1、考点突破夯基释疑考点一考点三考点二例 1训练1例 2训练2例 3训练3第4讲 平面向量的应用概要课堂小结结束放映返回目录第2页 1判断正误(在括号内打“”或“”)(1)若AB AC，则 A，B，C 三点共线()(2)解析几何中的坐标、直线平行、垂直、长度等问题都可以用向量解决()(3)实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运算()(4)在ABC 中，若AB BC 0，则ABC 为钝角三角形()夯基释疑结束放映返回目录第3页 考点突破考点一 平面向量在平面几何中的应用例 1(1)在平行四边形 ABCD 中，AD1，BAD60，E 为 CD 的中点若AC BE
2、1，则 AB 的长为_解析(1)由题意可知，AC AB AD，BE 12AB AD.因为AC BE 1，所以(AB AD)12AB AD 1，即AD 212AB AD 12AB 21.因为|AD|1，BAD60，所以AB AD 12|AB|，因此式可化为 114|AB|12|AB|21，解得|AB|0(舍去)或12，所以 AB 的长为12.结束放映返回目录第4页 考点突破考点一 平面向量在平面几何中的应用例 1(2)(2014天津卷)已知菱形 ABCD 的边长为 2，BAD120，点 E，F 分别在边 BC，DC 上，BC3BE，DCDF.若AE AF 1，则 的值为_解析(2)法一如图，AE
3、 AB BE AB 13BC，AF AD DF AD 1DC BC 1AB，所以AE AF AB 13BC BC 1AB 1 13 AB BC 1AB 213BC 21 13 22cos1204431，解得 2.结束放映返回目录第5页 考点突破考点一 平面向量在平面几何中的应用例 1(2)(2014天津卷)已知菱形 ABCD 的边长为 2，BAD120，点 E，F 分别在边 BC，DC 上，BC3BE，DCDF.若AE AF 1，则 的值为_解析(2)法二如图建立平面直角坐标系由题意知：A(0，1)，C(0，1)，B(3，0)，D(3，0)由 BC3BE，DCDF，可求点 E，F 的坐标分别为
4、 E(2 33，13)，F311，1，答案(1)12(2)2AE AF 2 33，43 311，11 211 4311 1，解得 2.结束放映返回目录第6页 考点突破规律方法平面向量解决平面几何问题时，在便于建立直角坐标系的情况下建立平面直角坐标系，可以使向量的运算更简便一些在解决这类问题时，共线向量定理和平面向量基本定理起主导作用考点一 平面向量在平面几何中的应用结束放映返回目录第7页【训练 1】(1)已知 O 是平面上的一定点，A，B，C 是平面上不共线的三个动点，若动点 P 满足OP OA(AB AC)，(0，)，则点 P 的轨迹一定通过ABC 的_心解析(1)考点突破由原等式，得OP
5、OA(AB AC)，即AP(AB AC)，根据平行四边形法则，知AB AC 是ABC 的中线AD(D 为 BC 的中点)所对应向量AD 的 2 倍，所以点 P 的轨迹必过ABC 的重心考点一 平面向量在平面几何中的应用D结束放映返回目录第8页【训练 1】(2)(2014杭州质检)在边长为 1 的菱形 ABCD 中，BAD60，E 是 BC 的中点，则AC AE _解析(2)考点突破建立如图平面直角坐标系，则 A 32，0，C32，0，B0，12.E 点坐标为34，14，AC(3，0)，AE 3 34，14，考点一 平面向量在平面几何中的应用AC AE 33 34+0（14）94.答案(1)重(
6、2)94结束放映返回目录第9页【例题 2】在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知向量 msin A2，cos A2，ncos A2，cos A2，且 2mn|m|22，AB AC 1.(1)求角 A 的大小；(2)求ABC 的面积 S.考点突破解析(1)因为 2mn2sin A2cos A22cos2A2考点二 平面向量在三角函数中的应用sin A(cos A1)2sin(A4)1，又|m|1，所以 2mn|m|2sinA4 22，即 sin(A4)12.因为 0A，所以4A434，所以 A46，即 A512.结束放映返回目录第10页 考点突破解析(2)cosAcos5
7、12cos64考点二 平面向量在三角函数中的应用cos6cos4sin6sin4 6 24，因为AB AC bccosA1，所以 bc 6 2.又 sinAsin512sin64 6 24，所以ABC 的面积 S12bcsinA 12(6 2)6 242 32.【例题 2】在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知向量 msin A2，cos A2，ncos A2，cos A2，且 2mn|m|22，AB AC 1.(1)求角 A 的大小；(2)求ABC 的面积 S.结束放映返回目录第11页 考点突破规律方法(1)解决平面向量与三角函数交汇问题，关键是准确利用向量的坐标运算
8、化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题解决(2)熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、几何意义、向量模、夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换、正、余弦定理等知识考点二 平面向量在三角函数中的应用结束放映返回目录第12页 考点突破(1)证明 由题意得|ab|22，训练 2 已知 a(cos，sin)，b(cos，sin)，0.(1)若|ab|2，求证：ab；(2)设 c(0，1)，若 abc，求，的值即(ab)2a22abb22.又因为 a2b2|a|2|b|21，所以22ab2，即ab0，故 ab.考点二 平面向量在三角函数中的应用结束放映返回目录第13页 考点突破(2)解 因为 ab
9、(coscos，sinsin)(0，1)，所以coscos0，sinsin1，由此得，coscos()由0，得0，考点二 平面向量在三角函数中的应用又 0，故.代入 sinsin1，得 sinsin12.又，所以 56，6.训练 2 已知 a(cos，sin)，b(cos，sin)，0.(1)若|ab|2，求证：ab；(2)设 c(0，1)，若 abc，求，的值结束放映返回目录第14页 考点突破考点三 向量在解析几何中的应用例 3(2013湖南卷)已知平面上一定点 C(2，0)和直线 l：x8，P 为该平面上一动点，作 PQl，垂足为 Q，且PC12PQ PC12PQ0.(1)求动点 P 的轨
10、迹方程；(2)若 EF 为圆 N：x2(y1)21 的任一条直径，求PEPF的最值解析(1)设 P(x，y)，则 Q(8，y)由(PC12PQ)(PC12PQ)0，即(x2)2y214(x8)20化简得x216y2121.所以点 P 在椭圆上，其方程为x216y2121.得|PC|214|PQ|20，yx123123123412345678xQCONB1P结束放映返回目录第15页 考点突破考点三 向量在解析几何中的应用解析(2)因PEPF(NE NP)(NF NP)(NF NP)(NF NP)P 是椭圆x216y2121 上的任一点，设 P(x0，y0)，则有x2016y20121，即 x20
11、164y203，又 N(0，1)，所以NP 2x20(y01)213y202y017 13(y03)220.因 y02 3，2 3，所以当 y03 时，NP 2 取得最大值 20，NP 2NF 2NP 21，故PEPF的最大值为 19；当 y02 3时，NP 2 取得最小值为 134 3(此时 x00)，故PEPF的最小值为 124 3.yx12312341231234E CONB1PF结束放映返回目录第16页 考点突破规律方法向量在解析几何中的作用(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，
12、从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题(2)工具作用：利用 abab0；abab(b0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较可行的方法考点三 向量在解析几何中的应用结束放映返回目录第17页 考点突破解析 训练 3 已知点 P(0，3)，点 A 在 x 轴上，点 Q 在 y 轴的正半轴上，点 M 满足PAAM 0，AM 32MQ，当点 A 在 x 轴上移动时，求动点 M 的轨迹方程设 M(x，y)为所求轨迹上任一点，设 A(a，0)，Q(0，b)(b0)，则PA(a，3)，AM(xa，y)，MQ(x，by)，由PAAM 0，
13、得 a(xa)3y0.由AM 32MQ，得(xa，y)32(x，by)32x，32（yb），xa32x，y32y32b，ax2，by3.b0，y0，考点三 向量在解析几何中的应用把 ax2代入，得x2xx2 3y0，整理得 y14x2(x0)所以动点 M 的轨迹方程为 y14x2(x0)结束放映返回目录第18页 思想方法课堂小结1向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题2以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法3向量的两个作用：载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题结束放映返回目录第19页 易错防范课堂小结1对三角形“四心”的意义不明，向量关系式的变换出错，向量关系式表达的向量之间的相互位置关系判断错误等2注意向量夹角和三角形内角的关系，两者并不等价3注意向量共线和两直线平行的关系；两向量 a，b 夹角为锐角和 ab0 不等价结束放映返回目录第20页（见教辅）
