1、21230.yxyzRxyzxz已知,的最小值为_.2223230296664433xzxyzyyxzxzxzxzxzxzxzxz由得,代入得,当且仅当时解析:取等号2.(2010山东卷)若对任意x0,a恒成立,则a的取值范围是.132 xxx解析:因为x0,所以 x+2(当且仅当x=1时取等号),所以有,即的最大值为,故a.1x21111235313xxxxx1515231xxx 3.(20112.)xOyf xPQxPQ在平面直角坐标系中,过坐标原点的一条直线与函江苏数的图象交于、两点,则线段长的最小值是_卷2222(4)()42.xxxxPQxx 设交点为,则解,析:4.(2011)14
2、002.ababyab已知 ,则的最小值是_重庆_卷141 14()214 5()2224“”43392abababbaabababbaab由题意有解析:,当且仅当,即,时取225.(2011)412.xyxyxyxy设,为实数,若,则的最大值是_浙江_ 卷2222241231322 21()12282.55102xyxyxyxyxyxyxxyy 因为,所以,解析:的最大值是所以,即例1:(1)已知x,求函数y=4x-2+的最大值;(2)已知x0,y0,且+=1,求x+y的最小值;(3)求y=的最小值54145x 1x9y2)3(222xx分析:创造应用基本不等式的条件,合理拆添项或配凑因式是
3、常用的解题技巧,而拆与凑的前提在于使等号成立的条件;求条件极值的问题,基本思想是借助条件化二元函数为一元函数,代入法是最基本的方法,代换过程中要密切注意字母隐含的取值范围;函数y=bx+(a0,b0,为常数)的单调性与极值(或值域)要了解,并能在解题时灵活运用,特别是当问题不能满足均值不等式的条件之一“取等”时ax解析:(1)因为x,所以5-4x0,所以当且仅当5-4x=,即x=1时,上式等号成立,故当x=1时,ymax=1.54x451142451 (54)3231,54yxxxx (2)因为x0,y0,+=1,所以x+y=(x+y)(+)=+106+10=16.当且仅当=时,上式等号成立,
4、又+=1,所以x=4,y=12时,(x+y)min=16.1xy9yx9xy1xy9yx9xy1xy9(3)=此时,不能使用基本不等式,等号取不到利用“对勾”函数的单调性解决,即当x=0时,得其最小值为.22222(3)(2)1222xxyxx2212(2)2xx3 2【点评】(1)用基本不等式求函数的最值时,关键在于将函数变形为两项和或积,然后这两项的积或和或平方和为定值,然后用基本不等式求出最值;(2)在条件最值中,一种方法是消元转化为函数最值,另一种方法是将要求最值的表达式变形,然后用基本不等式使要求最值的表达式放缩为一个定值;(3)不管哪种题,哪种方法,求最值时要验证等号是否成立 变式
5、1.(1)若-4x1,则的最大值为_;(2)若 a,b,c0,且 a2+ab+ac+bc=4,则2a+b+c的最小值为_(3)已知0 x,则f(x)=sinx+的最小值为_22222xxx22sinx解析:(1)=(x-1)+=-(x-1)+因为-4x1,所以-(x-1)0,0.从而-(x-1)+2,22222xxx1211)1(2xx11x 11x 121211x 11x 所以-(x-1)+-1,当且仅当-(x-1)=,即x=2(舍)或x=0时取等号即()max=-1.22222xxx11x 11x 12(2)由a2+ab+ac+bc=4,分解因式得(a+b)(a+c)=4,所以2a+b+c
6、=(a+b)+(a+c)2=2=4.(3)因为0 x,则00,b0,所以1=a+b2,当且仅当a=b=时等号成立,即0ab.设ab=t,则t(0,141412令f(t)=t+,则问题等价于当t(0,时,求f(t)的最小值因为f(t)=1-0,b0,所以1=a+b2(当且仅当a=b=时等号成立),所以0ab,所以0anbn(nN*)221ba331ban41ab14n4112nnba111616164 64设anbn=t,则t(0,令f(t)=t+.问题等价于当t(0,时,求f(t)的最小值因为f(t)=1-0,即函数y=+6x+504在15,+)上是增函数所以当x=15时,y取最小值,最小值为
7、+615+504=634(元)1x600 xyy2600 x600 x60015变式3.甲、乙两地相距s千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不超过c千米/小时,已知汽车每小时的运输成本(单位:元)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度v(千米/小时)的平方成正比,比例系数为b;固定部分为a元(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/小时)的函数,并指出这个函数的定义域;(2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?解析:(1)建模:依题意知,汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为,全程运输成本为y=(a+bv2)=sb(v+),v(0,csvabv(2)依题意,有s,b,a,v都是正
8、数因此y=sb(v+)2s ;若c,则当且仅当v=v=时,y取到最小值若c,则y在(0,c上单调递减,所以当v=c时,y取到最小值综上所述,为了使全程运输成本最小,当c时,行驶速度应该为v=;当c时,行驶速度应该为v=c.abvabababvababababab1基本不等式成立的条件是“一正、二定、三相等”,“一正”是指各项均为正数;“二定”就是若积为定值则和有最小值,若和为定值则积有最大值;“三相等”就是必须验证等号成立的条件,这也是最容易出错的地方若等号不在给定的区间内,通常利用函数的单调性求最值2.整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础,利用不等式的性质及函数的单调性
9、,将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的基本思想,分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关,要善于把它们有机地联系起来,相互转化和相互变用3在不等式的证明过程中,常根据不等号的方向,结合基本不等式进行适度的放缩,以期得到需要证明的不等式222211()(1.(204)_1_1)xyxyyx设湖南,则的最小值为卷R222222222222111()(4)5424291xyx yyxx yx yxyx y因为解析,当且仅当,即时,取“:”2201121025_2.(2010_)abcaaccaba ab 设,则四川卷的最小值是222221121025115115022.5011222254aaccaba abacaabababa abacaba ababa abacaba ababc 当且仅当,时等号成立解析:如取,满足条件本题的关键在于对式子进行巧妙地组合、分拆,为基本不等式的使用积极创造出“定”的条件,多次使用基本不等式时要注意多个等号成立的条件是否一致.