1、第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.2 组合 第2课时 组合的综合应用 学 习 目 标核 心 素 养 1.学会运用组合的概念，分析简单的实际问题(重点)2.能解决无限制条件的组合问题(难点)通过组合解决实际问题，提升逻辑推理和数学运算的素养.合 作 探 究 释 疑 难 组合数的两个性质【例1】计算：(1)C34C35C36C310；(2)(C98100C97100)A3101.思路点拨(1)利用组合数的公式及性质，逐一进行证明或计算(2)中排列数公式和组合数公式的综合运用 解(1)C34C35C36C310 C44C34C35C310C44C45C35C36C3101 C411132
2、9.(2)(C98100C97100)A3101(C2100C3100)A3101C3101A310116.组合数公式C mn AmnAmm体现了组合数与相应排列数的关系，一般在计算具体的组合数时会用到.组合数公式Cmnn！nm！m！的主要作用有：1计算m，n较大时的组合数；2对含有字母的组合数的式子进行变形和证明.,特别地，当mn2时计算Cmn，用性质CmnCnmn转化，减少计算量.跟进训练1解方程C3n618C4n218.解 由原方程及组合数性质可知3n64n2或3n618(4n2)，解得n8或n2.而当n8时，3n63018，不符合组合数的定义，故舍去因此n2.有限制条件的组合问题【例2
3、】课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？(1)至少有一名队长当选；(2)至多有两名女生当选；(3)既要有队长，又要有女生当选解(1)至少有一名队长含有两种情况：有一名队长和两名队长，故共有C12C411C22C311825种或采用排除法有C513C511825种(2)至多有两名女生含有三种情况：有两名女生、只有一名女生、没有女生，故共有C25C38C15C48C58966种(3)分两种情况：第一类：女队长当选，有C412种；第二类：女队长不当选，有C14C37C24C27C34C17C44种 故共有C412C
4、14C37C24C27C34C17C44790种在本例条件下，至多有1名队长被选上的方法有多少种？解 分两类情况：第一类：没有队长被选上，从除去两名队长之外的11名学生中选取5人有C511462种选法 第二类：一名队长被选上，分女队长被选上和男队长被选上，不同的选法有：C411C411660种选法 所以至多有1名队长被选上的方法有4626601 122种常见的限制条件及解题方法1特殊元素：若要选取的元素中有特殊元素，则要以有无特殊元素，特殊元素的多少作为分类依据 2含有“至多”“至少”等限制语句：要分清限制语句中所包含的情况，可以此作为分类依据，或采用间接法求解 3分类讨论思想：解题的过程中要
5、善于利用分类讨论思想，将复杂问题分类表达，逐类求解跟进训练2某地区发生了特别重大铁路交通事故，某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴事故现场抢救伤员，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家问：(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？解(1)分步：首先从4名外科专家中任选2名，有C 24 种选法，再从除外科专家的6人中选取4人，有C46种选法，所以共有C24C4690种抽调方法(2)“至少”的含义是不低于，有两种解答方法，法一：(直接法)：按选取的外科专家的人数分类：选2名外科专家，共有C2
6、4C46种选法；选3名外科专家，共有C34C36种选法；选4名外科专家，共有C44C26种选法；根据分类加法计数原理，共有 C24C46C34C36C44C26185种抽调方法 法二：(间接法)：不考虑是否有外科专家，共有C 610 种选法，考虑选取1名外科专家参加，有C 14 C 56 种选法；没有外科专家参加，有C66种选法，所以共有：C610C14C56C66185种抽调方法(3)“至多2名”包括“没有”、“有1名”、“有2名”三种情况，分类解答 没有外科专家参加，有C66种选法；有1名外科专家参加，有C14C56种选法；有2名外科专家参加，有C24C46种选法 所以共有C66C14C5
7、6C24C46115种抽调方法.分组(分配)问题 探究问题1把3个苹果平均分成三堆共有几种分法？为什么？提示 共1种分法因为三堆无差异2若把3个不同的苹果分给三个人，共有几种方法？提示 共有A333216种分法【例3】6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：(1)分给甲、乙、丙三人，每人两本；(2)分为三份，每份两本；(3)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；(4)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本；(5)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本思路点拨(1)是平均分组问题，与顺序无关，相当于6本不同的书平均分给甲、乙、丙三人，可以理解为一个人一个人地来取，(2)是“均匀分组问
8、题”，(3)是分组问题，分三步进行，(4)分组后再分配，(5)明确“至少一本”包括“2、2、2型”、“1、2、3型”、“1、1、4型”解(1)根据分步乘法计数原理得到：C26C24C2290种(2)分给甲、乙、丙三人，每人两本有C26C24C22种方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有x种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有A 33 种方法根据分步乘法计数原理可得：C26C24C22xA33，所以xC26C24C22A3315.因此分为三份，每份两本一共有15种方法(3)这是“不均匀分组”问题，一共有C16C25C3360种方法(4)在(3)的基础上再进行全排列
9、，所以一共有C16C25C33A33360种方法(5)可以分为三类情况：“2、2、2型”即(1)中的分配情况，有C 26C 24C 2290种方法；“1、2、3型”即(4)中的分配情况，有C 16C25C33A33360种方法；“1、1、4型”，有C46A3390种方法所以一共有9036090540种方法分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：1完全均匀分组，每组的元素个数均相等.2部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！.3完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象.跟进训练3将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有_种(用数字作答)36
10、 分两步完成：第一步，将4名大学生按2,1,1分成三组，其分法有 C24C12C11A22种；第二步，将分好的三组分配到3个乡镇，其分法有A33种所以满足条件的分配方案有C24C12C11A22A3336(种)课 堂 小 结 提 素 养 1恰当利用组合数的两个性质，可使问题简化2对于含有限制条件的组合问题，要合理分类、必要时可用间接法3对于分组问题应注意避免计数的重复或遗漏，对于分配问题解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)C1mC2mC3m1(m2且mN*)()(2)从4名男生3名女生中任选2人，至少有1名女生的选法共有C 12C16种()(3)把4
11、本书分成3堆，每堆至少一本共有C24种不同分法()答案(1)(2)(3)2某施工小组有男工7名，女工3名，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工小组，不同的选法有()AC310种 BA310种CA13A27种DC13C27种D 每个被选的人都无顺序差别，是组合问题分两步完成：第一步，选女工，有C 13 种选法；第二步，选男工，有C 27 种选法故共有C13C27种不同的选法3方程Cx14C2x414 的解为_4或6 由C x14 C 2x414，x2x4或x2x414，即x4或x6.4高二(1)班共有35名同学，其中男生20名，女生15名，今从中选出3名同学参加活动(1)其中某一女生必须在内，
12、不同的取法有多少种？(2)其中某一女生不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2名女生在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2名女生在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2名女生在内，不同的取法有多少种？解(1)从余下的34名学生中选取2名，有C234561(种)不同的取法有561种(2)从34名可选学生中选取3名，有C334种 或者C335C234C3345 984种 不同的取法有5 984种(3)从20名男生中选取1名，从15名女生中选取2名，有C120C2152 100种 不同的取法有2 100种(4)选取2名女生有C120C215种，选取3名女生有C315种，共有选取方式NC120C215C3152 1004552 555种 不同的取法有2 555种(5)选取3名的总数有C335，因此选取方式共有NC335C3156 5454556 090种 不同的取法有6 090种点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
