1、3.2 基本不等式(a，b0)3.2.1 基本不等式的证明第3章 不等式 abab2学 习 任 务核 心 素 养1了解基本不等式的证明过程(重点)2能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小3能利用基本不等式求简单函数的最值(难点)1通过不等式的证明，培养逻辑推理素养2借助基本不等式求简单的最值问题，提升数学运算素养.情境导学探新知 NO.1某商店在节前进行商品降价酬宾销售活动，拟分两次降价甲方案是第一次打 p 折销售，第二次打 q 折销售，乙方案是第一次打 q 折销售，第二次打 p 折销售，两方案是两次都打pq2 折销售请问哪一种方案降价最多？知识点 1 算术平均数、几何平均数与基本
2、不等式(1)算术平均数与几何平均数对于正数 a，b，我们把_称为 a，b 的算术平均数，_称为 a，b 的几何平均数(2)基本不等式如果 a，b 是正数，那么 ab_ab2(当且仅当_时，等号成立)，我们把不等式_称为基本不等式ab2abababab2(a，b0)1.如何证明不等式 abab2(a，b0)?提示 因为 ab2 ab(a)2(b)22 a b(ab)20，当且仅当 ab 时，等号成立，所以 ab2 ab，所以 abab2，当且仅当 ab 时，等号成立400 20 20 由 abab2 知 xy402，所以 xy400.此时 xy20.1.设 x，y 满足 xy40，且 x，y 都
3、是正数，则 xy 的最大值为_，此时 x_，y_.知识点 2 两个重要的不等式若 a，bR，则(1)aba2b22，即 a2b22ab(当且仅当 ab 时，等号成立)；(2)abab22(当且仅当 ab 时，等号成立)2.当 a、b 满足什么条件时，a2b22ab？a2b22ab?提示 当 ab 时，a2b22ab，a、bR 时 a2b22ab.a1 当 a212a，即(a1)20，即 a1 时“”成立2.不等式 a212a 中等号成立的条件是_知识点 3 应用基本不等式求最值在运用基本不等式 abab2 求最值时，要把握好三个要点“一正、二定、三相等”一正：a，b 是正数二定：和 ab 一定
4、时，由 abab2 变形得 abab22，即积_有最大值ab22；积 ab 一定时，由 abab2 变形得 ab2 ab，即和_有最小值 2 ab.三相等：取等号的条件都是当且仅当 ab 时，等号成立abab3.思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)对任意 a，bR，a2b22ab，ab2 ab均成立()(2)若 a2，则 a1a2a1a2.()(3)若 a0，b0，则 abab22.()提示(1)任意 a，bR，有 a2b22ab 成立，当 a，b0 时，不等式 ab2 ab成立(2)根据基本不等式，才有不等式 a1a2a1a2 成立，当且仅当 a1 时取等号(3)因为 abab2，所
5、以 abab22.答案(1)(2)(3)合作探究释疑难 NO.2类型1 对基本不等式的理解 类型2 利用基本不等式比较大小 类型3 利用基本不等式证明不等式 类型4 利用基本不等式求最值 类型 1 对基本不等式的理解【例 1】给出下面三个推导过程：因为 a，b 为正实数，所以baab2baab2；因为 aR，a0，所以4aa24aa4；因为 x，yR，xy0，所以xyyxxy yx 2xy yx 2.其中正确的推导为()ABCDB 因为 a，b 为正实数，所以ba，ab为正实数，符合基本不等式的条件，故的推导正确因为 aR，a0，不符合基本不等式的条件，所以4aa24aa4 是错误的由 xy0
6、，得xy，yx均为负数，但在推导过程中将整体xyyx提出负号后，xy、yx 均变为正数，符合基本不等式的条件，故正确1基本不等式 abab2 (a0，b0)反映了两个非负数的和与积之间的关系2对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面：(1)定理成立的条件是 a，b 都是非负数(2)“当且仅当”的含义：当 ab 时，abab2 的等号成立，即abab2 ab；仅当 ab 时，ab2 ab的等号成立，即ab2 abab.中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件跟进训练1下列不等式的推导过程正确的是_(填序号)若 x0，则 x1x2x1x2；若 x0，则 x4xx4x 2x4x 4；若 a，
7、bR，则baab2baab2.类型 2 利用基本不等式比较大小【例 2】已知 ma 1a2(a2)，nbaab 5(a，b(0，)，试比较 m、n 的大小解 ma 1a2(a2)1a22，a2，a20，1a20，ma2 1a222a21a224，当且仅当 a2 1a2时等号成立，此时 a3.m4.nbaab 52baab53，当且仅当 ab 时等号成立综上 mn.1在理解基本不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件2运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件，即 ab2 ab成立的条件是 a0，b0，等号成立的条件是 ab；a2b22ab 成立的条件是 a，bR，等号成立的条件是 ab.跟
8、进训练2如果 0ab1，Pab2，Q ab，M ab，那么 P，Q，M 的大小顺序是()APQMBMPQCQMPDMQPB 显然ab2 ab，又因为ab2 ab(由 abab24，也就是由ab4 1 可得)，所以 abab2 ab.故 MPQ.类型 3 利用基本不等式证明不等式【例 3】已知 a，b，c 是互不相等的正数，且 abc1，求证：1a1b1c9.思路点拨 看到1a1b1c9，想到将“1”换成“abc”，裂项构造基本不等式的形式，用基本不等式证明证明 因为 a，b，c 是正数，且 abc1，所以1a1b1cabcaabcbabcc3bacaabcbacbc3baab caac cbb
9、c 32baab2caac2cbbc32229.当且仅当 abc 时取等号，又因为 a，b，c 互不相等，所以1a1b1c9.本例条件不变，求证：1a11b11c1 8.证明 因为 a，b，c 是正数，且 abc1，所以1a1bca 0，1b1acb 0，1c1abc 0，所以1a11b11c1bca acb abc2 bc2 ac2 ababc8，当且仅当 abc 时取等号，因为 a，b，c 互不相等，所以1a11b11c1 8.1条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，比如本题通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用基本不等式创造条件，另一方面可实现约分与不
10、等式的右边建立联系2先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质(注意限制条件)，通过相加(乘)合成为符合待证的不等式，既是运用基本不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法跟进训练3已知 a，b，c 为不全相等的正实数求证：abc ab bc ca.证明 a0，b0，c0，ab2 ab0，bc2 bc0，ca2 ca0.2(abc)2(ab bc ca)，即 abc ab bc ca.由于 a，b，c 为不全相等的正实数，故等号不成立abc ab bc ca.类型 4 利用基本不等式求最值【例 4】(1)当 x0 时，求12x 4x 的最小值；(2)当 x1 时，求 2x 8x1的最
11、小值；(4)已知 4xax(x0，a0)在 x3 时取得最小值，求 a 的值解(1)x0，12x 0,4x0.12x 4x212x 4x8 3.当且仅当12x 4x，即 x 3时取最小值 8 3，当 x0 时，12x 4x 的最小值为 8 3.(2)x0.则 12x(4x)212x4x8 3，当且仅当 12x4x 时，即 x 3时取等号12x 4x8 3.当 x1，x10，2x 8x122 4210，当且仅当 x1 4x1，即 x3 时，取等号当 x1 时，2x xx1的最小值为 10.(4)4xax24xax4 a，当且仅当 4xax，即 a4x236 时取等号，a36.利用基本不等式求最值
12、的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件具体可归纳为三句话：一不正，用其相反数，改变不等号方向；二不定应凑出定和或定积；三不等，一般用单调性跟进训练4(1)已知 x54，求 y4x214x5的最大值；(2)已知 0 x0，求函数 yx25x4x的最小值解(1)x0，y4x214x554x154x 3231，当且仅当 54x154x，即 x1 时，上式等号成立，故当 x1 时，ymax1.(2)0 x0，y142x(12x)142x12x221414 116.当且仅当 2x12x0 x0)的最小值为 9.当堂达标夯基础
13、NO.31 2 3 4 5 A x0，9xx2x9x6.当且仅当 x9x即 x3 时取得最小值 6.1已知 x0，则9xx 的最小值为()A6 B5 C4 D31 2 3 4 5 C 设 a，b 为正数，且 ab2 ab，abab224，当且仅当 ab2 时取等号2设 a，b 为正数，且 ab4 则()A1a1b1B1a1b2Cab4Dab81 2 3 4 5 32 2 2mn1，则1m1n1m1n(2mn)32mn nm32 2，即最小值为 32 2.3若正数 m、n 满足 2mn1，则1m1n的最小值为_1 2 3 4 5 2 因为 a0，b0，所以 ab2 ab2.当且仅当 ab1 时等号成立，故 ab 的最小值为 2.4已知 ab1，a0，b0.则 ab 的最小值为_5 1 2 3 4 x5 当 x2 时，由基本不等式知 y 9x2x 9x2(x2)229x2x228.当且仅当 9x2x2 时取等号，此时 x5(x1 舍去)5函数 y 9x2x(其中 x2)取得最小值的条件是_回顾本节知识，自我完成以下问题1应用基本不等式要注意哪些问题？提示 一正二定三相等2应用基本不等式证明不等式的关键是什么？提示 关键在于“拼”“凑”“拆”“合”“放缩”等变形，构选出符合基本不等式的条件结构点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!
