1、学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司2022 年普通高等学校招生全国统一考试(新高考全国卷)数学本试卷共 4 页,22 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。注意事项:1答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2作答选择题时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目
2、指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1若集合4,31MxxNxx,则 MN()A 02xxB123xxC 316xxD1163xx2若i(1)1z,则 zz()A 2B 1C1D23在ABC中,点 D 在边 AB 上,2BDDA记CACD,mn,则CB()A32mnB 23mnC32mnD 23mn4南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短
3、缺问题,其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148 5m时,相应水面的面积为2140 0km;水位为海拔157 5m时,相应水面的面积为2180 0km,将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台,则该水库水位从海拔148 5m上升到157 5m时,增加的水量约为(72.65)()A931.0 10 mB931.2 10 mC931.4 10 mD931.6 10 m学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司5从 2 至 8 的 7 个整数中随机取 2 个不同的数,则这 2 个数互质的概率为()A 16B 13C 12D 236记函数()sin(0)4f xxb的最小正周期为
4、T若 23T,且()yf x的图像关于点 3,22中心对称,则2f ()A1B 32C 52D37设0.110.1e,ln 0.99abc,则()A abcBcbaCcabD acb8已知正四棱锥的侧棱长为 l,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为 36,且33 3l,则该正四棱锥体积的取值范围是()A8118,4B 27 81,44C 27 64,43D18,27二、选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分,部分选对的得 2 分,有选错的得 0分。9已知正方体1111ABCDA B C D,则()A直线1BC 与
5、1DA 所成的角为90B直线1BC 与1CA 所成的角为90C直线1BC 与平面11BB D D 所成的角为 45D直线1BC 与平面 ABCD 所成的角为 4510已知函数3()1f xxx,则()A()f x 有两个极值点B()f x 有三个零点C点(0,1)是曲线()yf x的对称中心D直线2yx是曲线()yf x的切线11已知 O 为坐标原点,点(1,1)A在抛物线2:2(0)C xpy p上,过点(0,1)B的直线交 C 于 P,Q 两点,则()AC 的准线为1y B直线 AB 与 C 相切C2|OPOQOAD2|BPBQBA12.已知函数()f x 及其导函数()fx的定义域均为
6、R,记()()g xfx.若322fx,(2)gx均为偶函数,则()学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司A(0)0fB102g C(1)(4)ffD(1)(2)gg三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分1381()yxyx的展开式中26x y 的系数为_(用数字作答)14 写 出 与 圆221xy和22(3)(4)16xy都 相 切 的 一 条 直 线 的 方 程_15若曲线()exyxa有两条过坐标原点的切线,则 a 的取值范围是_16已知椭圆2222:1(0)xyCabab,C 的上顶点为 A,两个焦点为1F,2F,离心率为12过1F 且垂直于2AF 的
7、直线与 C 交于 D,E 两点,|6DE,则ADE 的周长是_四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(10 分)记nS 为数列 na的前 n 项和,已知11,nnSaa是公差为 13的等差数列(1)求 na的通项公式;(2)证明:121112naaa18(12 分)记 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 cossin21sin1cos2ABAB(1)若23C,求 B;(2)求222abc的最小值19(12 分)如图,直三棱柱111ABCA B C的体积为 4,1A BC 的面积为2 2 学科网(北京)股份有限公司学科网(北京
8、)股份有限公司(1)求 A 到平面1A BC 的距离;(2)设 D 为1AC 的中点,1AAAB,平面1A BC 平面11ABB A,求二面角 ABDC的正弦值20(12 分)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系,在已患该疾病的病例中随机调查了 100 例(称为病例组),同时在未患该疾病的人群中随机调查了 100 人(称为对照组),得到如下数据:不够良好良好病例组4060对照组1090(1)能否有 99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异?(2)从该地的人群中任选一人,A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”,B
9、表示事件“选到的人患有该疾病”,(|)(|)P B AP B A与(|)(|)P B AP B A的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标,记该指标为 R()证明:(|)(|)(|)(|)P A BP A BRP A BP A B;()利用该调查数据,给出(|),(|)P A B P A B 的估计值,并利用()的结果给出 R 的估计值附:22()()()()()n adbcKab cd ac bd,2P Kk0.0500.0100.001k3.8416.63510.82821(12 分)学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司已知点(2,1)A在双曲线2222:1
10、(1)1xyCaaa上,直线 l 交 C 于 P,Q 两点,直线,AP AQ的斜率之和为 0(1)求 l 的斜率;(2)若 tan2 2PAQ,求PAQ的面积22(12 分)已知函数()exf xax和()lng xaxx有相同的最小值(1)求 a;(2)证明:存在直线 yb,其与两条曲线()yf x和()yg x共有三个不同的交点,并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列绝密启用前试卷类型:A2022 年普通高等学校招生全国统一考试(新高考全国卷)数学参考答案一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.D2.D3.B4.
11、C5.D6.A7.C8.C二、选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求全部选对的得 5 分,部分选对的得 2 分,有选错的得 0分9.ABD10.AC11.BCD12.BC三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分13.-28学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司14.3544yx 或7252424yx或1x 15.,40,16.13四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.(1)12nn na(2)12112,11nan nnn12111naaa111111212
12、1222311nnn18.(1)6;(2)4 2519.(1)2(2)3220.(1)由已知222()200(40 9060 10)=24()()()()50 150 100 100n adbcKab cd ac bd,又2(6.635)=0.01P K,246.635,所以有 99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.(2)(i)因为(|)(|)()()()()=(|)(|)()()()()P B AP B AP ABP AP ABP ARP B AP B AP AP ABP AP AB,所以()()()()()()()()P ABP BP ABP BRP BP ABP
13、BP AB所以(|)(|)(|)(|)P A BP A BRP A BP A B;(ii)6R;21.(1)1;(2)16 29学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司22.(1)1a(2)由(1)可得e()xxf x 和()lng xxx的最小值为11 ln11 ln11 .当1b 时,考虑exxb的解的个数、lnxxb的解的个数.设 exS xxb,e1xSx,当0 x 时,0Sx,当0 x 时,0Sx,故 S x 在,0上为减函数,在0,上为增函数,所以 min010S xSb,而 e0bSb,e2bS bb,设 e2bu bb,其中1b ,则 e20bu b,故 u b 在
14、1,上为增函数,故 1e20u bu,故 0S b,故 exS xxb有两个不同的零点,即exxb的解的个数为 2.设 lnT xxxb,1xTxx,当01x时,()0Tx,当1x 时,0Tx,故 T x 在()0,1 上为减函数,在1,上为增函数,所以 min110T xTb,而 ee0bbT,ee20bbTb,lnT xxxb有两个不同的零点即lnxxb的解的个数为 2.当1b ,由(1)讨论可得lnxxb、exxb仅有一个零点,当1b 时,由(1)讨论可得lnxxb、exxb均无零点,故若存在直线 yb与曲线 yf x、()yg x=有三个不同的交点,则1b .设()eln2xh xxx
15、,其中0 x,故1()e2xh xx,设 e1xs xx,0 x,则 e10 xs x,故 s x 在0,上为增函数,故 00s xs即e1xx,所以1()12 10h xxx ,所以()h x 在0,上为增函数,学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司而(1)e20h,31e333122()e3e30eeeh ,故 h x 在0,上有且只有一个零点0 x,0311ex 且:当00 xx时,0h x 即elnxxxx即 f xg x,当0 xx时,0h x 即elnxxxx即 f xg x,因此若存在直线 yb与曲线 yf x、()yg x=有三个不同的交点,故001bf xg x,此时exxb有两个不同的零点1010,(0)x x xx,此时lnxxb有两个不同的零点0404,(01)x xxx,故11exxb,00exxb,44ln0 xxb,00ln0 xxb所以44lnxbx即44exbx 即44e0 xbxbb,故4xb为方程exxb的解,同理0 xb也为方程exxb的解又11exxb可化为11exxb即11ln0 xxb即11ln0 xbxbb,故1xb为方程lnxxb的解,同理0 xb也为方程lnxxb的解,所以 1004,x xxb xb,而1b ,故0410 xxbxxb即1402xxx.