1、了解曲线的参数方程的意义，掌握直线、圆、椭圆、双曲线和抛物线的参数方程并能灵活运用，理解直线和圆的参数的几何意义_()1(xytttM xyxyt在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标，都是某个变数 的函数，即为参数，并且对于 的每一个允许值，由该方程组所确定的点，都在这条曲线上，那么此方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数，之间的变数 叫做参变数，简称参数相对于参数方程，前面学过的直接给出曲线上的点的坐标间关系的方程，叫做曲线的普通方程在曲线的参数参数方方程中程的定义，要明确参数的取值范围，这个范围决定了曲线的存在范围，并且两者要保持一致 1_.()2_2xy由参数方程化为普通方程消
2、参数的方法有代入法、加减 或乘除 消元法、三角代换法等消参时应特别注意参数的取值范围对，的限制由参数方程化为普通方程一般是唯一的由普通方程化为参数方程，参数选法各种各样，所以由普通方参数方程和普通方程的互化程化为参数方程是不唯一的 00000001()()()()_|3.MxyttMxyM xyM Mt标准式：经过点，倾斜角为的直线的参数方程为为参数，其中 是直线上的定点，到动点，的直线参数方程的，即几种形式000000()()0()()0()()0.xyxytxyxytxyxytt当点，在点，的上方时，；当点，在点，的下方时，；当点，与点，重合时，以上反之亦然由于直线的标准参数方程中 具有这
3、样的几何意义，所以在解决直线与二次曲线相交的弦长和弦的中点问题时，用参数方程来解决方便了很多 00002()()()()()txyabM xyxytatbtM xyxyxy点斜式：为参数 其中，表示该直线上的一点，表示直线的斜率当，分别表示点，在 轴正方向与 轴正方向的分速度时，就具有物理意义时间，相应的，则表示点，在轴正方向、轴正方向上相对，的位移 2220022221()21(0)()4xxyyrxyabab圆的参数方程为为参数 圆锥曲线的参数方椭圆 的参数方程为为参数程 22222231sec()tan42(0)2()2xyabxaybypx pxpttypt 双曲线的参数方程为为参数
4、抛物线 的参数方程为为参数 1(cossin)()(sincos)2(sin)()(1 cos)5xryrxryr圆的渐开线的参数方程：是参数 圆的摆线的参数方程渐：是开和摆线参数线0000000()()cossincossin cos sinxf tyg txxtyytM Mxxatyybtxxryyrxayb；消去参数；选参数；有向线段的数量；【要点指南】1.曲线 C：xcos1ysin1(为参数)的普通方程为()A(x1)2(y1)21B(x1)2(y1)21C(x1)2(y1)21D(x1)2(y1)21【解析】曲线 C 方程可化为x1cosy1sin，所以(x1)2(y1)2cos2
5、sin21.2.方程xt1ty2(t 为参数)表示的曲线是()A一条直线B两条直线C一条射线D两条射线【解析】对于 xt1t，当 t0 时，x2，当t0 时，x2.则方程化为 y2(x2 或 x2)，表示两条射线，故选 D.3.若 P(2，1)为圆x15cosy5sin(为参数，02)的弦的中点，则该弦所在的直线方程为()Axy30Bx2y0Cxy10D2xy50【解析】圆的方程化为(x1)2y225，则圆心为C(1,0)，所以 kCP1，所以弦所在的直线的斜率为 1，所以直线方程为 xy30，故选 A.4.若直线 3x4ym0 与圆x1cosy2sin(为参数)没有公共点，则实数 m 的取值
6、范围是(，0)(10，).【解析】问题等价于圆(x1)2(y2)21 与直线 3x4ym0 无公共点，则圆心(1，2)到直线 3x4ym0的距离 d|3142m|32421，解得 m10.5.在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为x2t1y12t(参数 tR)，椭圆 C 的参数方程为x5cosy3sin(为参数)，则椭圆 C 的左焦点到直线 l的距离为 3 2.【解析】由x5cosy3sin得x225y291c 2594，所以椭圆 C 的左焦点坐标为(4,0)直线 l 的普通方程为 xy20，d|402|23 2.一 参数方程与普通方程的互化【例 1】将下列参数方程化为普通方程：
7、(1)xsinycos2(为参数)；(2)x 11t2yt1t2(t 为参数)；(3)x12etety12etet(t 为参数)【解析】(1)因为xsin1，1ycos212sin2，所以 y12x2(1x1)(2)因为 x 11t20，又由两式平方相加得 x2y2 1t21t22 11t2x，即 x2y2x(x0)(3)因为 x12(etet)122 etet1，且 x2y212(etet)212(etet)21，即 x2y21(x1)【点评】参数方程与普通方程的互化必须充分注意探究方程的等价性，即互化前后坐标取值范围的一致性已知曲线 C1：xcosysin(为参数)，曲线 C2：x 22
8、t 2y 22 t(t 为参数)(1)指出 C1，C2 各是什么曲线，并说明 C1 与 C2 公共点的个数；(2)若把 C1，C2 上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线 C1、C2，写出 C1、C2的参数方程C1与 C2公共点的个数和 C1 与 C2 公共点的个数是否相同？说明你的理由素材1【解析】(1)C1 是圆，C2 是直线C1 的普通方程为 x2y21，圆心 C1(0,0)，半径 r1.C2 的普通方程为 xy 20.因为圆心 C1 到直线 xy 20 的距离为 1，所以 C2 与 C1只有一个公共点(2)压缩后的参数方程分别为C1：xcosy12sin(为参数)；C2：x 2
9、2 t 2y 24 t(t 为参数)化为普通方程为 C1：x24y21，C2：y12x 22，联立消元得 2x22 2x10，其判别式(2 2)24210，所以压缩后的直线 C2与椭圆 C1仍然只有一个公共点，和 C1 与 C2 公共点个数相同二参数方程的应用【例 2】化参数方程xt1tyt1t(t 为参数)为普通方程，并求出该曲线上的一点 P，使它到 y2x1的距离为最小，并求此最小距离【解析】化参数方程为普通方程：x2y24.设 P(t1t，t1t)，则点 P 到直线 2xy10 的距离 d|t3t1|5.(1)当 t0 时，d2 315.(2)当 t0 时，因为t3t2 3，所以 t3t
10、12 31.所以|t3t1|2 31，所以 d2 315.因为2 3152 315，所以 d 的最小值为2 315.此时点 P 的坐标为(4 33，2 33)【点评】把曲线上点的坐标用参数式表示，将问题转化为一元函数求最值是简化问题的常用方法(1)两点 P、Q 在椭圆x216y241 上，O 是原点若 OP、OQ 的斜率之积为14，求证：|OP|2|OQ|2 为定值(2)椭圆x2a2y2b21(ab0)与 x 轴正向交于点 A，如果在这个椭圆上总存在点 P，使 OPAP，O 为原点，求离心率 e 的取值范围素材2【解析】(1)证明：设 P(4cos，2sin)，Q(4cos，2sin)，因为
11、kOPkOQ14，所以2sin4cos2sin4cos14，即 coscossinsin0，所以 cos()0，则 2k2(kZ)于是|OP|2|OQ|216cos24sin216cos24sin216sin24cos216cos24sin220，为定值(2)设 P(acos，bsin)，依题意，kOPkAP1，所以bsinacos bsinaacos1，即 b2sin2a2cos(1cos)，所以b2a2cos1cossin2 cos1cos111cos12(0)，所以 1e212，得 22 e1，即离心率 e 的取值范围为(22，1)备选例题过 P(2,1)且两两互相垂直的直线 l1，l2
12、 分别交椭圆x216y241 于 A、B 与 C、D；(1)求|PA|PB|的最值；(2)求证：1|PA|PB|1|PC|PD|为定值【解析】(1)设直线 l1 的倾斜角为，则 l1 的参数方程为x2tcosy1tsin(t 为参数)，代入椭圆的方程x216y241 中，整理得(cos24sin2)t2(4cos8sin)t80，所以 tAtB8cos24sin2，所以|PA|PB|8cos24sin2813sin2，所以|PA|PB|的最大值为 8，最小值为 2.(2)证明：因为 l1l2，不妨设 l1 的倾斜角小于 l2 的倾斜角，则 l2 的倾斜角为2，因此直线l2的参数方程为x2tco
13、s2y1tsin2(t为参数)，代入椭圆的方程x216y241 中，整理得(sin24cos2)t24(2cossin)t80，所以|PC|PD|tCtD|813cos2，所以1|PA|PB|1|PC|PD|13sin2813cos2858，为定值【点评】要求 A、B 两点到 P 的距离之和或积，由参数的几何意义，即只要求|tA|tB|或|tAtB|，求|AB|即求出|tAtB|，运用韦达定理和直线的参数方程中 t 的几何意义即可，是解决直线和二次曲线问题常用的方法之一123参数方程与普通方程的互化一定要讲究方程的等价性在已知圆、椭圆、双曲线和抛物线上取一点可考虑用其参数方程设定点的坐标，将问题转化为三角函数问题求解在直线与圆和圆锥曲线位置关系问题中，涉及距离问题探求可考虑应用直线参数方程中参数的几何意义求解
