1、学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1若异面直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为150，则l1与l2所成的角为()A30B150C30或150D以上均不对【解析】l1与l2所成的角与其方向向量的夹角相等或互补，且异面直线所成角的范围为.应选A.【答案】A2已知A(0，1，1)，B(2，1，0)，C(3，5，7)，D(1，2，4)，则直线AB与直线CD所成角的余弦值为()A.BC.D【解析】(2，2，1)，(2，3，3)，cos，直线AB，CD所成角的余弦值为.【答案】A3正方形ABCD所在平面外一点P，PA平面ABCD，若PAAB，则平面PAB与平面PCD的夹角为()A3
2、0B45C60D90【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，设PAAB1.则A(0，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)于是(0，1，0)取PD中点为E，则E，易知是平面PAB的法向量，是平面PCD的法向量，cos，平面PAB与平面PCD的夹角为45.【答案】B4如图3228，在空间直角坐标系Dxyz中，四棱柱ABCDA1B1C1D1为长方体，AA1AB2AD，点E，F分别为C1D1，A1B的中点，则二面角B1A1BE的余弦值为() 【导学号：18490121】图3228ABC. D. 【解析】设AD1，则A1(1，0，2)，B(1，2，0)，因为E，F分别为C1D1，A1B的中点，所以
3、E(0，1，2)，F(1，1，1)，所以(1，1，0)，(0，2，2)，设m(x，y，z)是平面A1BE的法向量，则所以所以取x1，则yz1，所以平面A1BE的一个法向量为m(1，1，1)，又DA平面A1B1B，所以(1，0，0)是平面A1B1B的一个法向量，所以cosm，又二面角B1A1BE为锐二面角，所以二面角B1A1BE的余弦值为，故选C.【答案】C5.如图3229，空间正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成角的大小是()图3229A.B.C. D.【解析】以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为坐标轴建系，则，cos，0.，.【答案
4、】D二、填空题6在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为A1B1，BB1的中点，则异面直线AM与CN所成角的余弦值是_【解析】依题意，建立如图所示的坐标系，则A(1，0，0)，M，C(0，1，0)，N，cos，故异面直线AM与CN所成角的余弦值为.【答案】7在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(1，2，0)，B(2，1，)，则向量与平面xOz的法向量的夹角的正弦值为_【解析】设平面xOz的法向量为n(0，t，0)(t0)，(1，3, )，所以cosn，因为n，0，所以sinn，.【答案】8已知点E，F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E2EB，CF
5、2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值等于_【解析】如图，建立空间直角坐标系设正方体的棱长为1，平面ABC的法向量为n1(0，0，1)，平面AEF的法向量为n2(x，y，z)所以A(1，0，0)，E，F，所以，则即取x1，则y1，z3.故n2(1，1，3)所以cosn1，n2.所以平面AEF与平面ABC所成的二面角的平面角满足cos ，sin ，所以tan .【答案】三、解答题9.如图3230所示，在四面体ABCD中，O，E分别是BD，BC的中点，CACBCDBD2，ABAD. 【导学号：18490119】图3230(1)求证：AO平面BCD；(2)求异面直线AB与CD所成角的
6、余弦值【解】(1)证明：连接OC，由题意知BODO，ABAD，AOBD.又BODO，BCCD，COBD.在AOC中，由已知可得AO1，CO，又AC2，AO2CO2AC2，AOC90，即AOOC.BDOCO，AO平面BCD.(2)以O为坐标原点建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，D(1，0，0)，C(0, ，0)，A(0，0，1)，E，(1，0，1)，(1，0)，cos，.异面直线AB与CD所成角的余弦值为.10四棱锥PABCD的底面是正方形，PD底面ABCD，点E在棱PB上(1)求证：平面AEC平面PDB；(2)当PDAB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小【解】如图，以D
7、为原点建立空间直角坐标系Dxyz，设ABa，PDh，则A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，D(0，0，0)，P(0，0，h)，(1)(a，a，0)，(0，0，h)，(a，a，0)，0，0，ACDP，ACDB，又DPDBD，AC平面PDB，又AC平面AEC，平面AEC平面PDB.(2)当PDAB且E为PB的中点时，P(0，0，a)，E，设ACBDO，O，连接OE，由(1)知AC平面PDB于O，AEO为AE与平面PDB所成的角，cosAEO，AEO45，即AE与平面PDB所成的角的大小为45.能力提升1已知在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA12，E是侧棱BB1的
8、中点，则直线AE与平面A1ED1所成角的大小为()A60B90C45D以上都不对【解析】以点D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图由题意知，A1(1，0，2)，E(1，1，1)，D1(0，0，2)，A(1，0，0)，所以(0，1，1)，(1，1，1)，(0，1，1)设平面A1ED1的一个法向量为n(x，y，z)，则得令z1，得y1，x0，所以n(0，1，1)，cosn，1.所以n，180.所以直线AE与平面A1ED1所成的角为90.【答案】B2.在三棱柱ABCA1B1C1中，CACC12CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()图3231A
9、.B.C. D.【解析】不妨设CACC12CB2，则(2，2，1)，(0，2，1)，所以cos，.因为直线BC1与直线AB1的夹角为锐角，所以所求角的余弦值为.【答案】A3在空间中，已知平面过(3，0，0)和(0，4，0)及z轴上一点(0，0，a)(a0)，如果平面与平面xOy的夹角为45，则a_【解析】平面xOy的法向量为n(0，0，1)，设平面的法向量为u(x，y，z)，则即3x4yaz，取z1，则u.而cosn，u，又a0，a.【答案】4.如图3232，在直三棱柱A1B1C1ABC中，ABAC，ABAC2，A1A4，点D是BC的中点图3232(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；
10、(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值. 【导学号：18490120】【解】(1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D(1，1，0)，A1(0，0，4) ，C1(0，2，4)，所以(2，0，4)，(1，1，4). 因为cos，所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为.(2)设平面ADC1的法向量为n1(x，y，z)，因为(1，1，0)，(0，2，4)，所以n10，n10，即xy0且y2z0，取z1，得x2，y2，所以n1(2，2，1)是平面ADC1的一个法向量取平面AA1B的一个法向量为n2(0，1，0)，设平面ADC1与平面ABA1所成二面角的大小为.由|cos |，得sin .因此，平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值为.
