1、2.2.3 独立重复试验与二项分布内 容 标 准学 科 素 养1.理解n次独立重复试验的模型2.理解二项分布(重、难点).3.能利用独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题.利用数学抽象提升数学建模和数学运算01课前 自主预习02课堂 合作探究04课时 跟踪训练03课后 讨论探究基础认识知识点一 独立重复试验预习教材P5657，思考并完成以下问题(1)观察下面的试验，分析它们有什么共同特点？重复抛掷质地均匀的硬币 10 次，观察是否出现正面向上重复抛一颗骰子 10 次观察是否出现 1 点姚明罚球一次命中的概率为 0.8，他在练习罚球时，投篮 4 次恰好全部命中提示：每次试验是在同样的
2、条件下重复进行的；各次试验中的事件是相互独立的；每次试验都只有两种结果，发生与不发生；每次试验某事件发生的概率是相同的(2)投掷一枚图钉，设针尖向上的概率为 p，则针尖向下的概率为 q1p.连续掷一枚图钉 3 次，仅出现 1 次针尖向上的概率是多少？出现 2 次针尖向上呢？3 次呢？提示：连续掷一枚图钉 3 次，就是做 3 次独立重复试验用 Ai(i1,2,3)表示事件“第 i 次掷得针尖向上”，用 B1 表示事件“仅出现 1 次针尖向上”，则 B1(A1A2 A 3)(A 1A2 A 3)(A 1 A 2A3)由于事件 A1 A 2 A 3，A 1A2 A 3 和 A 1 A 2A3 彼此互
3、斥，由概率加法公式得 P(B1)P(A1 A 2 A 3)P(A 1A2 A 3)P(A 1 A 2A3)q2pq2pq2p3q2p.因此，连续掷一枚图钉 3 次，仅出现 1 次针尖向上的概率是 3q2p.用 B2 表示事件“出现 2 次针尖向上”则 P(B2)P(A1A2 A 3)P(A 1A2A3)P(A1 A 2A3)p2qp2qp2q3p2q，P(B3)P(A1A2A3)p3.用 Bk(k0,1,2,3)表示事件“连续掷一枚图钉 3 次，出现 k 次针尖向上”可以发现 P(Bk)Ck3pkq3k(k0、1、2、3).知识梳理 1.独立重复实验的定义一般地，在相同条件下重复做的 n 次试
4、验称为 n 次独立重复实验2独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率一般地，如果在 1 次实验中某事件发生的概率是 p，那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率 P(Xk)Cknpk(1p)nk，k0,1,2，n.知识点二 二项分布知识梳理 一般地，在 n 次独立重复试验中，用 X 表示事件 A 发生的次数，设每次试验中事件 A 发生的概率为 p，则，k0,1,2，n.此时称随机变量 X 服从二项分布，记作 X，并称 p 为思考 二项分布与两点分布有何关系？P(Xk)Cknpk(1p)nkB(n，p)成功概率提示：两点分布是特殊的二项分布，即 XB(n，p)中，当 n1
5、 时，二项分布便是两点分布，也就是说二项分布是两点分布的一般形式自我检测1有以下试验：掷一枚质地均匀的硬币 5 次；某人连续投篮 3 次；袋中装有除颜色外其他都相同的 3 个红球，2 个白球，不放回地从中摸 3 次；袋中装有除颜色外其他都相同的 3 个红球，2 个白球，有放回地摸 3 次其中为独立重复试验的是_(只填序号)答案：2将一枚质地均匀的硬币掷 5 次，恰好有 3 次正面朝上的概率为_答案：516探究一 独立重复试验的判断阅读教材 P58 练习 1生产一种产品共需 5 道工序，其中 1 至 5 道工序的生产合格率分别为 96%,99%,98%,97%,96%.现从成品中任意抽取 1 件
6、，抽到合格品的概率是多少？解析：各道工序都合格等价于产品是合格品，这 5 道工序是相互独立的因此抽到合格品的概率为 PP1P2P3P4P596%99%98%97%96%0.867.例 1 判断下列试验是不是独立重复试验：(1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3 次正面向上；(2)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了 10 次，其中 6 次击中；(3)口袋中装有 5 个白球，3 个红球，2 个黑球，依次从中抽取 5 个球，恰好抽出 4 个白球解析(1)由于试验的条件不同(质地不同)，因此不是独立重复试验(2)某人射击且击中的概率是稳定的，因此是独立重复试验(3)每次抽取，试验的结果有三种不
7、同的颜色，且每种颜色出现的可能性不相等，因此不是独立重复试验方法技巧 独立重复试验的判断依据(1)要看该实验是不是在相同的条件下可以重复进行(2)每次试验相互独立，互不影响跟踪探究 1.下列事件：运动员甲射击一次，“射中 9 环”与“射中 8 环”；甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中 10 环”与“乙射中 9 环”；甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标”；在相同的条件下，甲射击 10 次，5 次击中目标其中是独立重复试验的是()A BCD解析：符合互斥事件的概念，是互斥事件；是相互独立事件；是独立重复试验答案：D探究二 独立重复试验的概率阅读教材 P57 例 4
8、某射手每次射击击中目标的概率是 0.8，求这名射手在 10 次射击中，(1)恰有 8 次击中目标的概率；(2)至少有 8 次击中目标的概率(结果保留两个有效数字)题型：独立重复试验的概率方法步骤：(1)先确定该试验是独立重复试验；(2)由独立重复试验中概率的计算公式 P(A)Cknpk(1p)nk得出所求事件的概率例 2 某单位 6 个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率是 0.5(相互独立)(1)求至少 3 人同时上网的概率；(2)至少几人同时上网的概率小于 0.3.解析(1)至少 3 人同时上网的概率等于 1 减去至多 2 人同时上网的概率，即 p1C06(0.5)6C16(0.5)
9、1(0.5)5C26(0.5)2(0.5)42132.(2)至少 4 人同时上网的概率为C46(0.5)4(0.5)2C56(0.5)5(0.5)1C66(0.5)611320.3.至少 5 人同时上网的概率为C56(0.5)5(0.5)1C66(0.5)6 7640.3.至少 5 人同时上网的概率小于 0.3.方法技巧 解答独立重复试验中的概率问题要注意以下几点(1)先要判断问题中所涉及的试验是否为 n 次独立重复试验；(2)要注意分析所研究的事件的含义，并根据题意划分为若干个互斥事件的并集(3)要善于分析规律，恰当应用排列、组合数简化运算跟踪探究 2.甲、乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛
10、中甲队胜的概率为23，没有平局(1)若进行三局两胜制比赛，先胜两局者为胜，甲获胜的概率是多少？(2)若进行五局三胜制比赛，甲获胜的概率为多少？解析：(1)甲第一、二局胜，或第二、三局胜，或第一、三局胜，则 P232C122313232027.(2)甲前三局胜；或甲第四局胜，而前三局仅胜两局；或甲第五局胜，而前四局仅胜两局，则P233C232321323C24232132236481.探究三 二项分布阅读教材 P58 练习 2将一枚硬币连续抛掷 5 次，求正面向上的次数 X 的分布列解析：由题意得 XB(5，12)P(X0)C05(12)5 132，P(X1)C15125 532，P(X2)C2
11、51251032 516，P(X3)C351251032 516，P(X4)C45125 532，P(X5)C55125 132.X 的分布列为：X012345P132532516516532132 例 3 已知某种从太空飞船中带回来的植被种子每粒成功发芽的概率都为13，某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子，如果某次没有发芽，则称该次试验是失败的(1)第一小组做了 3 次试验，记该小组试验成功的次数为 X，求 X 的分布列；(2)第二小组进行试验，到成功了 4 次为止，求在第 4 次成功之前共有 3 次失败的概率解析(1)由题意，得随机变量 X 可能取值为 0
12、,1,2,3，则 XB3，13.即 P(X0)C031301133 827，P(X1)C13131113249，P(X2)C23132113129，P(X3)C33133 127.所以 X 的分布列为X0123P8274929127(2)第二小组第 7 次试验成功，前面 6 次试验中有 3 次失败，3 次成功，每次试验又是相互独立的，因此所求概率为 PC36133113313 1602 187.方法技巧 1.当 X 服从二项分布时，应弄清 XB(n，p)中的试验次数 n 与成功概率 p.2解决二项分布问题的两个关注点(1)对于公式 P(Xk)Cknpk(1p)nk(k0,1,2，n)，必须在满
13、足“独立重复试验”时才能应用，否则不能应用该公式(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了 n 次跟踪探究 3.某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为34，某班 3 名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数 X 的分布列解析：由题意可知 XB3，34，所以 P(Xk)Ck334k143k，k0,1,2,3.即 P(X0)C03340143 164，P(X1)C1334142 964，P(X2)C23342142764，P(X3)C333432764.所以
14、X 的分布列为：X0123P16496427642764课后小结(1)独立重复试验要从三方面考虑：第一，每次试验是在相同条件下进行的；第二，各次试验的结果是相互独立的；第三，每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生(2)如果 1 次试验中某事件发生的概率是 p，那么 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率为 Pn(k)Cknpk(1p)nk.此概率公式恰为(1p)pn 展开式的第 k1 项，故称该公式为二项分布公式素养培优二项分布与超几何分布的关系(1)从 6 名男生和 4 名女生中，随机选出 3 名学生参加一项竞技测试，试求选出的 3名学生中女生人数 的分布列解析：由题意
15、得 0,1,2,3.服从参数为 N10，M4，n3 的超几何分布P(0)C36C310 2012016，P(1)C14C26C310 6012012，P(2)C24C16C310 36120 310，P(3)C34C310 4120 130.故 的分布列为：0123P1612310130(2)甲、乙两人玩秒表游戏，按开始键，然后随机按暂停键，观察秒表最后一位数，若出现 0,1,2,3 则甲赢，若最后一位出现 6,7,8,9 则乙赢，若最后一位出现 4,5 是平局玩三次，记甲赢的次数为随机变量 X，求 X 的分布列解析：由题意得 X0,1,2,3.P(X0)C030.630.216，P(X1)C
16、130.40.620.432，P(X2)C230.420.60.288，P(X3)C330.430.064.故 X 的分布列为：X0123P0.2160.4320.2880.064点评 超几何分布与二项分布都是随机变量取非负整数值的离散分布，表面上看，两种分布的概率求取有截然不同的表达式，但看它们的概率分布表，会发现构造上的相似点课本中对超几何分布的模型建立是这样的：若有 N 件产品，其中 M 件是废品，无放回地任意抽取 n 件，则其中恰有的废品件数 X 是服从超几何分布的而对二项分布则使用比较容易理解的射击问题来建立模型若将超几何分布的概率模型改成：若有 N 件产品，其中 M 件是废品，有放回地任意抽取 n 件，则其中恰有的废品件数 X 是服从二项分布的在这里，两种分布的差别就在于“有”与“无”的差别，只要将概率模型中的“无”改为“有”，或将“有”改为“无”，就可以实现两种分布之间的转化超几何分布与二项分布是两个非常重要的概率模型，许多实际问题都可以利用这两个概率模型来求解在实际应用中，理解并辨别这两个概率模型是至关重要的下面通过例子说明一下两者的区别04课时 跟踪训练
