1、第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.1 排列 第1课时 排列与排列数公式 学 习 目 标核 心 素 养 1.理解排列的概念,能正确写出一些简单问题的所有排列(重点)2.理解排列数公式,能利用排列数公式进行计算和证明(难点)1.通过学习排列的概念及排列数公式,体现了数学抽象的素养.2.借助排列数公式进行计算培养数学运算的素养.自 主 预 习 探 新 知 1.排列的概念从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素,按照排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列.2.相同排列的两个条件(1)两个排列的完全相同.(2)元素的相同.排列顺序一定的顺序元素3.排列数与排列数公式排
2、列数定义及表示从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有_叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数,用符号 Amn表示 全排列的概念 n 个不同元素的一个排列阶乘的概念把记作 n!,读作:n 的阶乘 排列的个数不同全部取出n(n1)21Amn 排列数公式阶乘式 Amn (n,mN*,mn)特殊情况Ann,1!,0!n(n1)(nm1)n!nm!n!1 1 思考:排列与排列数有何区别?提示“一个排列”是指:从 n 个不同的元素中任取 m(mn)个元素,按照一定的顺序排成一列,不是数;“排列数”是指从 n个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有排列的个数,是一个数所以符号 Amn只表
3、示排列数,而不表示具体的排列.1.下列问题中:10 本不同的书分给 10 名同学,每人一本;10 位同学互通一次电话;10 位同学互通一封信;10 个没有任何三点共线的点构成的线段.属于排列的有()A.1 个 B2 个 C3 个 D4 个B 由排列的定义可知是排列,不是排列2.甲、乙、丙三名同学排成一排,不同的排列方法有()A.3 种B4 种C6 种D12 种C 由排列定义得,共有 A336 种排列方法3.909192100 可以表示为()A.A10100BA11100CA12100DA13100B 由排列数公式得原式为 A11100,故选 B.4.A24_,A33_.12 6 A244312
4、;A333216.合 作 探 究 释 疑 难 排列的概念【例 1】判断下列问题是否为排列问题(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同);(2)选 2 个小组分别去植树和种菜;(3)选 2 个小组去种菜;(4)选 10 人组成一个学习小组;(5)选 3 个人分别担任班长、学习委员、生活委员思路点拨 判断是否为排列问题关键是选出的元素在被安排时,是否与顺序有关若与顺序有关,就是排列问题,否则就不是排列问题 解(1)中票价只有三种,虽然机票是不同的,但票价是一样的,不存在顺序问题,所以不是排列问题(2)植树和种菜是不同的,存在顺序问题,属于排列问题(3)(4)
5、不存在顺序问题,不属于排列问题(5)中每个人的职务不同,例如甲当班长或当学习委员是不同的,存在顺序问题,属于排列问题 所以在上述各题中(2)(5)属于排列问题1解决本题的关键有两点:一是“取出元素不重复”,二是“与顺序有关”2判断一个具体问题是否为排列问题,就看取出元素后排列是有序的还是无序的,而检验它是否有序的依据就是变换元素的“位置”(这里的“位置”应视具体问题的性质和条件来决定),看其结果是否有变化,有变化就是排列问题,无变化就不是排列问题跟进训练1判断下列问题是否是排列问题(1)同宿舍 4 人,每两人互通一封信,问他们一共写了多少封信?(2)同宿舍 4 人,每两人通一次电话,问他们一共
6、通了几次电话?解(1)是一个排列问题,相当于从 4 个人中任取两个人,并且按顺序排好有多少个排列就有多少封信,共有 A2412 封信(2)不是排列问题,“通电话”不讲顺序,甲与乙通了电话,也就是乙与甲通了电话.排列的简单应用【例 2】写出下列问题的所有排列(1)从 1,2,3,4 四个数字中任取两个数字组成两位数,共有多少个不同的两位数?(2)写出 A,B,C,D 四名同学站成一排照相,A 不站在两端的所有可能站法解(1)所有两位数是 12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43,共有12 个不同的两位数(2)如图所示的树形图:故所有可能的站法是 BACD,BADC,
7、BCAD,BDAC,CABD,CADB,CBAD,CDAB,DABC,DACB,DBAC,DCAB,共 12 种利用“树形图”法解决简单排列问题的适用范围及策略1适用范围:“树形图”在解决排列元素个数不多的问题时,是一种比较有效的表示方式 2策略:在操作中先将元素按一定顺序排出,然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类,再安排第二个元素,并按此元素分类,依次进行,直到完成一个排列,这样能做到不重不漏,然后再按树形图写出排列跟进训练2(1)A,B,C 三名同学照相留念,成“一”字形排队,所有排列的方法种数为()A3 种 B4 种C6 种D12 种(2)北京、广州、南京、天津 4 个城市相互通航,应
8、该有_种机票(1)C(2)12(1)所有的排法有:ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA,共 6 种(2)列出每一个起点和终点情况,如图所示 故符合题意的机票种类有:北京广州,北京南京,北京天津,广州南京、广州天津、广州北京,南京天津,南京北京,南京广州,天津北京,天津广州,天津南京,共 12 种排列数的计算与证明 探究问题1排列数 Amn中,n,m 满足什么条件?提示 n,mN*,mn.2等式 AmnnAm1n1成立吗?提示 成立Amnn!nm!,Am1n1n1!nm!Amnnn1!nm!nAm1n1.【例 3】(1)计算:2A587A48A88A59;(2)求证:Amn1AmnmA
9、m1n.思路点拨(1)合理选用排列数的两个公式进行展开(2)提取公因式后合并化简 解(1)2A587A48A88A59 287654787658765432198765 87658787652491.(2)证明:Amn1Amnn1!n1m!n!nm!n!nm!n1n1m1 n!nm!mn1mmn!n1m!mAm1n.Amn1AmnmAm1n.排列数的计算方法1排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行,应用时注意:连续正整数的积可以写成某个排列数,其中最大的是排列元素的总个数,而正整数(因式)的个数是选取元素的个数,这是排列数公式的逆用 2应用排列数公式的阶乘形式时,一般写出它们的式子后,再提
10、取公因式,然后计算,这样往往会减少运算量跟进训练3求 3Ax84Ax19 中的 x.解 原方程 3Ax84Ax19 可化为 38!8x!49!10 x!,即 38!8x!498!10 x9x8x!,化简,得 x219x780,解得 x16,x213.由题意知x8,x19,解得 x8.所以原方程的解为 x6.课 堂 小 结 提 素 养 1在判断一个问题是否是排列时,可以考虑所取出的元素,任意交换两个,若结果变化,则是排列问题,否则不是排列问题2排列数两个公式的选取技巧(1)排列数的第一个公式 Amn n(n1)(n2)(nm1)适用 m已知的排列数的计算以及排列数的方程和不等式(2)排列数的第二
11、个公式 Amn n!nm!用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等提醒:公式中的 n,m 应该满足 n,mN*,mn,当 mn 时不成立1判断(正确的打“”,错误的打“”)(1)两个排列的元素相同,则这两个排列是相同的排列()(2)从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛,共有多少种选法属于排列问题()(3)有十二名学生参加植树活动,要求三人一组,共有多少种分组方案属于排列问题()(4)从 3,5,7,9 中任取两个数进行指数运算,可以得到多少个幂属于排列问题()(5)从 1,2,3,4 中任取两个数作为点的坐标,可以得到多少个点属于排列问题()答案(1)(2)(3)(4)(5)245
12、6(n1)n 等于()AA4n BAn4nC(n4)!DAn3nD 456(n1)n 中共有 n41n3 个因式,最大数为 n,最小数为 4,故 456(n1)nAn3n.35 本不同的课外读物分给 5 位同学,每人一本,则不同的分配方法有_种120 利用排列的概念可知不同的分配方法有 A55120 种4计算:A59A49A610A510.解 法一:A59A49A610A510 5A49A4950A4910A49 515010 320.法二:A59A49A610A5109!4!9!5!10!4!10!5!59!9!510!10!69!410!320.点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!