1、第二课时 定点、定值、证明问题定点问题典例 已知抛物线 C：y22px(p0)的焦点 F(1,0)，O为坐标原点，A，B 是抛物线 C 上异于 O 的两点(1)求抛物线 C 的方程；(2)若直线 OA，OB 的斜率之积为12，求证：直线 AB过 x 轴上一定点解(1)因为抛物线 y22px(p0)的焦点坐标为(1,0)，所以p21，即 p2所以抛物线 C 的方程为 y24x(2)证明：当直线 AB 的斜率不存在时，设 At24，t，Bt24，t 因为直线 OA，OB 的斜率之积为12，所以 tt24tt2412，化简得 t232所以 A(8，t)，B(8，t)，此时直线 AB 的方程为 x8当
2、直线 AB 的斜率存在时，设其方程为 ykxb，A(xA，yA)，B(xB，yB)，联立方程组y24x，ykxb，消去 x 得 ky24y4b0由根与系数的关系得 yAyB4bk，因为直线 OA，OB 的斜率之积为12，所以yAxAyBxB12，即 xAxB2yAyB0即y2A4 y2B4 2yAyB0，解得 yAyB0(舍去)或 yAyB32所以 yAyB4bk 32，即 b8k，所以 ykx8k，即 yk(x8)综合可知，直线 AB 过定点(8,0)方法点拨圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点(
3、2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关对点演练已知椭圆x2a2y2b21(ab0)过点(0,1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列直线 l 与 x 轴正半轴和 y 轴分别交于 Q，P，与椭圆分别交于点 M，N，各点均不重合且满足 PM1MQ，PN2 NQ(1)求椭圆的标准方程；(2)若 123，试证明：直线 l 过定点并求此定点解：(1)设椭圆的焦距为 2c，由题意知 b1，且(2a)2(2b)22(2c)2，又 a2b2c2，所以 a23所以椭圆的方程为x23 y21(2)由题意设 P(0，m)，Q(x0,0)，M(x1，y1)，N(x2，y2
4、)，直线 l的方程为 xt(ym)，由 PM1MQ，知(x1，y1m)1(x0 x1，y1)，y1my11，由题意 y10，1my11同理由2 知 2my21123，my11my213，y1y2m(y1y2)0，联立x23y23，xtym，得(t23)y22mt2yt2m230，由题意知 4m2t44(t23)(t2m23)0，且有 y1y22mt2t23，y1y2t2m23t23，代入得 t2m232m2t20，(mt)21，由题意 mt0，mt1，满足，故直线 l 的方程为 xty1，过定点(1,0)，即 Q 为定点典例(2017张掖诊断)如图，椭圆E：x2a2y2b21(ab0)经过点
5、A(0，1)，且离心率为 22(1)求椭圆 E 的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同两点P，Q(均异于点 A)，证明：直线 AP 与 AQ 的斜率之和为定值定值问题解(1)由题意知ca 22，b1，由 a2b2c2，得 a 2，所以椭圆 E 的方程为x22 y21(2)证明：设直线 PQ 的方程为 yk(x1)1(k2)，代入x22 y21，得(12k2)x24k(k1)x2k(k2)0，由题意知 0，设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，且 x1x20，则 x1x24kk112k2，x1x22kk212k2，所以直线 AP 与 AQ 的斜率之和 kAPk
6、AQy11x1 y21x2kx12kx1kx22kx22k(2k)1x1 1x22k(2k)x1x2x1x2 2k(2k)4kk12kk22k2(k1)2故直线 AP 与 AQ 的斜率之和为定值 2方法点拨定值问题常见的2种求法(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关(2)引进变量法：其解题流程为对点演练已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的左焦点 F1(1,0)，长轴长与短轴长的比是 2 3(1)求椭圆的方程；(2)过 F1 作两直线 m，n 交椭圆于 A，B，C，D 四点，若 mn，求证：1|AB|1|CD|为定值解：(1)由已知得2a2b2 3，c1，a2b2c2.解得 a2，
7、b 3故所求椭圆的方程为x24 y231(2)证明：由已知 F1(1,0)，当直线 m 不垂直于坐标轴时，可设直线 m 的方程为 yk(x1)(k0)由ykx1，x24 y231，得(34k2)x28k2x4k2120由于 0，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有 x1x2 8k234k2，x1x24k21234k2，|AB|1k2x1x224x1x21k2 8k234k2 244k21234k2 121k234k2 同理|CD|121k23k24 所以 1|AB|1|CD|34k2121k2 3k24121k2 71k2121k2 712当直线 m 垂直于坐标轴时，此时|AB|3，|
8、CD|4；或|AB|4，|CD|3，所以 1|AB|1|CD|1314 712综上，1|AB|1|CD|为定值 712典例(2017山西省四校联考)如图，圆 C 与x 轴相切于点 T(2，0)，与 y 轴正半轴相交于两点M，N(点 M 在点 N 的下方)，且|MN|3(1)求圆 C 的方程；(2)过点 M 任作一条直线与椭圆x28 y241 相交于两点 A，B，连接 AN，BN，求证：ANMBNM证明问题解(1)设圆 C 的半径为 r(r0)，依题意，圆心 C 的坐标为(2，r)|MN|3，r232222，解得 r2254 圆 C 的方程为(x2)2y522254(2)证明：把 x0 代入方程
9、(x2)2y522254，解得 y1 或 y4，即点 M(0,1)，N(0,4)当 ABy 轴时，由椭圆的对称性可知ANMBNM当 AB 与 y 轴不垂直时，可设直线 AB 的方程为 ykx1联立方程ykx1，x22y28，消去 y 得，(12k2)x24kx60设直线 AB 交椭圆于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则 x1x2 4k12k2，x1x2 612k2kANkBNy14x1 y24x2 kx13x1kx23x22kx1x23x1x2x1x2若 kANkBN0，则ANMBNM2kx1x23(x1x2)12k12k2 12k12k20，ANMBNM方法点拨圆锥曲线中的证明问题
10、多涉及证明定值、点在定直线上等，有时也涉及一些否定性命题，证明方法一般是采用直接法或反证法对点演练(2017开封模拟)如图，已知圆 G：(x2)2y249是椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的内接ABC 的内切圆，其中 A(4,0)为椭圆的左顶点(1)求椭圆 C 的方程；(2)过椭圆的上顶点 M 作圆 G 的两条切线交椭圆于 E，F 两点，证明：直线 EF 与圆 G 相切解：(1)由题意可知 BC 垂直于 x 轴，a4设 B(2r，y0)(r 为圆 G 的半径)，过圆心 G 作 GDAB 于 D，BC 交 x 轴于 H，由GDADHBAH，得r36r2 y06r，即 y0r 6r6r，r2
11、3，y0 53，B83，53 在椭圆上，83242 532b2 1，解得 b1，椭圆 C 的方程为x216y21(2)证明：由(1)可知 M(0,1)，设过点 M(0,1)与圆(x2)2y249相切的直线方程为：ykx1，则23|2k1|1k2，即 32k236k50，解得 k19 4116，k29 4116，将代入x216y21 得(16k21)x232kx0，则异于零的解为 x32k16k21设 F(x1，k1x11)，E(x2，k2x21)，则 x1 32k116k211，x2 32k216k221，则直线 FE 的斜率为：kEFk2x2k1x1x2x1 k1k2116k1k234，于是直线 FE 的方程为：y 32k2116k211134x 32k116k211，即 y34x73，则圆心(2,0)到直线 FE 的距离 d32731 91623r，故结论成立升级增分训练点击此处