1、1.2 排列与组合1.2.1 排 列第1课时 排列与排列数公式目标定位重点难点1.理解排列的意义2能通过计数原理推导排列数公式.重点：排列的概念及排列数公式难点：对排列要完成的“一件事”“一定顺序”的理解.1排列的定义一般地，从n个不同元素中取出m(mn)个元素，按照_，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列两个排列相同，当且仅当两个排列的元素_且元素的_相同一定的顺序排成一列完全相同 排列顺序2排列数的定义从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的_ _，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用符号 Amn表示3排列数公式(1)乘积形式：Amn_(n，mN*且 mn)(2)
2、阶乘形式：Amnn！nm！(n，mN*且 mn)(3)性质：Annn！，规定 A0n_，0！1.所有不同排列的个数n(n1)(n2)(nm1)11甲、乙、丙三人站成一排的站法共有()A6种B3种C9种D12种【答案】A2A46()A120B180C360D720【答案】C4(2015年广东)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了_条毕业留言(用数字作答)【答案】1 5603.如果 Amn 151413121110，那么 n ，m .【答案】15 6【例1】判断下列问题是否是排列问题(1)从1,2,3,5中任取两个不同的数相除可得多少种不同的结果？(2)有1
3、2个车站，共需准备多少种客票？(3)从学号为1到10的十名同学中任选两名同学去学校开座谈会，有多少种选法？(4)平面上有5个点，其中任意三点不共线，这5点最多可确定多少条直线，多少条线段，多少条射线？(5)由数字1,2,3,4,5可组成多少个不同的4位数字的密码？排列的概念【解题探究】根据定义从两个方面判断：一、取出的元素是否可重复；二、取出元素是否有顺序【解析】(1)(2)满足排列的定义是排列问题；(3)与顺序无关，不是排列问题；(4)中由于确定直线、线段时与两点顺序无关，所以不是排列问题；而确定射线与两点顺序有关，所以确定射线是排列问题；(5)由于取出的元素可以重复，所以不是排列问题8确定
4、一个具体问题是否为排列问题，一般从两个方面确认：首先要保证元素的无重复性，否则不是排列问题其次要保证选出的元素的有序性，否则不是排列问题，而验证它是否有顺序的标准是变换某一个结果中两个元素的位置，看结果是否变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序1.判断下列问题是否是排列问题.(1)从 1 到 10 十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？(2)从 10 名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方法？(3)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买物品后再从另一个门出来，不同的出入方式共有多少种？【解析】(1)由于取出的两数组成点的坐标与哪一个数
5、作横坐标，哪一个数作纵坐标的顺序有关，所以这是一个排列问题.(2)因为从 10 名同学中抽取两人去学校开座谈会的方式不用考虑两人的顺序，所以这不是排列问题.(3)因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以是排列问题.【例2】(1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？(2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列【解题探究】列出树形图即可求解列举法解决排列问题【解析】(1)由题意作树形图，如图故所有两位数为 12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，共有12 个(2)由题意作树形图，如图故所有的排列为 abc，abd，
6、acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb，共有 24 个8排列个数不多的情况下，树形图是一种比较有效的表示方式.在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，在每一类中再按余下的元素在前面元素不变的情况下确定第二个元素，再按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能不重不漏，然后按树形图写出排列.2将A，B，C，D四名同学按一定顺序排成一行，要求自左向右且A不排在第一，B不排在第二，C不排在第三，D不排在第四，试用树形图列出所有可能
7、的排法【解析】树形图如图由 树 形 图 知，所 有 排 法 为 BADC，BCDA，BDAC，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA排列数公式的应用【例 3】求解下列问题：(1)计算2A587A48A88A59；(2)解方程：A42x1140A3x.【解题探究】(1)直接利用排列数公式进行计算；(2)利用排列数公式将方程转化为关于 x 的代数方程即可求解，进而求方程的正整数解【解析】(1)2A587A48A88A59 28765478765876543219876587658787652491.(2)根据原方程，x 应满足2x14，x3，xN*，解得 x3，xN*.根据排列
8、数公式，原方程化为(2x1)2x(2x1)(2x2)140 x(x1)(x2)因为 x3，两边同除以 4x(x1)，得(2x1)(2x1)35(x2)，即 4x235x690，解得 x3 或 x234(因为 x 为整数，所以应舍去)，所以原方程的解为 x3.计算排列数 Amn 或解含有选取元素是具体数的排列数的方程与不等式时，一般用排列数公式的乘积形式，要注意 m，nN*且 mn.3解不等式：Ax28 6Ax8.【解析】原不等式等价于8！8x2！68！8x！，x28 且 xN*，整理得x215x500，x6且xN*，则 5x6，所以 x6.【例4】(1)有5个不同的科研小课题，从中选3个由高二
9、(3)班的3个学习兴趣小组进行研究，每组一个课题，共有多少种不同的安排方法？(2)有5个不同的科研课题，高二(3)班的3个学习兴趣小组报名参加，每组限报一项，共有多少种不同的报名方法？【解题探究】由题给条件分析是否为排列问题，由具体情况进行解答排列的简单应用【解析】(1)从 5 个课题中选出 3 个，由兴趣小组进行研究，对应于从 5 个元素中取出 3 个元素的一个排列因此不同的安排方法有 A3554360(种)(2)3 个兴趣小组可能报同一科研课题，因此元素可以重复，不是排列问题，共有 555125(种)不同的报名方法8解决此问题的方法是把问题转换成为排列问题，弄清这里的n个不同元素指的是什么
10、，以及从n个不同元素中任取m个元素的每一种排列对应的是什么事情，即把要计的数转化为一个排列问题，直接利用排列数公式计算4用一颗骰子连掷三次，投掷出的数字顺次排成一个三位数，此时：(1)各位数字互不相同的三位数有多少个？(2)可以排出多少个不同的数？(3)恰好有两个相同数字的三位数共有多少个？【解析】(1)A36120(个)(2)每掷一次，出现的数字均有 6 种可能性，故有 666216(个)(3)两个数字相同有三种可能性，即第一、二位，第二、三位，第三、一位相同，而每种情况有 65 种，故有 36590(个)【示例】10个人走进只有6把不同椅子的屋子，若每把椅子必须且只能坐一人，共有多少种不同
11、的坐法？错解：10个人坐6把不同的椅子，相当于从含10个元素的集合到含6个元素的集合的映射，故有610种不同的坐法错因分析：没弄清题意，题中要求每把椅子必须并且只能坐一人，已不符合映射模型了，本题事实上是一个排列问题对排列概念理解不清致错警示：判断是否为排列问题的关键是选出的元素在被安排时，是否与顺序有关，若与顺序有关，就是排列问题，否则就不是排列问题正解：坐在椅子上的 6 个人是走进屋子的 10 个人中的任意6 个人，若把人抽象地看成元素，将 6 把不同的椅子当成不同的位置，则原问题抽象为从 10 个元素中取 6 个元素占据 6 个不同的位置显然是从 10 个元素中任取 6 个元素的排列问题
12、从而，共有 A610151 200 种坐法1排列的定义(1)排列的定义包含两个基本内容：一是“取出元素”；二是“按照一定顺序”“一定顺序”表示与位置有密切关系，这里的位置应该视具体问题的性质和条件来决定(2)排列定义中指出的是一个排列，只有当元素完全相同且元素顺序也完全相同时，才是相同的一个排列元素不完全相同或元素完全相同而排列顺序不完全相同的排列，都不是同一个排列(3)在排列定义中，如果mn不成立(2)排列数与排列是不同的概念：一个排列是具体的一件事；排列数是所有排列的个数，它是一个数(3)排列数公式的推导过程采用不完全归纳法，不是严格的证明，要严格证明排列数公式，可用数学归纳法证明，这个证
13、明不作要求(4)公式右边的第一个因数是n，后面的每一个因数都比它前面的因数小1，最后一个因数是nm1，共有m个因数相乘1.(2019年西安期末)1817161211等于()A.A188B.A189C.A1810D.A1811【答案】A【解析】1817161211表示连续8个正整数的乘积，其中最大的是18，所以1817161211=A188.故选A.【答案】A2.(2019 年六安模拟)A85+A84A96-A95=()A.527B.2554C.310D.320【解析】A85+A84A96-A95=87654+8765987654-98765=4+194-9=527.故选 A.3若从6名学生中选出3名分别担任大队长、中队长和小队长，则不同的安排方法有()A60种B120种C240种D360种【答案】B【解析】问题的实质是从 6 个元素中选出 3 个元素的排列问题，所以有 A36120(种)4.(2019 年三明期中)把 4 名新生分到 1，2，3，4 四个班，每个班分配 1 名且新生甲必须分配到 1 班，则不同的分配方法有()A.24 种B.12 种C.6 种D.3 种【答案】C【解析】新生甲必须分配到 1 班，则把其余 3 名新生分到 2，3，4 三个班即可，不同的分配方法有 A33=6 种.
