1、第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.1 排列 第1课时 排列与排列数公式 学 习 目 标核 心 素 养 1.理解排列的概念，能正确写出一些简单问题的所有排列(重点)2.理解排列数公式，能利用排列数公式进行计算和证明(难点)1.通过学习排列的概念及排列数公式，体现了数学抽象的素养.2.借助排列数公式进行计算培养数学运算的素养.自 主 预 习 探 新 知 1.排列的概念从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素，按照排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列.2.相同排列的两个条件(1)两个排列的完全相同.(2)元素的相同.排列顺序一定的顺序元素3.排列数与排列数公式排
2、列数定义及表示从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有_叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用符号 Amn表示 全排列的概念 n 个不同元素的一个排列阶乘的概念把记作 n！，读作：n 的阶乘 排列的个数不同全部取出n(n1)21Amn 排列数公式阶乘式 Amn (n，mN*，mn)特殊情况Ann，1！,0！n(n1)(nm1)n！nm！n！1 1 思考：排列与排列数有何区别？提示“一个排列”是指：从 n 个不同的元素中任取 m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从 n个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有排列的个数，是一个数所以符号 Amn只表
3、示排列数，而不表示具体的排列.1.下列问题中：10 本不同的书分给 10 名同学，每人一本；10 位同学互通一次电话；10 位同学互通一封信；10 个没有任何三点共线的点构成的线段.属于排列的有()A.1 个 B2 个 C3 个 D4 个B 由排列的定义可知是排列，不是排列2.甲、乙、丙三名同学排成一排，不同的排列方法有()A.3 种B4 种C6 种D12 种C 由排列定义得，共有 A336 种排列方法3.909192100 可以表示为()A.A10100BA11100CA12100DA13100B 由排列数公式得原式为 A11100，故选 B.4.A24_，A33_.12 6 A244312
4、；A333216.合 作 探 究 释 疑 难 排列的概念【例 1】判断下列问题是否为排列问题(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；(2)选 2 个小组分别去植树和种菜；(3)选 2 个小组去种菜；(4)选 10 人组成一个学习小组；(5)选 3 个人分别担任班长、学习委员、生活委员思路点拨 判断是否为排列问题关键是选出的元素在被安排时，是否与顺序有关若与顺序有关，就是排列问题，否则就不是排列问题 解(1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题(3)(4)
5、不存在顺序问题，不属于排列问题(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题 所以在上述各题中(2)(5)属于排列问题1解决本题的关键有两点：一是“取出元素不重复”，二是“与顺序有关”2判断一个具体问题是否为排列问题，就看取出元素后排列是有序的还是无序的，而检验它是否有序的依据就是变换元素的“位置”(这里的“位置”应视具体问题的性质和条件来决定)，看其结果是否有变化，有变化就是排列问题，无变化就不是排列问题跟进训练1判断下列问题是否是排列问题(1)同宿舍 4 人，每两人互通一封信，问他们一共写了多少封信？(2)同宿舍 4 人，每两人通一次电话，问他们一共
6、通了几次电话？解(1)是一个排列问题，相当于从 4 个人中任取两个人，并且按顺序排好有多少个排列就有多少封信，共有 A2412 封信(2)不是排列问题，“通电话”不讲顺序，甲与乙通了电话，也就是乙与甲通了电话.排列的简单应用【例 2】写出下列问题的所有排列(1)从 1,2,3,4 四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？(2)写出 A，B，C，D 四名同学站成一排照相，A 不站在两端的所有可能站法解(1)所有两位数是 12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43，共有12 个不同的两位数(2)如图所示的树形图：故所有可能的站法是 BACD，BADC，
7、BCAD，BDAC，CABD，CADB，CBAD，CDAB，DABC，DACB，DBAC，DCAB，共 12 种利用“树形图”法解决简单排列问题的适用范围及策略1适用范围：“树形图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式 2策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树形图写出排列跟进训练2(1)A，B，C 三名同学照相留念，成“一”字形排队，所有排列的方法种数为()A3 种 B4 种C6 种D12 种(2)北京、广州、南京、天津 4 个城市相互通航，应
8、该有_种机票(1)C(2)12(1)所有的排法有：ABC，ACB，BAC，BCA，CAB，CBA，共 6 种(2)列出每一个起点和终点情况，如图所示 故符合题意的机票种类有：北京广州，北京南京，北京天津，广州南京、广州天津、广州北京，南京天津，南京北京，南京广州，天津北京，天津广州，天津南京，共 12 种排列数的计算与证明 探究问题1排列数 Amn中，n，m 满足什么条件？提示 n，mN*，mn.2等式 AmnnAm1n1成立吗？提示 成立Amnn！nm！，Am1n1n1！nm！Amnnn1！nm！nAm1n1.【例 3】(1)计算：2A587A48A88A59；(2)求证：Amn1AmnmA
9、m1n.思路点拨(1)合理选用排列数的两个公式进行展开(2)提取公因式后合并化简 解(1)2A587A48A88A59 287654787658765432198765 87658787652491.(2)证明：Amn1Amnn1！n1m！n！nm！n！nm！n1n1m1 n！nm！mn1mmn！n1m！mAm1n.Amn1AmnmAm1n.排列数的计算方法1排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行，应用时注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用 2应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后，再提
10、取公因式，然后计算，这样往往会减少运算量跟进训练3求 3Ax84Ax19 中的 x.解 原方程 3Ax84Ax19 可化为 38！8x！49！10 x！，即 38！8x！498！10 x9x8x！，化简，得 x219x780，解得 x16，x213.由题意知x8，x19，解得 x8.所以原方程的解为 x6.课 堂 小 结 提 素 养 1在判断一个问题是否是排列时，可以考虑所取出的元素，任意交换两个，若结果变化，则是排列问题，否则不是排列问题2排列数两个公式的选取技巧(1)排列数的第一个公式 Amn n(n1)(n2)(nm1)适用 m已知的排列数的计算以及排列数的方程和不等式(2)排列数的第二
11、个公式 Amn n！nm！用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等提醒：公式中的 n，m 应该满足 n，mN*，mn，当 mn 时不成立1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)两个排列的元素相同，则这两个排列是相同的排列()(2)从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法属于排列问题()(3)有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案属于排列问题()(4)从 3,5,7,9 中任取两个数进行指数运算，可以得到多少个幂属于排列问题()(5)从 1,2,3,4 中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个点属于排列问题()答案(1)(2)(3)(4)(5)245
12、6(n1)n 等于()AA4n BAn4nC(n4)!DAn3nD 456(n1)n 中共有 n41n3 个因式，最大数为 n，最小数为 4，故 456(n1)nAn3n.35 本不同的课外读物分给 5 位同学，每人一本，则不同的分配方法有_种120 利用排列的概念可知不同的分配方法有 A55120 种4计算：A59A49A610A510.解 法一：A59A49A610A510 5A49A4950A4910A49 515010 320.法二：A59A49A610A5109！4！9！5！10！4！10！5！59！9！510！10！69！410！320.点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!