1、5.1 任意角和弧度制 5.1.1 任意角 第五章 三角函数 学 习 任 务核 心 素 养1了解任意角的概念，能正确区分正角、零角和负角(重点)2理解象限角的意义，掌握终边相同的角的意义与表示(重点、难点)通过正角和负角理解角的大小、旋转方向，通过角的终边所在的象限的讨论，培养数学抽象与逻辑推理核心素养.情境导学探新知 NO.1如图所示，当摩天轮在持续不断地转动时(1)摩天轮所转过的角度大小是否会超过360？(2)如果甲、乙两人分别站在摩天轮的两侧观察，那么他们所看到的摩天轮旋转方向相同吗？如果不同，你能用合适的数学符号表示这种不同吗？从这个实例出发，你能将以前所学的角进行推广吗？知识点 1
2、任意角(1)角的旋转定义自然语言角可以看成一条射线绕着它的_旋转所成的图形符号语言O 为顶点，射线 OA 为始边，OB 为终边，AOB图形语言端点(2)角的推广与分类正角、负角和零角类型定义图示正角 按_方向旋转形成的角负角 按_方向旋转形成的角零角射线 OA 没有作任何旋转，终边 OB 与 OA重合逆时针顺时针1.终边和始边重合的角一定是零角吗？提示 不一定，还有可能是360，720，1.思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)大于 90的角都是钝角()(2)零角的终边与始边重合()(3)从 13：00 到 13：10，分针转过的角度为 60.()(4)一条射线绕端点旋转，旋转的圈数越多
3、，则这个角越大()答案(1)(2)(3)(4)2.下图中从 OA 旋转到 OB，OB1，OB2 时所成的角度分别是_、_、_.图(1)图(2)答案 390 150 60知识点 2 角的加法与减法设，是任意两个角，_为角 的相反角(1)：把角 的_旋转角.(2)：_.终边()3.如图(1)，AOC_；如图(2)，AOC_.图(1)图(2)答案 110 70知识点 3 象限角把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与_重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，那么，角的_在第几象限，就说这个角是第几_；如果角的终边在_，那么就认为这个角不属于任何一个象限原点终边象限角坐标轴上2.“锐角”“第一象限角”“
4、小于 90的角”三者有何不同？提示 锐角是第一象限角也是小于 90的角，而第一象限角可以是锐角，也可以是大于 360的角，还可以是负角，小于 90的角可以是锐角，也可以是零角或负角4.思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)30是第四象限角()(2)第二象限角是钝角()(3)225是第三象限角()答案(1)(2)(3)知识点 4 终边相同的角所有与角 终边相同的角，连同角 在内，可构成一个集合 S|_，kZ，即任一与角 终边相同的角，都可以表示成角 与整数个周角的和k3603.终边相同的角相等吗？相等的角终边相同吗？提示 终边相同的角不一定相等，它们相差 360的整数倍；相等的角，终边相同
5、B 610360250，故选 B.5.与 610角终边相同的角可以表示为(其中 kZ)()Ak360230 Bk360250Ck36070Dk180270合作探究释疑难 NO.2类型1 任意角的概念 类型2 终边相同的角的表示及应用 类型3 象限角及区域角的表示 类型 1 任意角的概念【例 1】(1)下列结论：始边相同而终边不同的角一定不相等；小于 90的角是第一象限角；钝角比第三象限角小；角 与 的终边关于 x 轴对称其中正确的结论为_(填序号)(2)如图，射线 OA 先绕端点 O 逆时针方向旋转 60到 OB 处，再按顺时针方向旋转 820至 OC 处，则 _.(1)(2)40(1)正确；
6、错误；如 30是第四象限角；错误，如 110；正确(2)由题意可知，AOB60，又BOC820720100，故1006040.理解角的概念的关键与技巧(1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念(2)技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可提醒：理解任意角这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”跟进训练1(1)射线 OA 绕端点 O 逆时针旋转 120到达 OB 位置，由 OB 位置顺时针旋转 270到达 OC 位置，则AOC()A150 B150 C390 D390(2)若手表时针走过 4 小时，则时针转过的角度为
7、()A120B120C60D60(1)B(2)B(1)各角和的旋转量等于各角旋转量的和，所以 120(270)150，故选 B.(2)由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数，即为 412360120.类型 2 终边相同的角的表示及应用【例 2】(1)写出与 1 910终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式720360的元素 写出来；(2)写出终边落在直线 yx 上的角 的集合 S，S 中适合不等式360360的元素有哪些？解(1)与 1 910终边相同的角的集合为|k3601 910，kZ720360，即720k3601 910360(kZ)，31136k61136(kZ)，故取 k4
8、,5,6.k4 时，43601 910470；k5 时，53601 910110；k6 时，63601 910250.(2)直线 yx 过原点，它是第二、四象限角的平分线所在的直线，故在 0360范围内终边在直线 yx 上的角有两个：135，315.因此，终边在直线 yx 上的角的集合S|135k360，kZ|315k360，kZ|1352k180，kZ|135(2k1)180，kZ|135n180，nZ由于360360，即360135n180360，nZ.解得114 n54，nZ.所以 n2，1,0,1.所以集合 S 中适合不等式360360的元素为：1352180225；135118045
9、；1350180135；1351180315.1在 0到 360范围内找与给定角终边相同的角的方法(1)一般地，可以将所给的角 化成 k360 的形式(其中 0360，kZ)，其中的 就是所求的角(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加 360的方式；当所给角是正角时，采用连续减 360的方式，直到所得结果达到要求为止提醒：表示终边相同的角，kZ 这一条件不能少2终边相同角常用的三个结论(1)终边相同的角之间相差 360的整数倍(2)终边在同一直线上的角之间相差 180的整数倍(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差 90的整数倍跟进训练2已知
10、1 845，在与 终边相同的角中，求满足下列条件的角(1)最小的正角；(2)最大的负角；(3)360720之间的角解 因为1 84545(5)360，即1 845角与45角的终边相同，所以与角 终边相同的角的集合是|45k360，kZ(1)最小的正角为 315.(2)最大的负角为45.(3)360720之间的角分别是45，315，675.类型 3 象限角及区域角的表示【例 3】(1)若 是第一象限角，则2是()A第一象限角B第一、四象限角C第二象限角D第二、四象限角(2)如图所示分别写出终边落在 OA，OB 位置上的角的集合；写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合以终边相同的角为切入点，思
11、考如何表示某个区域内的角？(1)D 因为 是第一象限角，所以 k360k36090，kZ，所以 k1802k18045，kZ，所以k180452k180，kZ，所以2是第二、四象限角(2)解 终边落在 OA 位置上的角的集合为|9045k360，kZ|135k360，kZ；终边落在 OB 位置上的角的集合为|30k360，kZ由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于30，135之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为|30k360135k360，kZ若将本例(2)改为如图所示的图形，那么终边落在阴影部分(实线为包括边界，虚线为不包含边界)的角的集合如何表示？解 在 0
12、360范围内，终边落在阴影部分的角为 60105与 240285，所以所有满足题意的角 为|k36060k360105，kZ|k360240k360285，kZ|2k180602k180105，kZ|(2k1)18060(2k1)180105，kZ|n18060n180105，nZ故角 的取值集合为|n18060n180105，nZ1表示区间角的 3 个步骤第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的360360范围内的角 和，写出最简区间x|x，其中 360.第三步：起始、终止边界对应角，再加上 360的整数倍，即得区间角集合2n 或n所在象
13、限的判断方法(1)用不等式表示出角 n 或n的范围；(2)用旋转的观点确定角 n 或n所在象限例如：k1203k12030，kZ.由 0330，每次逆时针旋转 120可得3终边的位置提醒：表示区间角时要注意实线边界与虚线边界的差异跟进训练3.(1)若角 是第三象限角，则角2的终边所在的区域是如图所示的区域(不含边界)()ABCD(2)写出终边落在阴影部分的角的集合(1)A(1)是第三象限角，k360180k360270(kZ)，k180902k180135(kZ)当 k2n(nZ)时，n360902n360135(nZ)，其终边在区域内；当 k2n1(nZ)时，n3602702n360315(
14、nZ)，其终边在区域内角2的终边所在的区域为.(2)解 在 0360范围内，阴影部分(包括边界)表示的范围可表示 为：150225，则 所 有 满 足 条 件 的 角 为|k360 150k360225，kZ当堂达标夯基础 NO.31 2 3 4 5 B 根据角的概念可知，90角是以 x 轴的非负半轴为始边，逆时针旋转了 90，故其终边在 y 轴的非负半轴上1下列角中，终边在 y 轴非负半轴上的是()A45 B90 C180 D2701 2 3 4 5 D 因为 2 0213605221，所以与 2 021终边相同的角是221.2下列各个角中与角 2 021终边相同的角的度数是()A149B6
15、79 C321D2211 2 3 4 5 C 8703360210，870是第三象限，故选 C.3角870的终边所在的象限是()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限1 2 3 4 5 670 由题意知，所得角是 502360670.450角的始边与 x 轴的非负半轴重合，把终边按顺时针方向旋转2 周，所得角是_5 1 2 3 4 5已知角 的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角 的集合是_答案|k36045k360150，kZ回顾本节知识，自我完成以下问题：1任意角的分类有哪几种？提示 按旋转方向分为：正角、负角和零角；按角的终边所在位置可分为象限角和轴上角2运用终边相同的角时
16、应注意哪些问题？提示 所有与角 终边相同的角，连同角 在内可以用式子k360，kZ 表示，在运用时需注意以下四点：(1)k 是整数，这个条件不能漏掉(2)是任意角(3)k360与 之间用“”连接，如 k36030应看成 k360(30)，kZ.(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍3如何由 所在象限，确定n(nN)所在的象限提示(1)不等式法由角 的范围(用 k 表示)，表示角n的范围；通过对 k 进行分类讨论，判断角n所在象限(2)几何法作出各个象限的从原点出发的 n 等分射线，它们与坐标轴把周角分成 4n 个区域从 x 轴非负半轴起，按逆时针方向把这 4n个区域依次循环标上“一、二、三、四”的终边在第几象限，则标号为几的区域就是n的终边所落在的区域如此，n所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!
