1、2012届全国各省市高三上学期数学联考试题重组专题题型五 解析几何 （教师版）【备 考 要 点】考情分析 从近几年高考来看，本讲高考命题具有以下特点：1圆锥曲线是高考中每年必考内容，是高考的重点和热点，选择题、填空题和解答题均有涉及，所占分数在1218分主要考查圆锥曲线的标准方程、几何性质等2由于新课标对此部分的考查增加了“理解数形结合思想”的要求，所以考查数形结合、等价转化、分类讨论等数学思想方法的问题有所加强3以向量为载体的解析几何问题已成为高考的重中之重，联系方程、不等式以及圆锥曲线的转化，题型灵活多样解答题的题型设计主要有三类：圆锥曲线的有关元素计算关系证明或范围的确定；涉及与圆锥曲线
2、平移与对称变换、最值或位置关系的问题；求平面曲线（整体或部分）的方程或轨迹近年来，高考中解析几何综合题的难度有所下降随着高考的逐步完善，结合上述考题特点分析，预测今后高考的命题趋势是：将加强对于圆锥曲线的基本概念和性质的考查，加强对于分析和解决问题能力的考查因此，教学中要注重对圆锥曲线定义、性质、以及圆锥曲线基本量之间关系的掌握和灵活应用高考第二阶段的复习，应在继续作好知识结构调整的同时，抓好数学基本思想、数学基本方法的提炼，进行专题复习；做好“五个转化”，即从单一到综合、从分割到整体、从记忆到应用、从慢速摸仿到快速灵活、从纵向知识到横向方法.这一复习过程，要充分体现分类指导、分类要求的原则，
3、内容的选取一定要有明确的目的性和针对性，要充分发挥教师的创造性，更要充分考虑学生的实际，要密切注意学生的信息反馈，防止过分拔高，加重负担. 要点知识整合【2011高 考 题 型】根据近年来各地高考的情况，解析几何高考考查特点(1)题型稳定:近几年来高考解析几何试题一直稳定在三(或二)个选择题,一个填空题,一个解答题上,分值约为30分左右, 占总分值的20%左右。(2)整体平衡,重点突出:对直线、圆、圆锥曲线知识的考查几乎没有遗漏,通过对知识的重新组合,考查时既注意全面,更注意突出重点, 对支撑数学科知识体系的主干知识, 考查时保证较高的比例并保持必要深度。近四年新教材高考对解析几何内容的考查主
4、要集中在如下几个类型: 求曲线方程( 类型确定、类型未定); 直线与圆锥曲线的交点问题(含切线问题); 与曲线有关的最(极)值问题; 与曲线有关的几何证明(对称性或求对称曲线、平行、垂直); 探求曲线方程中几何量及参数间的数量特征; (3)能力立意,渗透数学思想:一些虽是常见的基本题型,但如果借助于数形结合的思想,就能快速准确的得到答案。 (4)题型新颖,位置不定:近几年解析几何试题的难度有所下降,选择题、填空题均属易中等题,且解答题未必处于压轴题的位置,计算量减少,思考量增大。加大与相关知识的联系(如向量、函数、方程、不等式等),凸现教材中研究性学习的能力要求。加大探索性题型的分量。由于圆锥
5、曲线是传统的高中数学主干知识，在高考命题上已经比较成熟，考查的形式和试题的难度、类型已经较为稳定，预计2012年仍然是这种考查方式，不会发生大的变化【2012 命 题 方 向】【原题】（本小题满分14分）已知中，点A、B的坐标分别为，点C在x轴上方。（1）若点C坐标为，求以A、B为焦点且经过点C的椭圆的方程；（2）过点P（m，0）作倾角为的直线交（1）中曲线于M、N两点，若点Q（1，0）恰在以线段MN为直径的圆上，求实数m的值。【解析】（）设椭圆方程为，c=,2a=,b=椭圆方程为5分即，【试题出处】黄冈市2011年秋季高三年级期末考试数学试题（文）【原题】（本小题满分12分）已知斜率为1的直
6、线与双曲线相交于B、D两点，且BD的中点为M（1，3）。（1）求双曲线C的离心率；（2）若双曲线C的右焦点坐标为（3，0），则以双曲线的焦点为焦点，过直线上一点M作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点M应在何处？并求出此时的椭圆方程。【解析】（）由题设知：的方程为，代入的方程，并化简得： ()2分设，则， 4分由为的中点知，故即.故，验证可知方程()的06分（）双曲线的左、右焦点为、，点关于直线的对称点的坐标为，直线的方程为 8分解方程组得：交点9分此时最小，所求椭圆的长轴，11分又， ，故所求椭圆的方程为 12分【试题出处】安徽省宿州市2012届高三第一次教学质量检测数学试题（理）【原题】（本题
7、满分13分）已知椭圆:的离心率等于,抛物线:的焦点在椭圆的顶点上（1）求抛物线的方程。 （2）过的直线与抛物线交于、两点，又过、作抛物线的切线、，当时，求直线的方程。【解析】（1）已知椭圆的短半轴为，半焦距为， 由离心率等于，椭圆的上顶点，抛物线的焦点为，抛物线的方程为 （2）设直线的方程为， 切线、的斜率分别为、当时，即：由得：，解得或 即：满足 直线的方程为 【试题出处】2012届厦门市高三上期末质量检查数学模拟试题（理）【原题】（本小题满分12分）过椭圆的左焦点F作斜率为的直线交椭圆于A，B两点，使得AB的中点M在直线上。（1）求k的值；（2）设C（-2，0），求【解析】（）由椭圆方程，
8、a，b1，c1，则点F为(1，0)直线AB方程为yk(x1)，代入椭圆方程，得(2k21)x24k2x2k220设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则x0，y0k(x01)，由点M在直线x2y0上，知2k22k0，k0，k16分（）将k1代入式，得3x24x0，不妨设x1x2，则x10，x2，8分记ACF，BCF，则tan，tan，tanACBtan212分【试题出处】唐山市2012届高三上学期期末考试数学试题（文）【原题】已知曲线的方程为（）（1）讨论曲线所表示的轨迹形状；（2）若时，直线与曲线相交于两点，且，求曲线的方程【解析】（1）当时，曲线的轨迹是焦点在轴上的双曲线
9、；（1分）当时，曲线的轨迹是两条平行的直线和；（1分）当时，曲线的轨迹是焦点在轴上的椭圆；（1分）当时，曲线的轨迹是圆；（1分）当时，曲线的轨迹是焦点在轴上的椭圆（1分）（2）由，得 （2分）因为，所以方程为一元二次方程，所以直线与曲线必有两个交点（1分）设，则，为方程的两根，所以，（1分）所以，（2分）所以，解得或（2分）因此曲线的方程为或 （1分）【试题出处】上海市嘉定区2012届高三上学期第一次质量调研数学文试卷【原题】如图，焦距为2的椭圆D的两个顶点分别为和，且与共线.（）求椭圆D的标准方程；（）过点且斜率为的直线l与椭圆D有两个不同的交点P和Q ，若以PQ为直径的圆经过原点O，求实数
10、m的值.【解析】（）设椭圆E的标准方程为，由已知得，与共线，又（3分） ， 椭圆E的标准方程为（5分）（）设,把直线方程代入椭圆方程，消去y，得，, （7分）， （8分）以PQ为直径的圆经过原点O ，即（9分）又由得，（11分）（12分）【试题出处】吉林市普通中学20112012学年度高中毕业班上学期期末教学质量检测数学 【原题】（本题满分13分）已知椭圆的离心率为，且过点，为其右焦点（）求椭圆的方程；（）设过点的直线与椭圆相交于、两点（点在两点之间），若与的面积相等，试求直线的方程.【解析】（）因为，所以，1分设椭圆方程为，又点在椭圆上,所以，解得，3分所以椭圆方程为4分（）易知直线的斜率存
11、在, 设的方程为，5分由消去整理，得，6分由题意知，解得.7分设，则， ， . .因为与的面积相等，所以，所以. 10分由消去得. 将代入得. 将代入，整理化简得，解得经检验成立.所以直线的方程为.13分【试题出处】北京市朝阳区2011-2012学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（文史类）【原题】已知椭圆的中心在原点，左焦点为，离心率为设直线与椭圆有且只有一个公共点，记点在第一象限时直线与轴、轴的交点分别为，且向量.求：（I）椭圆的方程；（II）的最小值及此时直线的方程【解析】()由题意可知，所以，于是，由于焦点在轴上，故C椭圆的方程为5分（）设直线的方程为：，消去得：7分直线与曲线有
12、且只有一个公共点，即 9分11分将式代入得：当且仅当时，等号成立，故，此时直线方程为：.14分【试题出处】昌平区20112012学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷（文科）【原题】（本小题共13分）已知椭圆的右焦点为，为椭圆的上顶点，为坐标原点，且是等腰直角三角形（）求椭圆的方程；（）是否存在直线交椭圆于，两点， 且使点为的垂心（垂心：三角形三边高线的交点）？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由【解析】（）由是等腰直角三角形得，故椭圆方程为5分（）假设存在直线交椭圆于，两点，且为的垂心，设，因为，故7分于是设直线的方程为，由得解得或12分经检验，当时，不存在，故舍去当时，所求直线存
13、在，且直线的方程为13分【试题出处】北京市东城区2011-2012学年度高三数第一学期期末教学统一检测数学（理科）【原题】（本小题满分13分）已知椭圆:的右焦点为，离心率为.（）求椭圆的方程及左顶点的坐标；（）设过点的直线交椭圆于两点，若的面积为，求直线的方程.【解析】（）由题意可知：，所以.所以 . 所以 椭圆的标准方程为，左顶点的坐标是.4分（）根据题意可设直线的方程为，.由可得：.所以 ，.7分所以 的面积9分.10分因为的面积为，所以.令，则.解得（舍），.所以. 所以直线的方程为或.13分【试题出处】北京市海淀区2012届高三年级第一学期期末数学试题(文)【原题】（本小题满分13分）
14、如图，轴，点M在DP的延长线上，且当点P在圆上运动时。（I）求点M的轨迹C的方程；（）过点的切线交曲线C于A，B两点，求AOB面积S的最大值和相应的点T的坐标。【解析】设点的坐标为，点的坐标为，则，所以， 因为在圆上所以将代入，得点的轨迹方程C的方程为 （5分）（）由题意知，当时，切线的方程为，点A、B的坐标分别为此时，当时，同理可得； 当时，设切线的方程为由得设A、B两点的坐标分别为，则由得：又由l与圆相切，得即 所以因为且当时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为2依题意，圆心到直线AB的距离为圆的半径，所以面积，当且仅当时，面积S的最大值为1，相应的的坐标为或者13分【试题出处】湖北省武
15、昌区2012届高三年级元月调研测试数学试题（文）【原题】（本题满分14分） 已知椭圆的离心率为，直线过点，且与椭圆相切于点.（）求椭圆的方程；（）是否存在过点的直线与椭圆相交于不同的两点、，使得?若存在，试求出直线的方程；若不存在,请说明理由.【解析】（）由题得过两点，直线的方程为. 1分 因为，所以，. 设椭圆方程为,由消去得，.又因为直线与椭圆相切,所以又直线与椭圆相切，由解得，所以10分则. 所以.又 所以，解得.经检验成立. 13分所以直线的方程为. 14分【试题出处】北京市朝阳区2011-2012学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（理工类）【原题】(本题12分)如图，ADB为
16、半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且ODAB，Q为线段OD的中点，已知|AB|=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变。(I)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；(II)过点B的直线与曲线C交于M、N.两点，与OD所在直线交于E点，证明：为定值.【解析】（）以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴， O为原点，建立平面直角坐标系，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变且点Q在曲线C上,|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2|AB|=4 3分曲线C是为以原点为中心，A、B为焦点的椭圆设其长半轴为a,短半轴为b,半焦距为c,则2a=2,a=,c
17、=2,b=1 4分曲线C的方程为+y2=15分【法1】（）：设点的坐标分别为，易知点的坐标为且点B在椭圆C内,故过点B的直线l必与椭圆C相交 ， ， 7分 将M点坐标代入到椭圆方程中得：，去分母整理，得 9分同理，由可得： 10分 ，是方程的两个根11分 12分【法2】（）：设点的坐标分别为，易知点的坐标为且点B在椭圆C内,故过点B的直线l必与椭圆C相交显然直线 的斜率存在，设直线 的斜率为 ，则直线 的方程是 6分将直线 的方程代入到椭圆 的方程中，消去 并整理得 ， 8分 又 ， 则，同理，由，10分 12分【试题出处】2012年北海市高中毕业班第一次质量检测数学【原题】已知椭圆C的中心在
18、原点，对称轴为坐标轴，且过()求椭圆C的方程，()直线交椭圆C与A、B两点，求证：【解析】设椭圆C 的方程为由椭圆C过点得：解得椭圆C的方程为（）设，由消去y整理得，由韦达定理得，则由两边平方整理可得只需证明， 而故恒成立【试题出处】山东省德州市2012届高三上学期期末考试数学试题（理科）【原题】（本小题共13分）已知椭圆的左、右焦点分别为， 点是椭圆的一个顶点，是等腰直角三角形（）求椭圆的方程；（）过点分别作直线，交椭圆于，两点，设两直线的斜率分别为， ，且，证明：直线过定点（）【解析】（）由已知可得 ，所求椭圆方程为5分（）若直线的斜率存在，设方程为，依题意设，由 得 7分则由已知，所以，
19、即10分所以，整理得 故直线的方程为，即（）所以直线过定点（）12分若直线的斜率不存在，设方程为，设，由已知，得此时方程为，显然过点（）综上，直线过定点（）13分【试题出处】北京市东城区2012届高三上学期期末考试文科数学【原题】（本小题满分13分）已知椭圆的离心率为，两焦点之间的距离为4。 （I）求椭圆的标准方程；（II）过椭圆的右顶点作直线交抛物线于A、B两点，（1）求证：OAOB；（2）设OA、OB分别与椭圆相交于点D、E，过原点O作直线DE的垂线OM，垂足为M，证明|OM|为定值。【解析】（）由得，故所以，所求椭圆的标准方程为4分（2）设、，直线的方程为，代入，得于是从而，代入，整理得
20、原点到直线的距离为定值（13分）【试题出处】湖北省武昌区2012届高三年级元月调研测试数学（理）试题【原题】（本小题满分14分）已知椭圆的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为.（）求椭圆的方程；（）已知动直线与椭圆相交于、两点.若线段中点的横坐标为，求斜率的值；已知点，求证：为定值.【解析】（）因为满足， 2分。解得，则椭圆方程为4分（）（1）将代入中得6分，7分因为中点的横坐标为，所以，解得9分（2）由（1）知，所以 11分12分14分【试题出处】山东省青岛市2012届高三期末检测数学 (文科)【解析】（1）由已知，（，），设由，得，故点的坐标为，（3分）将点的坐标代入
21、，化简得，（3分）（2）解法一：设，则，所以（1分）又，所以，（3分）记，则在上是减函数，在上是增函数所以，当时，取最小值，当时，取最大值所以面积的取值范围是（2分）解法二：因为，（，），所以，（4分）记，则在上是减函数，在上是增函数所以，当时，取最小值，当时，取最大值所以面积的取值范围是（2分）【试题出处】2011学年嘉定区高三年级第一次质量调研数学试卷（理）【原题】如图，过抛物线上一点P（1，-2）作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线交于点（）求的值；（）若，求面积的最大值。【解析】因为，在抛物线上，所以， ，同理，依题有，因为，所以4分由知，设的方程为，到的距离为，所以=，8分令，由，可
22、知，因为为偶函数，只考虑的情况，记，故在是单调增函数，故的最大值为，故的最大值为610分【试题出处】江苏省苏北四市（徐、连、宿、淮）2012届高三元月调研测试（数学）【原题】（本小题满分13分）已知椭圆的一个焦点是，且离心率为.（）求椭圆的方程；（）设经过点的直线交椭圆于两点，线段的垂直平分线交轴于点，求的取值范围.【解析】（）：设椭圆的半焦距是.依题意，得 .1分 因为椭圆的离心率为，所以，. 3分故椭圆的方程为 . 4分（）解：当轴时，显然. 5分当与轴不垂直时，可设直线的方程为.由 消去整理得 .7分设，线段的中点为，则 .8分所以 ，.线段的垂直平分线方程为.在上述方程中令，得10分当
23、时，；当时，.所以或12分综上，的取值范围是. 13分【试题出处】北京市西城区2011 2012学年度第一学期期末试卷高三数学【原题】（本小题共13分）在平面直角坐标系xOy中，为坐标原点，以为圆心的圆与直线相切（）求圆的方程；（）直线：与圆交于，两点，在圆上是否存在一点，使得四边形 为菱形，若存在，求出此时直线的斜率；若不存在，说明理由所以原点到直线：的距离为10分所以，解得，11分即，经验证满足条件12分所以存在点，使得四边形为菱形13分（方法二）记与交于点因为直线斜率为，显然，所以直线方程为7分， 解得， 所以点坐标为，9分因为点在圆上，所以，解得，11分即，经验证满足条件12分所以存在
24、点，使得四边形为菱形3分【试题出处】丰台区20112012学年度第一学期期末练习高三数学（文科）【原题】（本小题共13分）在平面直角坐标系xOy中，为坐标原点，动点与两个定点，的距离之比为（）求动点的轨迹的方程； （）若直线：与曲线交于，两点，在曲线上是否存在一点，使得，若存在，求出此时直线的斜率；若不存在，说明理由【解析】（）设点的坐标为，依题意，即 3分化简得 所以动点的轨迹的方程为5分（）因为直线：与曲线相交于，两点， 所以 ， 所以或7分假设存在点，使得8分因为，在圆上，且，由向量加法的平行四边形法则可知四边形为菱形，所以与互相垂直且平分9分所以原点到直线：的距离为10分即 ，解得，
25、，经验证满足条件12分所以存在点，使得13分【试题出处】丰台区20112012学年度第一学期期末练习高三数学（理科）【原题】（本小题满分14分）已知焦点在轴上的椭圆过点，且离心率为,为椭圆的左顶点.（）求椭圆的标准方程；（）已知过点的直线与椭圆交于，两点.（）若直线垂直于轴，求的大小;（）若直线与轴不垂直，是否存在直线使得为等腰三角形？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由.【解析】（）设椭圆的标准方程为，且.由题意可知：，.2分所以.所以，椭圆的标准方程为.3分（）由（）得.设.（）当直线垂直于轴时，直线的方程为.由 解得：或即（不妨设点在轴上方）.5分则直线的斜率，直线的斜率.因
26、为 ，所以 .所以 .6分（）当直线与轴不垂直时，由题意可设直线的方程为.由消去得：.因为 点在椭圆的内部，显然.8分因为 ，所以 .所以 . 所以 为直角三角形.11分假设存在直线使得为等腰三角形，则.取的中点，连接，则.记点为.另一方面，点的横坐标，所以 点的纵坐标. 所以 .所以 与不垂直，矛盾.所以 当直线与轴不垂直时，不存在直线使得为等腰三角形.13分【试题出处】北京市海淀区2012届高三年级第一学期期末数学试题(理)【原题】已知椭圆的焦点，过作垂直于轴的直线被椭圆所截线段长为，过作直线l与椭圆交于A、B两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若A是椭圆与y轴负半轴的交点，求的面积；（3
27、）是否存在实数使，若存在，求的值和直线的方程；若不存在，说明理由【解析】(1) 设椭圆方程为，由题意点在椭圆上，（2分）所以，解得（4分）（2）由题意，（5分）所以，（7分）（9分）（3）当直线斜率不存在时，易求，所以由得，直线的方程为（11分）当直线斜率存在时，所以，由得即（13分）因为，所以此时，直线的方程为（16分）注：由得是AB的中点或P、A、B、共线，不扣分【试题出处】上海市宝山区2012届高三上学期期末质量监测数学试题【原题】（本题满分12分）已知圆，圆，动点到圆,上点的距离的最小值相等.（1）求点的轨迹方程；（2）点的轨迹上是否存在点，使得点到点的距离减去点到点的距离的差为，如果
28、存在求出点坐标，如果不存在说明理由.【解析】（1）设动点的坐标为，圆的圆心坐标为，圆的圆心坐标为2分因为动点到圆,上的点距离最小值相等，所以, 3分即，化简得4分因此点的轨迹方程是5分（2）假设这样的点存在，因为点到点的距离减去点到点的距离的差为4，所以点在以和为焦点，实轴长为的双曲线的右支上， 即点在曲线上9分又点在直线上点的坐标是方程组的解11分消元得，方程组无解，所以点的轨迹上不存在满足条件的点13分【试题出处】2012年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学试题【原题】(本小题满分12分) 在直角坐标系中，以坐标原点为圆心的圆与直线：相切。（1）求圆的方程；（2）若圆上有两点关于直线
29、对称，且,求直线MN的方程；（3）圆与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求的取值范围。【解析】（1）依题设，圆的半径等于原点到直线的距离，即得圆的方程为3分（2）由题意，可设直线MN的方程为。则圆心到直线MN的距离5分由垂径分弦定理得：，即。所以直线MN的方程为：或7分（3）不妨设由得设，由成等比数列，得，即 9分=由于点在圆内，故由此得11分所以的取值范围为12分【试题出处】株洲市2012届高三教学质量统一检测理科数学试题【原题】（本小题满分12分）已知抛物线的焦点为F，过点F作直线与抛物线交于A，B两点，抛物线的准线与轴交于点C。（1）证明：； （
30、2）求的最大值，并求取得最大值时线段AB的长。【解析】（）由题设知，F(，0)，C(，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l方程为xmy，代入抛物线方程y22px，得y22pmyp20y1y22pm，y1y2p24分不妨设y10，y20，则tanACF，tanBCF，tanACFtanBCF，所以ACFBCF8分（）如（）所设y10，tanACF1，当且仅当y1p时取等号，此时ACF取最大值，ACB2ACF取最大值，并且A(，p)，B(，p)，|AB|2p12分【试题出处】唐山市2012届高三上学期期末考试数学试题（理）【原题】（本小题满分14分）已知圆的圆心在坐标原点,且恰好与直
31、线相切.() 求圆的标准方程；（）设点为圆上任意一点,轴于,若动点满足,(其中为常数),试求动点的轨迹方程；（）在（）的结论下，当时,得到曲线，问是否存在与垂直的一条直线与曲线交于、两点,且为钝角，请说明理由.（）时,曲线方程为，假设存在直线与直线垂直,设直线的方程为8分设直线与椭圆交点联立得:，得9分因为，解得，且10分12分因为为钝角，所以，解得满足所以存在直线满足题意14分【试题出处】山东省青岛市2012届高三期末检测数学 (理科)【原题】（本小题满分14分）已知定点A（-3,0），MN分别为x轴、y轴上的动点（M、N不重合），且,点P在直线MN上，.（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）
32、设点Q是曲线上任一点，试探究在轨迹C上是否存在点T？使得点T到点Q的距离最小，若存在，求出该最小距离和点T的坐标，若不存在，说明理由【解析】（1）设点M、N的坐标分别为，（）点P的坐标为，则，由得，-（）-2分由得 -3分代入（）得-5分动点P的轨迹C的方程为（）-6分（2）曲线即，是以B（4,0）为圆心，以1为半径的圆,设 T为轨迹C上任意一点，连结TB, 则-8分当最小时，最小.-9分点T在轨迹C上，设点（）-11分当，即时，有最小值，-12分当时，在轨迹C上是存在点T，其坐标为，使得最小，.-14分【试题出处】广东省揭阳市20112012学年度高三学业水平考试数学理试题数学试题(理科)【
33、原题】在ABC中，顶点A，B，动点D，E满足：；，共线. （）求ABC顶点C的轨迹方程；（）是否存在圆心在原点的圆，只要该圆的切线与顶点C的轨迹有两个不同交点M，N，就一定有，若存在，求该圆的方程；若不存在，请说明理由.【解析】：(I)设C（x,y）,由得，动点的坐标为；由得，动点E在y轴上，再结合与共线，得，动点E的坐标为;2分由的，整理得，.因为的三个顶点不共线，所以，故顶点C的轨迹方程为.5分(II)假设存在这样的圆，其方程为，当直线MN的斜率存在时，设其方程为，代入椭圆的方程，得，设M，N，则，所以 (*)7分由，得0，即，将式子(*)代入上式，得.9分又直线MN：与圆相切知：.所以，
34、即存在圆满足题意；当直线MN的斜率不存在时，可得，满足.综上所述：存在圆满足题意. 12分【试题出处】郑州2012高三第一次质量预测（数学理）【原题】(本小题满分16分) 如图,在平面直角坐标系中,已知点为椭圆的右顶点, 点,点在椭圆上, (1)求直线的方程；(2)求直线被过三点的圆截得的弦长；(3)是否存在分别以为弦的两个相外切的等圆?若存在,求出这两个圆的方程；若不存在,请说明理由.【解析】(1)因为,且A(3,0),所以=2,而B,P关于y轴对称,所以点P的横坐标为1,从而得3分 所以直线BD的方程为5分(2)线段BP的垂直平分线方程为x=0,线段AP的垂直平分线方程为,所以圆C的圆心为
35、(0,1),且圆C的半径为8分又圆心(0,1)到直线BD的距离为,所以直线被圆截得的弦长为10分(3)假设存在这样的两个圆M与圆N,其中PB是圆M的弦,PA是圆N的弦,则点M一定在y轴上,点N一定在线段PC的垂直平分线上,当圆和圆是两个相外切的等圆时,一定有P,M,N在一条直线上,且PM=PN12分设,则,根据在直线上,解得14分所以,故存在这样的两个圆,且方程分别为,16分【试题出处】南京市、盐城市2012届高三年级第一次模拟考试数学试题【原题】（本题满分15分）长为3的线段的两个端点分别在轴上移动，点在直线上且满足（I）求点的轨迹的方程；（II）记点轨迹为曲线，过点任作直线交曲线于两点，过
36、作斜率为的直线交曲线于另一点求证：直线与直线的交点为定点（为坐标原点），并求出该定点【解析】（I）设由得即又由得即为点的轨迹方程5分（II）当的斜率不存在时，直线与曲线相切，不合题意；当斜率存在时，设直线的方程为，即联列方程得设，则7分则的方程为与曲线C的方程联列得则所以 9分直线的方程为令，则11分从而即直线与直线交于定点15分【试题出处】浙江省宁波市2012届高三第一学期期末考试数学（理）试卷【原题】（本题满分15分）已知抛物线的焦点为，抛物线上一点的横坐标为，过点作抛物线的切线交轴于点，交轴于点，交直线于点，当时，（）求证：为等腰三角形，并求抛物线的方程；（）若位于轴左侧的抛物线上，过点
37、作抛物线的切线交直线于点，交直线于点，求面积的最小值，并求取到最小值时的值（II）设，则处的切线方程为由，同理，所以面积 设的方程为，则由，得代入得：，使面积最小，则得到 令，得，所以当时单调递减；当单调递增，所以当时，取到最小值为，此时，所以，即 15分椭圆的右焦点（1，0）2分 即 4分抛物线方程为5分（2）设直线AB: 联立，消得，7分设，则 9分由=11分13分当时，有最小值-2. 15分【试题出处】温州市十校联合体2011学年第一学期高三期末联考数学（文科）试题卷【原题】（本小题满分15分）已知焦点在x轴的椭圆C的离心率为，椭圆上的点与焦点的最大距离为8。（）求椭圆的标准方程；（）过
38、其右焦点作与轴不垂直的任意直线交椭圆C于两点， 线段的垂直平分线交轴于点，求的值 。（3）类似的有：“若曲线为，则为”， 根据以上两结论试猜测，对任意的椭圆或双曲线，此为什么（无需证明）。的垂直平分线的方程为：令，解得即所以。7分又= 故 。12分 (3) 。15分【试题出处】温州市十校联合体2011学年第一学期高三期末联考数学试卷（理科）【方 法 总 结】圆锥曲线方程这章扩展开的内容比较多，比较繁杂，对学生来说不一定要把所有的结论一一记住，关键是掌握圆锥曲线的概念实质以及直线和圆锥曲线的关系.因此，在复习过程中要注意下述几个问题：（1）在解答有关圆锥曲线问题时，首先要考虑圆锥曲线焦点的位置，
39、对于抛物线还应同时注意开口方向，这是减少或避免错误的一个关键，同时勿忘用定义解题.（2）在考查直线和圆锥曲线的位置关系或两圆锥曲线的位置关系时，可以利用方程组消元后得到二次方程，用判别式进行判.但对直线与抛物线的对称轴平行时，直线与双曲线的渐近线平行时，不能使用判别式，为避免繁琐运算并准确判断特殊情况，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.画出方程所表示的曲线，通过图形求解.当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条
40、件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.（3）求圆锥曲线方程通常使用待定系数法，若能据条件发现符合圆锥曲线定义时，则用定义求圆锥曲线方程非常简捷.在处理与圆锥曲线的焦点、准线有关问题，也可反用圆锥曲线定义简化运算或证明过程. 一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤.定形指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置；定式根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2+ny2=1(m0,n0)；定量由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小.（4）在解与焦点三角形（椭圆、双曲线上任一点与两焦点构成的三角形称为焦点三角形）有关的命题时，一般需使用正余弦定理、和分比定理及圆锥曲线定义.（5）要熟练掌握一元二次方程根的判别式和韦达定理在求弦长、中点弦、定比分点弦、弦对定点张直角等方面的应用.（6）求动点轨迹方程是解析几何的重点内容之一，它是各种知识的综合运用，具有较大的灵活性，求动点轨迹方程的实质是将“曲线”化成“方程”，将“形”化成“数”，使我们通过对方程的研究来认识曲线的性质. 求动点轨迹方程的常用方法有：直接法、定义法、几何法、代入转移法、参数法、交轨法等.解题时，注意求轨迹的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围.
