1、第 二 章 函 数第2.3节函数的单调性教学设计本小节是函数性质之一单调性，揭示了函数图像的趋势，表示了自变量和因变量之间的关系，是数形结合数学思想的基础，与函数的奇偶性呈并列的关系，他俩从不同侧面研究函数性质。在函数性质中具有举足轻重的地位。本节利用图像观察推导单调性判断方法，该方法再次体现了数形结合的主要思想。一 教学目标1、理解函数单调性的概念，会根据函数的图像判断函数的单调性； 2、能够根据函数单调性的定义证明函数在某一区间上的单调性。二. 核心素养1. 数学抽象：函数在区间上单调性概念的概述2. 逻辑推理:本节课的教学，使学生能理性的描述生活中的增长、递减的现象；通过生活实例感受函数
2、单调性的意义，培养学生的识图能力和数形语言转化的能力。3. 数学运算：判断函数的单调性及证明4. 直观想象：通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的数学思想方法，培养学生的观察、归纳、抽象思维能力。5. 数学建模:本节课的教学，启发学生养成细心观察，认真分析，严谨论证的良好习惯；通过问题链的引入，激发学生学习数学的兴趣，学生通过积极参与教学活动，获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立学习数学的自信心。 教学重点函数单调性的概念、判断及证明教学难点归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性PPT1.知识引入函数是刻画变量关系的.研究函数y=f(x)时最关心的问题是：当自变量x变化时
3、，函数值f(x)随之怎样变化.我们知道，一次函数y = kx+b,当k0时，在R上y值随x值的增大而增大.一元二次函数和反比例函数也有类似的性质.可见，用增大或减小来刻画函数在一个区间的变化是非常重要的.如下图分析：思考： 图2-9中，怎样用数学的符号语言表达函数值f(x)在区间-6, -5上隨x值的增大而增大呢？图2-9是函数f(x)的图象,直观上可以看出，对于区间-6, -5,-2,1,3,4.5，7,8,每个区间上函数值f(x)都随x值的增大而增大；对于区间 -5 , -2 , 1,3 , 4.5,7 , 8,9,每个区间上函数值f (x)都随x值的增大而减小.2.函数的单调性定义概述一
4、般地，在函数y=f（x）定义域内的一个区间A上,如果对于任意的,当x1x2时, 都有f(x1)f(x2),那么就称函数y=f(x)在区间A上是增函数或递增的;如果对于任意的,当x1f(x2),那么就称函数y=f(x)在区间A上是减函数或递减的.如果函数y=f(x)在区间A上是增函数或减函数,那么就称函数y=f(x)在区间A上是单调函数，或称函数y=f(x)在区间A上具有单调性.此时，区间A为函数y=f(x)的单调区间.备注：1.概念中应该注意问题：任意的（不能写成“存在”）2.在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.在函数y=f（x）定义域内的一个区间A上,如果对于任意的且（
5、1） 若f(x1)-f(x2)(x1-x2)0或，则函数称函数y=f(x)在区间A上是增函数或递增（2） 若f(x1)-f(x2)(x1-x2)0或，则函数称函数y=f(x)在区间A上是减函数或递减知识扩充： 例1设,画出f(x+3)(x-3)的图像，并通过图像直观判断它的单调性。解：依题意知,其图像可由的图像向左平移3个单位长度得到（图2-10）。该函数在区间上是减函数例2 根据函数图像直观判断y=|x-1|解：函数y=|x-1|可以表示为画出该函数的图像（如2-11），由图象可知该函数在区间上是减函数，在区间上是增函数例3判断函数f(x)=-3x+2的单调性,并给出证明. 解 画出函数f(
6、x)=-3x+2的图象(如图2-12).由图象可以看出，函数f(x)=-3x+2在定义域R上可能是减函数.下面用定义证明这一单调性.任取,且x1x2,则x1-x20即：f(x1)f(x2)函数f(x)=-3x+2在定义域R上是减函数.例4判断函数的单调性,并给出证明.解 画出函数的图象(如图2-13).由图象可以看出，函数在定义域 上可能是增函数.在定义域上任取x1 , x2,且x1x2,则x1-x20,由 ,可知 f(x1)-f(x2)0,即 f(x1)f(x2).由定义可知，函数在定义域上是增函数.例5 试用定义证明：函数在区间(0,1上是减函数,在区间上是增函数一. 知识扩充：证明函数在
7、一个区间上的单调性证明方法：1. 取；2作差；3.定号；4 下结论2. 若函数f(x)与g(x)在区间A上都为增函数（或减函数），则f(x)+g(x)在区间A上也为增函数（或减函数）3. 若函数f(x)在区间A上都为增函数，g(x)在区间A上都为减函数，则f(x)-g(x)在区间A上也为增函数4. 若函数f(x)在区间A上都为减函数，g(x)在区间A上都为增函数，则f(x)-g(x)在区间A上也为减函数二 易错点：1.若函数f（x）在区间A, B都为增函数（或减函数），则可以写成函数f(x)在区间A和B上为增函数（或减函数）【不能写成f(x)在区间上为增函数（或减函数）】 2.函数在整个定义域
8、上是减函数？【答案：否，因为定义域不连续】【题型归类】1. 根据函数图像，直观分析函数的单调性1如图是函数yf（x）的图象，则函数f（x）的单调递减区间是（）A（1，0）B（1，+）C（1，0）（1，+）D（1，0），（1，+）答案：D【解析】解：若函数单调递减，则对应图象为下降的，由图象知，函数在（1，0），（1，+）上分别下降，则对应的单调递减区间为（1，0），（1，+），故选：D2已知函数f（x），（）画出f（x）的图象；（）写出f（x）的单调递增区间【解析】解：（）函数f（x）的图象如右：（）f（x）的单调递增区间为1，0，2，52. 证明：函数在定义域的单调性及区间最值 例：已知函数
9、，（） 证明f（x）在1，+）上是增函数；（） 求f（x）在1，4上的最大值及最小值【解答】（I）证明：在1，+）上任取x1，x2，且x1x2x1x2x1x20x11，+），x21，+）x1x210f（x1）f（x2）0即f（x1）f（x2）故f（x）在1，+）上是增函数（II）解：由（I）知：f（x）在1，4上是增函数当x1时，有最小值2；当x4时，有最大值3. 根据函数单调性，求参数取值范围例已知函数f（x）x2+ax+2，若f（x）在（1，+）上是增函数，则a的取值范围为a2解：根据题意，函数f（x）x2+ax+2，其对称轴为x，若f（x）在（1，+）上是增函数，则有1，解可得a2，即a的取值范围为a2；故：a2本节课主要学习了函数单调性的定义，单调区间的概念，能利用（1）图象法；（2）定义法来判定函数的单调性，从中体会了数形结合的思想，学会从“特殊到一般再到特殊”的思维方法来研究问题。
