1、第7课时 柱坐标系与球坐标系简介1柱坐标系一般地，建立空间直角坐标系Oxyz，设P是空间中任意一点，它在平面Oxy上的射影为Q，用(，)(0，02)表示点Q在平面Oxy上的极坐标，这时点P的位置可以用有序数组(，z)(zR)表示，如下图，空间点 P 的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(，z)之间的变换公式为xcos，ysin，zz2x2y2，tan yxx0，zz.这样我们建立了空间的点与有序数组(，z)之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫_，有序数组(，z)叫做点P的_，记作P(，z)，其中0,02，z.柱坐标系又称_，它是由_及_中的一部分建立起来的柱坐标系 柱坐标 半极坐标 平
2、面极坐标系 空间直角坐标系2球坐标系一般地，如下图，建立空间直角坐标系 Oxyz，设 P 是空间中任意一点，连接 OP，记OP r，OP 与 z 轴正方向所夹的角为 设 P 在平面 Oxy 上的射影为 Q，x 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为.这样点 P 的位置就可以用有序数组(r，)表示这样，空间的点与有序数组(r，)之间建立 了 一 种 对 应 关 系 把 建 立 上 述 对 应 关 系 的 坐 标 系 叫_(或_)，有序数组(r，)叫做点 P的_，记作 P(r，)，其中 r0,0，02空间点 P 的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，)之间的变换公式为xrsin cos，y
3、rsin sin，zrcos r2x2y2z2，cos zrr0，tan yxx0.球坐标系 空间极坐标系 球坐标 1设点 M 的柱坐标为3，53，2，它的直角坐标为()A 32，32，2 B32，32，2C32，32，2 D32，32，2【答案】B【解析】由 xcos 3cos53 32，ysin 3sin53 32，z2，所以点 M 的直角坐标为32，32，2 2.球坐标2，6，3 对应的点的直角坐标是()A32，12，3 B12，12，3C12，32，3 D32，32，3【答案】C【解析】xrsin cos 2sin6cos32121212，yrsin sin 2sin6sin3212
4、32 32，zrcos 2cos62 32 3，故直角坐标为12，32，3 3柱坐标3，3，1 关于 Oxz 平面的对称点为_【答案】3，53，14已知点 M，N 的柱坐标分别为2，4，1，2，53，4，求线段 MN 的中点 Q 的直角坐标【解析】利用互化公式xcos，ysin，zz可得点 M，N 的直角坐标分别为(1,1,1)，(1，3，4)，则线段 MN 的中点 Q 的直角坐标为112，1 32，142，即1，1 32，52【例 1】(1)空间一点 M 的直角坐标为(1,1,3)，求其在相应的柱坐标系中的坐标；(2)空间一点 M 的直角坐标为(1,1，2)，求其在相应的球坐标系中的坐标【解
5、题探究】由柱坐标、球坐标化为直角坐标，给出了具体的公式，将直角坐标化为柱坐标、球坐标，要会将公式逆运用直角坐标系与柱、球坐标系的互化【解析】(1)由柱坐标到直角坐标的坐标变换公式为 xcos，ysin，zz，所以由直角坐标到柱坐标的坐标变换公式为2x2y22，tan yx1，zz3 2，4，z3(M 在第一象限)所以点 M 在相应的柱坐标系中的坐标为2，4，3(2)由球坐标到直角坐标的坐标变换公式为xrsin cos，yrsin sin，zrcos，所以由直角坐标到球坐标的坐标变换公式为r2x2y2z24，cos zr 2r，tan yx1r2，cos zr 22，tan 1r2，4，4.所以
6、点 M 在相应的球坐标系中的坐标为2，4，4 由直角坐标到柱坐标的坐标变换公式为2x2y2，tan yx，zz.由 直 角 坐 标 到 球 坐 标 的 坐 标 变 换 公 式 为r2x2y2z2，cos zr，tan yx.1设点 M 的柱坐标为2，54，2，则它的球坐标为()A2，4，4 B2，4，54C2，54，4 D2，34，4【答案】B【解析】设点 M 的直角坐标为(x，y，z)，则x 2cos54，y 2sin54，z 2，即x1，y1，z 2，M 的直角坐标为 M(1，1，2)设点 M 的球坐标为(r，)，则r2x2y2z24，cos zr 22，tan yx1，球坐标为2，4，5
7、4.故选 B【例 2】球坐标系中，求两点 P3，6，4，Q3，6，34 的距离【解题探究】可利用球坐标与空间直角坐标互化公式，转化为空间直角坐标系中两点的距离，再利用空间直角坐标系中两点间的距离公式求解即可球坐标系中的几何问题【解析】由球坐标与空间直角坐标互化公式得 x3sin6cos4312 22 3 24，y3sin6sin4312 22 3 24，z3cos63 32 3 32.P 点的直角坐标为3 24，3 24，3 32同理 Q 点的直角坐标为3 24，3 24，3 32PQ x1x22y1y22z1z223 22 也可利用球坐标定义，把所求距离放置在球体中利用几何知识求解，但这种方
8、法不如互化简单，所以一般采用互化的方法2已知点 P1 的球坐标是 P14，2，53，P2 的柱坐标是P22，6，1，则|P1P2|()A 21B 29C 30D4 2【答案】A【解析】P1 的球坐标是 P14，2，53，xP14sin2cos53 2，yP14sin2sin53 2 3，zP14cos20，即点 P1(2，2 3，0)P2 的柱坐标是 P22，6，1，xP22cos6 3，yP22sin61，zP21，即点 P2(3，1,1)|P1P2|2 322 312102 21【例 3】如图，在柱坐标系中，长方体的两个顶点坐标为 A1(4,0,5)，C16，2，5，求长方体的外接球的体积
9、【解题探究】根据顶点的柱坐标求出长方体的三边长，其外接球的直径恰为长方体的对角线的长柱坐标系中的几何问题【解析】由柱坐标的定义可得OA4，OC6，OO15，则对角线的长为 425262 77则外接球的体积为43772377 776掌握柱坐标中，z的规定，可以迅速地知道长方体中三边的长也可转化为空间直角坐标解决3在柱坐标系中，求满足1，02，0z2的动点 M(，z)围成的几何体的体积【解析】根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知，满足1，02，0z2的动点 M 的轨迹是以 Oz 为轴，以 1 为底面半径，以 2 为高的圆柱，其体积为 VShr2h2在测量实践中，球坐标中的角称为被测点P(r，)的方位角，90称为高低角
