1、高三数学(理科)摸底测试参考答案第 1 页(共4页)成都市2013级高中毕业班摸底测试数学试题参考答案(理科)第卷(选择题,共60分)一、选择题:(每小题5分,共60分)1.A;2.D;3.C;4.D;5.A;6.B;7.C;8.C;9.A;10.B;11.D;12.D.第卷(非选择题,共90分)二、填空题:(每小题5分,共20分)13.12;14.30;15.4 39;16.(28,55).三、解答题:(共70分)17.(本小题满分12分)解:()ABC 为等腰三角形,O 是底边BC 的中点,AOBC,AOOB,AOOC.4分又OBOC=O,AO平面BOC.6分()由三视图知,直线OB,OA
2、,OC 两两垂直,且OC=OB=1,OA=3,建立如图所示空间直角坐标系O-xyz.则 A(3,0,0),C(0,1,0),B(0,0,1).AC=(-3,1,0),AB=(-3,0,1).设平面 ABC 的法向量为m=(x,y,z).则 mAC=0mAB=0,即-3x+y=0-3x+z=0.可取 m=(1,3,3).9分又n=(1,0,0)为平面BOC 的法向量,cosm,n=mn|m|n|=11 19=1919.二面角 A-BC-O 的余弦值为 1919.12分18.(本小题满分12分)解:()f(x)=sinx+3cosx=2sin(x+3).2分由-2+2kx+32+2k,得-56+2
3、kx6+2k,kZ.f(x)的单调递增区间为-56+2k,6+2k,kZ.6分()g(x)=f(x)2-2=4sin2(x+3)-2=-21-2sin2(x+3).=-2cos(2x+23).8分高三数学(理科)摸底测试参考答案第 2 页(共4页)x0,4,2x+2323,76.cos(2x+23)-1,-12.1g(x)2.11分函数g(x)的值域是1,2.12分19.(本小题满分12分)解:()第3组的人数为0.3100=30,第4组的人数为0.2100=20,第5组的人数为0.1100=10.第3,4,5组共有60名志愿者.用分层抽样的方法在这3组志愿者中抽取6名志愿者,每组抽取的人数分
4、别为:第3组:30606=3;第4组:20606=2;第5组:10606=1.应从第3,4,5组中分别抽取3人,2人,1人.6分()记第3组的3名志愿者分别为A1,A2,A3,第4组的2名志愿者分别为B1,B2,第5组的1名志愿者为C1.则从6名志愿者中抽取2名志愿者的可能情况有:(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2),(A3,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1),共有15种不同的结果.9分其中第3组的3名志愿者 A1,A2,A3 都没有被抽
5、中的可能情况有:(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1),共有3种不同的结果.第3组至少有一名志愿者被抽中的概率为1-315=45.12分20.(本小题满分12分)解:()由题意,知动点P(x,y)到定点E(-1,0),F(1,0)的距离之和等于4(大于|EF|),动点P 的轨迹是以(-1,0),(1,0)为焦点,长轴长为4的椭圆.a=2,c=1,b2=3.曲线G 的标准方程为x24+y23=1.4分()设直线l的方程为y=k(x-1)(k0).代入x24+y23=1,得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0.显然0.设 A(x1,y1),B(x2,y2).则x1+x2=8k24
6、k2+3,x1x2=4k2-124k2+3.6分(i)由题意,知C(x1,-y1).直线BC 的方程为y=y2+y1x2-x1(x-x1)-y1.令y=0,则xN=y1(x2-x1)y2+y1+x1=y1x2+y2x1y2+y1=2x1x2-(x1+x2)x1+x2-2=24k2-124k2+3-8k24k2+38k24k2+3-2=4.高三数学(理科)摸底测试参考答案第 3 页(共4页)直线BC 恒过定点N,且定点 N 的坐标为(4,0).9分(ii)由(i),可知 N(4,0),F(1,0).ABN 的面积可表示为S=12|FN|y2-y1|=32|k(x2-x1)|.S=32 k2(x1
7、+x2)2-4x1x2=32 k2(8k24k2+3)2-44k2-124k2+3.=18 k2k2+1(4k2+3)2设4k2+3=t,则t3.S=92t2-2t-3t2=92-3(1t+13)2+43.令u=1t,则0u0,得12x1;由u(x)0,得1xx10.0.x1+x2=b+1,x1x2=1.kAB=h(x1)-h(x2)x1-x2,x1-x20,kAB rx1-x2恒成立等价于h(x1)-h(x2)r 恒成立,即rh(x1)-h(x2)min.10分由h(x1)-h(x2)=1nx1-1nx2+12x21-12x22-(b+1)(x1-x2)=1nx1x2-12(x21-x22)=1nx1x2-12x1x2(x21-x22)=1nx1x2-12(x1x2-x2x1).设x1x2=t(0t1),则h(x1)-h(x2)=1nt-12(t-1t).又(b+1)2=(x1+x2)2x1x2=t+1t+2,b32,t+1t+2(32+1)2=254.t14,或t4.0t14.设(t)=1nt-12(t-1t),0t14.则(t)=1t-12(1+1t2)=-(t-1)22t2.0t14,(t)0,a=1.10分
