222,解得 r2254 圆 C 的方程为(x2)2y522254(2)证明:把 x0 代入方程
9、(x2)2y522254,解得 y1 或 y4,即点 M(0,1),N(0,4)当 ABy 轴时,由椭圆的对称性可知ANMBNM当 AB 与 y 轴不垂直时,可设直线 AB 的方程为 ykx1联立方程ykx1,x22y28,消去 y 得,(12k2)x24kx60设直线 AB 交椭圆于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则 x1x2 4k12k2,x1x2 612k2kANkBNy14x1 y24x2 kx13x1kx23x22kx1x23x1x2x1x2若 kANkBN0,则ANMBNM2kx1x23(x1x2)12k12k2 12k12k20,ANMBNM方法点拨圆锥曲线中的证明问题
10、多涉及证明定值、点在定直线上等,有时也涉及一些否定性命题,证明方法一般是采用直接法或反证法对点演练(2017开封模拟)如图,已知圆 G:(x2)2y249是椭圆 C:x2a2y2b21(ab0)的内接ABC 的内切圆,其中 A(4,0)为椭圆的左顶点(1)求椭圆 C 的方程;(2)过椭圆的上顶点 M 作圆 G 的两条切线交椭圆于 E,F 两点,证明:直线 EF 与圆 G 相切解:(1)由题意可知 BC 垂直于 x 轴,a4设 B(2r,y0)(r 为圆 G 的半径),过圆心 G 作 GDAB 于 D,BC 交 x 轴于 H,由GDADHBAH,得r36r2 y06r,即 y0r 6r6r,r2
11、3,y0 53,B83,53 在椭圆上,83242 532b2 1,解得 b1,椭圆 C 的方程为x216y21(2)证明:由(1)可知 M(0,1),设过点 M(0,1)与圆(x2)2y249相切的直线方程为:ykx1,则23|2k1|1k2,即 32k236k50,解得 k19 4116,k29 4116,将代入x216y21 得(16k21)x232kx0,则异于零的解为 x32k16k21设 F(x1,k1x11),E(x2,k2x21),则 x1 32k116k211,x2 32k216k221,则直线 FE 的斜率为:kEFk2x2k1x1x2x1 k1k2116k1k234,于是直线 FE 的方程为:y 32k2116k211134x 32k116k211,即 y34x73,则圆心(2,0)到直线 FE 的距离 d32731 91623r,故结论成立升级增分训练点击此处