1、第6章 图形的相似 6.4 探索三角形相似的条件 九年级数学下册苏科版 12CONTENTS 1情境导入你知道杂技演员脚上的碗为什么不掉下来?CONTENTS 2三角形相似的判定问题1 如何识别两个三角形是否相似?各角对应相等,各边对应成比例的两个三角形相似.(2)平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.(1)定义:两角分别相等的两个三角形相似.(3)三角形相似的判定定理:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.三边成比例的两个三角形相似.例如图,在ABC中,AB=AC,点D在BC上,AD的延长线交ABC的外接圆于点E.ABE与CDE相似吗?为什么?
2、三角形相似的判定ODABEC解:ABE和CDE相似.AB=AC,AB=AC,AEB=AEC.在ABE和CDE中,AEB=DEC,BAE=DCE,ABECDE(两角分别相等的两个三角形相似).判定两个三角形相似基本思路:(1)若已知一对等角,则可找另一对等角,或说明夹已知等角的两边成比例.(2)若已知两边成比例,则可说明其夹角相等,或说明第三边也成比例.(3)若出现平行线,则利用“平行于三角形一边 的直线与其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似”来判定.三角形相似的判定三角形相似的判定ODABEC解:CDEBDC.理由如下:D是AC的中点,ACD=DBC.又EDC=CBD,
3、CDEBDC.练一练:如图,ABC是O的内接三角形,D是AC的中点,BD交AC于点E.CDE与BDC相似吗?为什么?三角形的重心CBAFGE问题2 我们知道三角形的三条中线相交于一点,那么如何证明呢?如右图,ABC的中线BE、CF相交于点G,连接EF,可得FE/BC,FE=BC,因此GEFGBC,可得12.GEGB 12三角形的重心问题2 我们知道三角形的三条中线相交于一点,那么如何证明呢?CBAEDFG如右图,AD是ABC的另一条中线,设AD与BE相交于点G,连接DE,同样可得GDEGAB,于是,点G与点G重合,三角形的三条中线相交于一点.GEGB 12三角形的重心 定 义:三角形的三条中线
4、的交点叫做三角形的重心 三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点距离的两倍 CBADFEG:AGBGCGGDGFGEGD AG AD 211 2 3G是ABC的重心 DPABC解:APCPBD.理由如下:在PCD中,PC=PD=CD,PCD=PDC=CPD=60,ACP=PDB=120PCD=60,A+APC=60.又CPD=60,APB=120,APC+DPB=60,A=DPB.在APC和PBD中,ACP=PDB,A=DPB,APCPBD.练一练:如图,在PAB中,点C、D在AB上,PC=PD=CD,2 APB=120.APC与PBD相似吗?为什么?三角形的重心CONTENTS 31.满足下
5、列条件的两个三角形是否相似?为什么?(1)ABC的两个角分别是60、80,ABC的两个角分别是80、40;(2)ABC的两边长分别为8 cm、12 cm、15 cm、10 cm,夹角为60;(3)ABC的三边长分别为4 cm、6 cm、8 cm,ABC的三边长分别为夹角为60,ABC的三边长分别为24 cm、18 cm、12 cm.解:(1)相似.因为ABC的两个角分别是60、80,所以它的另一个角是40,和ABC的两个角分别相等,所以相似.(2)相似.因为,且它们的夹角都是60,所以相似.(3)相似.因为,所以相似.81210154681218242.如图,在ABC中,AD,BE交于点G,点
6、G为ABC的重心,若AD=6,GE=3,则AG=,BE=.49CBAGDE【解析】如图,连接DE,由G为重心,可知DE为中位线,则DE AB,且,易得DEGABG,可得,则,BE=3GE=9.,EGBG DGAG1122DEAB 12AGAD243CONTENTS 4三角形相似的判定 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似 定 义 各角对应相等,各边对应成比例的两个三角形相似.定 理 两角分别相等的两个三角形相似.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.三边成比例的两个三角形相似.三角形的重心 三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心.三角形相似的判定及三角形的重心 三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点距离的两倍