1、基础诊断考点突破课堂总结第2讲 等差数列及其前n项和基础诊断考点突破课堂总结最新考纲 1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系基础诊断考点突破课堂总结知 识 梳 理1等差数列的定义如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的，公差通常用字母d表示数学语言表达式：an1and(nN*，d为常数)，或anan1d(n2，d为常数)2同一个常数公差基础诊断考点突破课堂总结2等差数列的通项公式与前 n 项和
2、公式(1)若等差数列an的首项是 a1，公差是 d，则其通项公式为an.通项公式的推广：anam(m，nN*)(2)等差数列的前 n 项和公式Snna1an2 na1nn12d(其中 nN*，a1 为首项，d为公差，an 为第 n 项)a1(n1)d(nm)d基础诊断考点突破课堂总结3等差数列及前 n 项和的性质(1)若 a，A，b 成等差数列，则 A 叫做 a，b 的等差中项，且A ab2 .(2)若an为等差数列，且 mnpq，则 amanapaq(m，n，p，qN*)(3)若an是等差数列，公差为 d，则 ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为的等差数列md基础诊断考点突破课堂总
3、结(4)数列 Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列(5)S2n1(2n1)an.(6)若 n 为偶数，则 S 偶S 奇nd2；若 n 为奇数，则 S 奇S 偶a 中(中间项)基础诊断考点突破课堂总结4等差数列的前 n 项和公式与函数的关系Snd2n2a1d2 n.数列an是等差数列SnAn2Bn(A，B 为常数)5等差数列的前 n 项和的最值在等差数列an中，a10，d0，则 Sn 存在最值；若a10，d0，则 Sn 存在最值大小基础诊断考点突破课堂总结诊 断 自 测 1思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列()(
4、2)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN*，都有2an1anan2.()基础诊断考点突破课堂总结(3)等差数列an的单调性是由公差d决定的()(4)数列an满足an1ann，则数列an是等差数列()基础诊断考点突破课堂总结2(2014新课标全国卷)等差数列an的公差为 2，若 a2，a4，a8 成等比数列，则an的前 n 项和 Sn()An(n1)Bn(n1)C.nn12D.nn12基础诊断考点突破课堂总结解析 a2，a4，a8 成等比数列，a24a2a8，即(a13d)2(a1d)(a17d)，将 d2 代入上式，解得 a12，Sn2nnn122n(n1)，故选 A.答案 A基础诊断考点
5、突破课堂总结3(2013新课标全国卷)设等差数列an的前n项和为Sn，若Sm12，Sm0，Sm13，则m()A3B4C5D6基础诊断考点突破课堂总结解析 法一 Sm12，Sm0，Sm13，amSmSm12，am1Sm1Sm3，公差 dam1am1，由 Snna1nn12dna1nn12，得ma1mm120，m1a1m1m222，由得 a11m2，代入可得 m5.基础诊断考点突破课堂总结法二 数列an为等差数列，且前 n 项和为 Sn，数列Snn 也为等差数列 Sm1m1 Sm1m12Smm，即 2m13m10，解得 m5.经检验为原方程的解故选 C.答案 C基础诊断考点突破课堂总结4(2014
6、江西卷)在等差数列an中，a17，公差为 d，前 n 项和为 Sn，当且仅当 n8 时 Sn 取得最大值，则 d 的取值范围为_解析 由题意知 d0 且a80，a90，即77d0，78d0，解得1d78.答案 1，78基础诊断考点突破课堂总结5植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为_(米)基础诊断考点突破课堂总结解析 将20名同学视为数轴上0、10、20、190的20个点，则路程总和为y2(|x|x10|x190|)，由绝对值的几何意义知，当有奇数
7、个点时，位于中间位置的中点到各点的距离和最小；当有偶数个点时，中间两点之间的点到各点的距离之和最小；所以当90 x100时，ymin2x(x10)(x90)(100 x)(110 x)(190 x)2(1001101019090)2101002 000.答案 2 000基础诊断考点突破课堂总结考点一 等差数列的性质及基本量的求解 【例1】(1)设Sn为等差数列an的前n项和，S84a3，a72，则a9()A6B4C2D2基础诊断考点突破课堂总结解析 法一(常规解法)：设公差为d，则8a128d4a18d，即a15d，a7a16d5d6dd2，所以a9a72d6.法二(结合性质求解)：根据等差数
8、列的定义和性质可得，S84(a3a6)，又S84a3，所以a60，又a72，所以a84，a96.答案 A基础诊断考点突破课堂总结(2)(2014浙江卷)已知等差数列an的公差d0.设an的前n项和为Sn，a11，S2S336.求d及Sn；求m，k(m，kN*)的值，使得amam1am2amk65.基础诊断考点突破课堂总结解 由题意知(2a1d)(3a13d)36，将 a11 代入上式解得 d2 或 d5.因为 d0，所以 d2.从而 an2n1，Snn2(nN*)由得 amam1am2amk(2mk1)(k1)，所以(2mk1)(k1)65.由 m，kN*知 2mk1k11，故2mk113，k
9、15，所以m5，k4.基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)一般地，运用等差数列性质，可以化繁为简、优化解题过程但要注意性质运用的条件，如mnpq，则amanapaq(m，n，p，qN*)，只有当序号之和相等、项数相同时才成立(2)在求解等差数列基本量问题中主要使用的是方程思想，要注意公式使用时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性在遇到一些较复杂的方程组时，要注意整体代换思想的运用，使运算更加便捷基础诊断考点突破课堂总结【训练1】(1)设数列an，bn都是等差数列，且a125，b175，a2b2100，则a37b37等于()A0B37C100D37(2)若一个等差数列前3项的和为34，最后3
10、项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为()A13B12C11D10(3)已知等差数列an的前n项和为Sn，且S1010，S2030，则S30_.基础诊断考点突破课堂总结解析(1)设an，bn的公差分别为d1，d2，则(an1bn1)(anbn)(an1an)(bn1bn)d1d2，anbn为等差数列，又a1b1a2b2100，anbn为常数列，a37b37100.基础诊断考点突破课堂总结(2)因为 a1a2a334，an2an1an146，a1a2a3an2an1an34146180，又因为 a1ana2an1a3an2，所以 3(a1an)180，从而 a1an60，所以
11、Snna1an2n602 390，即 n13.(3)S10，S20S10，S30S20 成等差数列，2(S20S10)S10S30S20，4010S3030，S3060.答案(1)C(2)A(3)60基础诊断考点突破课堂总结考点二 等差数列的判定与证明【例 2】(2014新课标全国卷)已知数列an的前 n 项和为 Sn，a11，an0，anan1Sn1，其中 为常数(1)证明：an2an；(2)是否存在，使得an为等差数列？并说明理由基础诊断考点突破课堂总结(1)证明 由题设知，anan1Sn1，an1an2Sn11.两式相减得an1(an2an)an1.由于an10，所以an2an.(2)解
12、 由题设知，a11，a1a2S11，可得a21.由(1)知，a31.令2a2a1a3，解得4.故an2an4，由此可得a2n1是首项为1，公差为4的等差数列，a2n14n3；a2n是首项为3，公差为4的等差数列，a2n4n1.所以an2n1，an1an2.因此存在4，使得数列an为等差数列基础诊断考点突破课堂总结规律方法 证明一个数列是否为等差数列的基本方法有两种：一是定义法，证明anan1d(n2，d为常数)；二是等差中项法，证明2an1anan2.若证明一个数列不是等差数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法 基础诊断考点突破课堂总结【训练 2】(2014梅州调研改编)若数列an的前 n
13、项和为 Sn，且满足 an2SnSn10(n2)，a112.(1)求证：1Sn 成等差数列；(2)求数列an的通项公式(1)证明 当 n2 时，由 an2SnSn10，得 SnSn12SnSn1，所以 1Sn 1Sn12，又 1S1 1a12，故1Sn 是首项为 2，公差为 2 的等差数列基础诊断考点突破课堂总结(2)解 由(1)可得 1Sn2n，Sn 12n.当 n2 时，anSnSn1 12n12n1n1n2nn112nn1.当 n1 时，a112不适合上式故 an12，n1，12nn1，n2.基础诊断考点突破课堂总结【训练 3】(2015嘉兴三中高三模拟)已知公差大于零的等差数列an的前
14、 n 项和为 Sn，且满足 a3a4117，a2a522.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足 bn Snnc，是否存在非零实数 c 使得bn为等差数列？若存在，求出 c 的值；若不存在，请说明理由基础诊断考点突破课堂总结解(1)设等差数列an的公差为 d，且 d0，由等差数列的性质，得 a2a5a3a422，所以 a3，a4 是关于 x 的方程 x222x1170 的解，所以 a39，a413，易知 a11，d4，故通项为 an1(n1)44n3.(2)由(1)知 Snn14n322n2n，所以 bn Snnc2n2nnc.基础诊断考点突破课堂总结法一 所以 b1 11c，b2
15、62c，b3 153c(c0)令 2b2b1b3，解得 c12.当 c12时，bn2n2nn122n，当 n2 时，bnbn12.故当 c12时，数列bn为等差数列基础诊断考点突破课堂总结法二 由 bn Snncn14n32nc2nn12nc，c0，可令 c12，得到 bn2n.bn1bn2(n1)2n2(nN*)，数列bn是公差为 2 的等差数列即存在一个非零常数 c12，使数列bn也为等差数列基础诊断考点突破课堂总结考点三 等差数列前n项和最值及综合应用 【例3】(2015丽水中学月考)等差数列an的首项a10，设其前n项和为Sn，且S5S12，则当n为何值时，Sn有最大值？基础诊断考点突
16、破课堂总结深度思考 解决此类问题你首先想到的是哪种方法？在这里提醒大家：本题可用四种方法，请大家先思考.解 法一 由题意知 d0，因为 Snd2n2a1d2 n，则可设 f(x)d2x2a1d2 x，如图：基础诊断考点突破课堂总结由 S5S12 知，抛物线的对称轴为 x5122172，由图可知，当 1n8 时，Sn 单调递增；当 n9 时，Sn 单调递减又 nN*，所以当 n8 或 9 时，Sn 最大基础诊断考点突破课堂总结法二 设等差数列an的公差为 d，由 S5S12得 5a110d12a166d，d18a10.所以 Snna1nn12dna1nn12(18a1)116a1(n217n)1
17、16a1n172228964 a1，因为 a10，nN*，所以当 n8 或 n9 时，Sn 有最大值基础诊断考点突破课堂总结法三 设等差数列an的公差为 d，由法二得 d18a10.设此数列的前 n 项和最大，则an0，an10，即ana1n118 a10，an1a1n18 a10，解得n9，n8，即 8n9，又 nN*，所以当 n8 或 n9 时，Sn 有最大值基础诊断考点突破课堂总结法四 同法二得 d18a10，又 S5S12 得 a6a7a8a9a10a11a120，7a90，a90，当 n8 或 9 时，Sn 有最大值基础诊断考点突破课堂总结规律方法 求等差数列前n项和的最值，常用的方
18、法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；(2)利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；(3)将等差数列的前n项和SnAn2Bn(A，B为常数)看作二次函数，根据二次函数的性质求最值基础诊断考点突破课堂总结【训练4】(1)等差数列an的前n项和为Sn，已知a5a74，a6a82，则当Sn取最大值时，n的值是()A5B6C7D8基础诊断考点突破课堂总结(2)(2014安徽望江中学模拟)设数列an是公差d0的等差数列，Sn为前n项和，若S65a110d，则Sn取最大值时，n的值为()A5B6C5或6D11(3)已知等差数列an的首项a120，公差d2，则前n项和Sn的最大值为_基础诊断
19、考点突破课堂总结解析(1)依题意得2a64,2a72，a620，a710；又数列an是等差数列，因此在该数列中，前6项均为正数，自第7项起以后各项均为负数，于是当Sn取最大值时，n6，选B.(2)由题意得S66a115d5a110d，所以a60，故当n5或6时，Sn最大，选C.基础诊断考点突破课堂总结(3)因为等差数列an的首项 a120，公差 d2，代入求和公式得，Snna1nn12d20nnn122n221nn21222122，又因为 nN*，所以 n10 或 n11 时，Sn 取得最大值，最大值为 110.答案(1)B(2)C(3)110基础诊断考点突破课堂总结微型专题 求数列|an|的
20、前 n 项和问题求数列|an|的前n项和的常见方法为：先令an0(或an0)确定正负项，再分两类分别求前 n 项和，最后写成分段的形式基础诊断考点突破课堂总结【例4】在数列an中，a15，a22，记A(n)a1a2an，B(n)a2a3an1，C(n)a3a4an2(nN*)，若对于任意nN*，A(n)，B(n)，C(n)成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)求数列|an|的前n项和点拨(1)利用A(n)C(n)2B(n)求解(2)先确定从第几项开始变号，然后分段求和基础诊断考点突破课堂总结解(1)根据题意 A(n)，B(n)，C(n)成等差数列，A(n)C(n)2B(n)，整理得 an
21、2an1a2a1253，数列an是首项为5，公差为 3 的等差数列，an53(n1)3n8.(2)|an|3n8，n2，3n8，n3，记数列|an|的前 n 项和为 Sn.基础诊断考点突破课堂总结当 n2 时，Snn583n23n22 132 n；当 n3 时，Sn7n213n823n22 132 n14，综上，Sn32n2132 n，n2，32n2132 n14，n3.基础诊断考点突破课堂总结点评(1)本题求解用了分类讨论思想，求数列|an|的和时，因为an有正有负，所以应分两类分别求和(2)常出现的错误：当n2时，求|an|的和，有的学生认为就是S27.基础诊断考点突破课堂总结思想方法1等
22、差数列的判断方法(1)定义法：an1and(d是常数)an是等差数列(2)等差中项法：2an1anan2(nN*)an是等差数列(3)通项公式：anpnq(p，q为常数)an是等差数列(4)前n项和公式：SnAn2Bn(A，B为常数)an是等差数列基础诊断考点突破课堂总结2方程思想和化归思想：在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a1和d等基本量，通过建立方程(组)获得解3在遇到三个数成等差数列问题时，可设三个数为(1)a，ad，a2d；(2)ad，a，ad；(3)ad，ad，a3d等，可视具体情况而定基础诊断考点突破课堂总结易错防范1当公差d0时，等差数列的通项公式是n的一次函数，当公差d0时，an为常数2公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数，且常数项为0.若某数列的前n项和公式是常数项不为0的二次函数，则该数列不是等差数列3求等差数列的前n项和Sn的最值时，需要注意“自变量n为正整数”这一隐含条件若对称轴取不到，需考虑最接近对称轴的自变量n(n为正整数)；若对称轴对应两个正整数的中间，此时应有两个符合题意的n值
