1、4.4 对数函数 4.4.3 不同函数增长的差异 第四章 指数函数与对数函数 学 习 任 务核 心 素 养1了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型2会分析具体的实际问题，通过建模解决实际问题(重点、难点)1从几类特殊函数中分析出一般性函数的增长特点，可以提高逻辑推理素养2通过比较几种不同类型的函数模型的增长进行决策，建立函数模型，从而提升数学建模素养.情境导学探新知 NO.1一家世界500强公司曾经出过类似这样的一道面试题：现在有一套房子，价格200万元，假设房价每年上涨10%，某人每年固定能一共攒下40万元，如果他想买这套房子，在不贷款，收入不增加的前提下，这个人需要多少年才能赞够钱
2、买这套房子？A5年 B7年 C8年 D9年 E永远买不起房子的价格逐年构成什么样的函数？这个人的逐年收入构成什么函数？你能给出这道题的答案吗？为什么？知识点 三种函数模型的增长差异yax(a1)ylogax(a1)ykx(k0)在(0，)上的增减性_图象的变化趋势随 x 增大逐渐近似与_平行随 x 增大逐渐近似与_平行保持固定增长速度增函数增函数增函数y轴x轴yax(a1)ylogax(a1)ykx(k0)增长速度yax(a1)：随着 x 的增大，y 增长速度_，会远远大于 ykx(k0)的增长速度，ylogax(a1)的增长速度_增长结果存在一个 x0，当 xx0 时，有_越来越快越来越慢a
3、xkxlogax在区间(0，)上，当a1，n0时，是否总有logaxxn1，n0，xx0时，logaxxn1，n0时，在区间(0，)上，对任意的x，总有logaxxn1时呈爆炸式增长，并且随a值的增大，增长速度越快，应选A.(2)观察函数f(x)log12x，g(x)12x与h(x)2x在区间(0，)上的图象(如图)可知：函数f(x)的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1，)上，递减较慢，且越来越慢，同样，函数g(x)的图象在区间(0，)上，递减较慢，且递减速度越来越慢；函数h(x)的图象递减速度不变常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型线性函数模型ykxb(k0
4、)的增长特点是直线上升，其增长速度不变(2)指数函数模型指数函数模型yax(a1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”(3)对数函数模型对数函数模型ylogax(a1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓A 结合指数函数、对数函数及一次函数的图象变化趋势可知A正确跟进训练1下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是()Ayex Byln xCy2xDyex类型2 函数增长速度的比较【例2】(1)(多选)如图，能使得不等式log2xx22Bx4C0 x2D2x4(2)已知函数f(x)ln x，g(x)0.5
5、x1的图象如图所示指出图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数借助图象，比较f(x)和g(x)的大小(1)BC 结合图象可知，当x(0,2)(4，)时，有log2xx2f(x)；当 x(x1，x2)时，g(x)f(x)；当 xx1 或 x2 时，g(x)f(x)综上，当 xx1 或 x2 时，g(x)f(x)；当 x(x1，x2)时，g(x)f(x)由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增长，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数跟进训练2函数f(x)2x和g(x)2x的图象如图所
6、示，设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1x2.(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；(2)结合函数图象，判断f32 与g32，f(2 021)与g(2 021)的大小解(1)C1对应的函数为g(x)2x，C2对应的函数为f(x)2x.(2)f(1)g(1)，f(2)g(2)，从图象上可以看出，当1x2时，f(x)g(x)，f32 g32；当x2时，f(x)g(x)，f(2 021)g(2 021)类型3 函数增长速度的应用【例3】某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且资金y(单位
7、：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但资金总数不超过3万元，同时资金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y0.2x，ylog5x，y1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？分别画出y0.2x，ylog5x及y1.02x的图象，观察并思考哪个模型符合题设条件解 作出函数y3，y0.2x，ylog5x，y1.02x的图象(如图所示)观察图象可知，在区间5,60上，y0.2x，y1.02x的图象都有一部分在直线y3的上方，只有ylog5x的图象始终在y3和y0.2x的下方，这说明只有按模型ylog5x进行奖励才符合学校的要求几类不同增长函数模型选择的方法(1)增长速度不变，即自变量增加
8、相同量时，函数值的增量相等，此时的函数模型是一次函数模型(2)增长速度越来越快，即自变量增加相同量时，函数值的增量成倍增加，此时的函数模型是指数函数模型(3)增长速度越来越慢，即自变量增加相同量时，函数值的增量越来越小，此时的函数模型是对数函数模型跟进训练3生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在图中请选择与容器相匹配的图象，A对应_；B对应_；C对应_；D对应_A B C D(1)(2)(3)(4)(4)(1)(3)(2)A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与(4)对应；B容器为球形，水高度变化为快慢快，应与(1)对应；C，D容器都是柱
9、形的，水高度的变化速度都应是直线型，但C容器细，D容器粗，故水高度的变化为：C容器快，与(3)对应，D容器慢，与(2)对应当堂达标夯基础 NO.31 2 3 4 5 C 结合函数y1，yx，y3x及ylog3x的图象可知(图略)，随着x的增大，增长速度最快的是y3x.1下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是()Ay1 ByxCy3xDylog3x1 2 3 4 5 A 随着自变量每增加1函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为线性函数即一次函数模型2如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型是()x45678910y15171921232527A一次函数模型B二次函数
10、模型C指数函数模型D对数函数模型1 2 3 4 5 D ABC均错误，只有D正确3以下四种说法中，正确的是()A幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快B对任意的x0，xnlogaxC对任意的x0，axlogaxD不一定存在x0，当xx0时，总有axxnlogax1 2 3 4 5 y2 由指数函数的变化规律可知，y2随x的变化呈指数增长4三个变量y1，y2，y3随变量x变化的数据如下表：x051015202530y151305051 1302 0053 1304 505y25901 620 29 160 524 880 9 447 840 170 061 120y353055801051301
11、55其中关于x呈指数增长的变量是_5 1 2 3 4 结合图象可知正确，故填.5某工厂8年来某种产品总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示以下四种说法：前三年产量增长的速度越来越快；前三年产量增长的速度越来越慢；第三年后这种产品停止生产；第三年后产量保持不变其中说法正确的序号是_回顾本节知识，自我完成以下问题：如何描述三种函数模型的增长差异？提示 直线上升、指数爆炸、对数增长对于直线ykxb(k0)、指数函数yax(a1)、对数函数ylogbx(b1)，当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快，并且一次函数直线上升，其增长量固定不变数学阅读拓视野 NO.4指
12、数爆炸与生活哲学指数函数的爆炸式增长源自指数运算的性质对指数运算不熟悉的人，在估计指数运算的值时，可能会出现比较大的误差例如，你能猜出以下各指数运算的值大概是多少吗？1.01365？1.02365？0.99365？1.012190.98146？0.9550？有意思的是，如图所示，有人还用上述这些指数运算的值形象地解释了一些生活哲学，你觉得有道理吗？1.0136537.780.993650.03积跬步以至千里积怠惰以至深渊 1.023651 377.411.0136537.78多百分之一的努力得千份收获1.012190.981460.46三天打鱼两天晒网终将一无所获 0.95500.08如果每次失败的概率是95%连续失败50次的概率不到8%点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!
