1、3.2 平面向量基本定理 课后篇巩固探究A 组 基础巩固1.设 e1,e2是不共线的向量,则下面四组向量中,能作为基底的组数有()e1和 e1+e2;e1-2e2和 e2-2e1;e1-2e2和 4e2-2e1;2e1+e2和 e1-e2.A.1 组B.2 组C.3 组D.4 组解析看每一组的两个向量是否共线,若共线则不能作为基底,若不共线则可作为基底,4e2-2e1=-2(e1-2e2),第组中的两个向量共线,不能作为基底.答案 C2.已知 e1,e2为平面内所有向量的一组基底,R,a=e1+e2,b=2e1,则 a 与 b 共线的条件为()A.=0B.e2=0C.e1e2D.e1e2或=0
2、解析因为 e1,e2不共线,而 a 与 b 共线,所以=0.答案 A3.设 a,b 为平面内所有向量的一组基底,已知向量 =a-kb,=2a+b,=3a-b,若 A,B,D 三点共线,则实数 k 的值等于()A.2B.-2C.10D.-10解析 =(a-kb)+(-2a-b)+(3a-b)=2a-(k+2)b.A,B,D 三点共线,存在实数 使得 =,即 a-kb=2a-(k+2)b=2a-(k+2)b.a,b 为基底向量,解得=,k=2.答案 A4.已知 O 是ABC 所在平面内一点,D 为 BC 的中点,且 2 =0,则()A.B.=2 C.=3 D.2 解析由 2 =0,得 2 =-()
3、.因为 D 是 BC 的中点,所以 =2 ,于是 2 =-2 ,即 .答案 A5.在ABC 中,点 D 在 BC 边上,且 =2 =r +s ,则 r+s=()A.B.C.-3D.0解析由题意得 )=.因为 =r +s ,所以 r=,s=-,所以 r+s=0,故选 D.答案 D6.若 e1,e2为平面内所有向量的一组基底,且 a=3e1-4e2,b=6e1+ke2不能作为一组基底,则 k 的值为 .解析因为 a,b 不能作为一组基底,所以存在实数,使得 a=b,即 3e1-4e2=(6e1+ke2),则 6=3,且 k=-4,解得=,k=-8.答案-87.在ABCD 中,AC 与 BD 交于点
4、 O,E 是线段 OD 的中点,AE 的延长线与 CD 交于点 F,若 =a,=b,用 a,b 表示 .解如图,.由题意知,DEBE=13=DFAB,.=)=(-)=a+b+(-)=a+b.8.导学号 93774069 如图所示,在ABC 中,D,F 分别是 BC,AC 的中点,=a,=b.(1)用 a,b 表示 ;(2)求证:B,E,F 三点共线.(1)解如图所示,延长 AD 到点 G,使 =2 ,连接 BG,CG,得到平行四边形 ABGC,则 =a+b,(a+b),(a+b),b,(a+b)-a=(b-2a),b-a=(b-2a).(2)证明由(1)知,共线.又 有公共点 B,B,E,F
5、三点共线.B 组 能力提升1.已知平面内有一点 P 及一个ABC,若 ,则()A.点 P 在ABC 外部B.点 P 在线段 AB 上C.点 P 在线段 BC 上 D.点 P 在线段 AC 上解析 ,=0,即 =0,=0,2 ,点 P 在线段 AC 上.答案 D2.已知 O 是平面内一定点,A,B,C 是平面内不共线的三点,若点 P 满足 +(0,+),则点 P 的轨迹一定通过ABC 的()A.外心B.内心C.重心D.垂心解析设 BC 中点为 M,则 ,则有 +,即 =(0,+),M,P,A 三点共线.点 P 的轨迹所在直线一定通过ABC 的重心.答案 C3.已知ABCD 中,E 为 CD 的中
6、点,=x =y ,其中 x,yR,且均不为 0,若 ,则 =.解析 =y -x ,由 得 =(0),y -x =()=(-),.答案 4.在ABC 所在平面上有一点 P,满足 +4 ,则PBC 与PAB 的面积比为 .解析 +4 ,所以 2 ,即点 P 在 AC 边上,且 AP=2PC,所以PBC 与PAB 的面积比为 12.答案 125.如图,在ABC 中,点 M 是 BC 的中点,点 N 在边 AC 上,且 AN=2NC,AM 与 BN 交于点 P,求 APPM的值.解设 =e1,=e2,则 =-3e2-e1,=2e1+e2.A,P,M 和 B,P,N 分别共线,存在实数,使 =-e1-3
7、e2,=2e1+e2,=(+2)e1+(3+)e2.又 =2e1+3e2,解得 ,即 APPM=41.6.导学号 93774070 如图所示,在OAB 中,=a,=b,M,N 分别是 OA,OB上的点,且 a,b.设 AN 与 BM 交于点 P,用向量 a,b 表示 .解设 =m =n ,因为 ,所以 +m a+m(-)(1-m)a+mb,+n (1-n)b+na.因为 a 与 b 不共线,所以 -解得 所以 a+b.7.导学号 93774071 已知 A,B,C 三点不共线,O 为平面上任意一点,证明存在实数 p,q,r,使得 p +q +r =0,且若 p+q+r=0,则必有 p=q=r=0.证明如图,由题意可得 r=-(p+q).p +q -(p+q)=0,即 p()=q(),p =q ,p +q =0=0 +0 .由平面向量的基本定理可知,其分解是唯一的,p=0,q=0,p+q=0.p+q+r=0,故有 p=q=r=0.
