1、学科网（北京）股份有限公司2022 年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）理科数学注意事项：1答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若13i
2、z ，则1zzz（）A 13i B 13i C13 i33D13 i332某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识为了解讲座效果，随机抽取 10 位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这 10 位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：则（）A讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差3设全集 2,1,0,1,2,3U ，集合2 1,2,430ABx xx，则()U AB（）学科网（北京）股份有限公司A1,3B
3、0,3C 2,1D 2,04如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为 1，则该多面体的体积为（）A8B12C16D205函数33cosxxyx在区间,2 2的图像大致为（）ABCD6当1x 时，函数()lnbf xaxx取得最大值 2，则(2)f （）A 1B12C 12D17在长方体1111ABCDA B C D中，已知1B D 与平面 ABCD 和平面11AA B B 所成的角均为30，则（）A2ABADBAB 与平面11AB C D 所成的角为30C1ACCBD1B D 与平面11BB C C 所成的角为 458沈括的梦溪笔谈是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算
4、圆弧长度的“会圆术”，如图，AB 是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是 AB 的中点，D 在 AB 上，CDAB“会圆术”给出 AB 的弧长的近似学科网（北京）股份有限公司值 s 的计算公式：2CDsABOA当2,60OAAOB 时，s（）A11 3 32B11 4 32C 93 32D 94 329甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为 2，侧面积分别为 S甲 和 S乙，体积分别为V甲 和V乙 若=2SS甲乙，则=VV甲乙（）A5B 2 2C 10D 5 10410椭圆2222:1(0)xyCabab的左顶点为 A，点 P，Q 均在 C 上，且关于 y 轴对称若直线,AP
5、 AQ 的斜率之积为 14，则 C 的离心率为（）A32B22C 12D 1311设函数()sin3f xx在区间(0,)恰有三个极值点、两个零点，则 的取值范围是（）A 5 13,3 6B 5 19,3 6C 13 8,6 3D 13 19,6612已知3111,cos,4sin3244abc，则（）AcbaBbacC abcDacb二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13设向量a，b 的夹角的余弦值为 13，且|1,|3ab，则 (2)abb_学科网（北京）股份有限公司14若双曲线2221(0)xymm的渐近线与圆22430 xyy相切，则 m _15从正方体的 8
6、 个顶点中任选 4 个，则这 4 个点在同一个平面的概率为_16已知ABC中，点 D 在边 BC 上，120,2,2ADBADCDBD当 ACAB取得最小值时，BD _三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17（12 分）记nS 为数列 na的前 n 项和已知 221nnSnan （1）证明：na是等差数列；（2）若479,a a a 成等比数列，求nS 的最小值18（12 分）在四棱锥 PABCD中，PD 底面,1,2,3ABCD CDAB
7、ADDCCBABDP（1）证明：BDPA；（2）求 PD 与平面 PAB 所成的角的正弦值19（12 分）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得 10 分，负方得 0 分，没有平局三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为 0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立（1）求甲学校获得冠军的概率；（2）用 X 表示乙学校的总得分，求 X 的分布列与期望20（12 分）设抛物线2:2(0)C ypx p的焦点为 F，点,0D p，过 F 的直线交 C 于 M，N 两点当直线 MD 垂直于x 轴时，3MF（1）求 C 的方程；（2）设
8、直线,MD ND 与 C 的另一个交点分别为 A，B，记直线,MN AB 的倾斜角分别为,当取得学科网（北京）股份有限公司最大值时，求直线 AB 的方程21（12 分）已知函数 lenxf xxxax（I）若 0f x，求 a 的取值范围；（2）证明：若 f x 有两个零点12,x x，则121x x （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线1C 的参数方程为26txyt，（t 为参数），曲线2C 的参数方程为26sxys ，（s为参数）（1）写出1C 的普
9、通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线3C 的极坐标方程为 2cossin0，求3C与1C 交点的直角坐标，及3C 与2C 交点的直角坐标23选修 4-5：不等式选讲（10 分）已知 a，b，c 均为正数，且22243abc，证明：（1）23abc；（2）若2bc，则 113ac学科网（北京）股份有限公司绝密启用前2022 年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）理科数学参考答案注意事项：1答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.2回答选择
10、题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.C2.B.3.D4.B5.A6.B7.D8.B9.C10.A11.C12.A二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.1114.3315.635.16.31#1+3三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每
11、个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分17.（1）解：因为 221nnSnan ，即222nnSnnan，学科网（北京）股份有限公司当2n 时，21121211nnSnnan，得，22112212211nnnnSnSnnannan，即12212211nnnannana ，即 1212121nnnanan，所以11nnaa，2n 且N*n，所以 na是以1为公差的等差数列（2）7818.（1）证明：在四边形 ABCD 中，作 DEAB于 E，CFAB于 F，因为/,1,2CDAB ADCDCBAB，所以四边形 ABCD 为等腰梯形，所以12A
12、EBF，故32DE，223BDDEBE，所以222ADBDAB，所以 ADBD，因为 PD 平面 ABCD，BD 平面 ABCD，所以 PDBD，又 PDADD，所以 BD 平面 PAD，又因 PA 平面 PAD，所以 BDPA；（2）55.19.（1）0.6；（2）分布列见解析，13E X.【解析】依题可知，X 的可能取值为0,10,20,30，所以，学科网（北京）股份有限公司00.5 0.4 0.80.16P X,100.5 0.4 0.80.5 0.6 0.80.5 0.4 0.20.44P X，200.5 0.6 0.80.5 0.4 0.20.5 0.6 0.20.34P X，300
13、.5 0.6 0.20.06P X.即 X 的分布列为X0102030P0.160.440.340.06期望0 0.16 10 0.4420 0.3430 0.0613E X .20.（1）24yx；（2）:24AB xy.21.已知函数 lnxf xxaxxe（1）(,1e（2）由题知,fx 一个零点小于 1,一个零点大于 1不妨设121xx 要证121x x ,即证121xx因为121,(0,1)x x,即证 121f xfx因为 12f xf x,即证221f xfx即证1e1lneln0,(1,)xxxxxxxxx学科网（北京）股份有限公司即证1e11e2 ln02xxxxxxx下面证
14、明1x 时，1e11e0,ln02xxxxxxx设11(),eexxg xxxx，则11122111111()eee1ee1xxxxxg xxxxxxxx 111e1 e1eexxxxxxxxx设 22e1111,ee0 xxxxxxxxxxx所以 1ex,而1eex 所以1ee0 xxx,所以()0g x所以()g x 在(1,)单调递增即()(1)0g xg,所以1ee0 xxxx 令11()ln,12h xxxxx2222211121(1)()10222xxxh xxxxx所以()h x 在(1,)单调递减即()(1)0h xh,所以11ln02xxx；综上,1e11e2 ln02xxx
15、xxxx,所以121x x .（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一学科网（北京）股份有限公司题计分选修 4-4：坐标系与参数方程22.（1）2620yxy；（2）31,C C 的交点坐标为 1,12，1,2，32,C C 的交点坐标为1,12，1,2 选修 4-5：不等式选讲23.（1）证明：由柯西不等式有222222221112abcabc，所以23abc，当且仅当21abc 时，取等号，所以23abc；（2）证明：因为2bc，0a，0b，0c，由（1）得243abcac，即043ac，所以1143ac，由权方和不等式知22212111293444acacacac，当且仅当 124ac，即1a，12c 时取等号，所以 113ac学科网（北京）股份有限公司
