1、第二课时 组合的应用授课提示：对应学生用书第 14 页自主梳理组合应用题解决组合应用题的基本思想是“化归”，即由实际问题来建立组合模型，再由组合数公式来计算其结果，从而得出实际问题的解(1)建立组合模型的第一步是分析该实际问题有无顺序，有顺序便不是组合问题(2)解组合应用题的基本方法仍然是“直接法”或“间接法”双基自测1某小组共有 10 名学生，其中女生 3 名，现选举 2 名代表，至少有 1 名女生当选的不同选法有()A27 种 B48 种C21 种D24 种24 位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则是：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得 100 分，答错得100 分；选乙
2、题答对得 90 分，答错得90 分若 4位同学的总分为 0，则 4 位同学不同得分情况的种数是()A48B36C24D18310 个人分成甲、乙两组，甲组 4 人，乙组 6 人，则不同的分组种数为_(用数字作答)4袋中有 4 个不同的红球、3 个不同的黄球，从中选 3 个球，则至少有一个红球的不同选法有_种双基自测1D 解法一(直接法)分类解决显然满足题意的选法有两类，一类是 1 名女生，1 名男生，有 C13C17种选法；另一类是 2 名女生，有 C23种选法所以至少有 1 名女生当选的选法有 C13C17C2324(种)故选 D.解法二(间接法)先不考虑限制条件，10 名学生选 2 名代表
3、，有 C210种选法，再去掉不满足条件的，即 2 名代表全是男生，有 C27种选法，所以符合条件的选法有 C210C2724(种)，故选 D.2B 分三种情况：都选甲题，必须 2 人答对，2 人答错：C24C226；都选乙题，必须 2 人答对，2 人答错：C24C226；甲乙两题都选，必须 2 人选甲题且 1 人答对，1 人答错，另 2 人选乙题，1 人答对，1人答错：C242224，故共有 662436(种)3210 从 10 个人中选 4 人作为甲组，剩下的 6 人为乙组，共有 C410210 种分组方法434 C37C3334(种)授课提示：对应学生用书第 15 页探究一 无限制条件的组
4、合问题 例1 某人决定投资于8种股票和4种债券，经纪人向他推荐了12种股票和 7种债券问：此人有多少种不同的投资方式？解析 需分两步：第一步，根据经纪人的推荐在 12 种股票中选 8 种，共有 C812种选法；第二步，根据经纪人的推荐在 7 种债券中选 4 种，共有 C47种选法根据分步乘法计数原理，此人有 C812C4717 325 种不同的投资方式解简单的组合应用题时，要先判断它是不是组合问题，取出元素只是组成一组，与顺序无关则是组合问题；取出元素排成一列，与顺序有关则是排列问题只有当该问题能构成组合模型时，才能运用组合数公式求出其种数在解题时还应注意两个计数原理的运用，在分类和分步时，注
5、意有无重复或遗漏 1两个 a，三个 b，四个 c 共九个字母排成一排，共有多少种排法？解析：第一步：从 9 个位子取 2 个排 a，有 C29种取法第二步：从余下 7 个位子取 3 个排 b，有 C37种取法第三步：余下 4 个位子排 c，有 C44种取法共有 C29C37C441 260 种排法探究二 与几何图形有关的组合问题 例 2 已知平面 M 内有 4 个点，平面 N 内有 5 个点，问这九个点最多能确定(1)多少个平面？(2)多少个四面体？解析(1)可分三类：第一类：平面 M 中取一点，N 中取两点最多可确定 C14C25个；第二类：平面 M 中取两点，N 中取一点最多可确定 C24
6、C15个；第三类：平面 M 和平面 N 共 2 个故最多可确定 C14C25C24C15272(个)(2)(直接分类法)分三类：第一类：平面 M 内取一个点，N 内取三个点，最多可确定：C14C35个；第二类：平面 M 内取两个点，N 内取两个点，最多可确定 C24C25个；第三类：平面 M 内取三个点，N 内取一个点，最多可确定 C34C15个故共有 C14C35C24C25C34C15120(个)几何中的计数问题一般为组合问题，要注意分清“对应关系”，解题时可借助图形帮助思考，并善于利用几何性质于解题之中，但要注意共点、共线、共面等特殊情况，避免多算2四面体的顶点和各棱的中点共有 10 个
7、点，在其中取 4 个不共面的点，不同的取法共有多少种？解析：如图，从 10 个点中任取 4 个点有 C410种不同的取法，其中 4 个点共面的情形可分三类：第一类：4 个点在四面体的同一个面内，有 4C46种；第二类：4 个点位于相对的棱上，即一条棱上三点与对棱的中点共面，有 6 种；第三类：从 6 条棱的中点中取 4 个点时有 3 种共面综上所述可知，不同的取法共有：C410(4C4663)141(种)探究三 有限制条件的组合问题 例 3“抗震救灾，众志成城”，在我国舟曲泥石流的救灾中，某医院从 10 名医疗专家中抽调 6 名奔赴某灾区救灾，其中这 10 名医疗专家中有 4 名是外科专家问：
8、(1)抽调的 6 名专家中恰有 2 名是外科专家的抽调方法有多少种？(2)至少有 2 名外科专家的抽调方法有多少种？(3)至多有 2 名外科专家的抽调方法有多少种？解析(1)分步：首先从 4 名外科专家中任选 2 名，有 C24种选法，再从除外科专家的 6人中选取 4 人，有 C46种选法，所以共有 C24C4690 种抽调方法(2)“至少”的含义是不低于，有两种解答方法，解法一(直接法)按选取的外科专家的人数分类：选 2 名外科专家，共有 C24C46种选法；选 3 名外科专家，共有 C34C36种选法；选 4 名外科专家，共有 C44C26种选法根据分类加法计数原理，共有 C24C46C3
9、4C36C44C26185 种抽调方法解法二(间接法)不考虑是否有外科专家，共有 C610种选法，考虑选取 1 名外科专家参加，有 C14C56种选法；没有外科专家参加，有 C66种选法所以共有 C610C14C56C66185 种抽调方法(3)“至多有 2 名”包括“没有”“有 1 名”“有 2 名”三种情况，分类解答没有外科专家参加，有 C66种选法；有 1 名外科专家参加，有 C14C56种选法；有 2 名外科专家参加，有 C24C46种选法所以共有 C66C14C56C24C46115 种抽调方法有限制条件组合问题的求解策略(1)解决有约束条件的组合问题与解决有约束条件的排列问题的方法
10、一样，都是遵循“谁特殊谁优先”的原则，在此前提下，采用分类或分步法或用间接法(2)要正确理解题中的关键词，如“至少”“至多”“含”“不含”等的确切含义，正确分类，合理分步(3)要谨防重复或遗漏，当直接法中分类较复杂时，可考虑用间接法处理，即“正难则反”的策略 3在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件次品从这 100 件产品中任意抽出 3 件(1)共有多少种不同的抽法？(2)抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种？(3)抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种？解析：(1)所求的不同抽法的种数，就是从 100 件产品中取出 3 件的组合数，所以共有 C310010
11、09998123161 700 种抽法(2)从 2 件次品中抽出 1 件次品的抽法有 C12种，从 98 件合格品中抽出 2 件合格品的抽法有C298种，因此抽出的 3 件中恰好有 1 件次品的抽法有 C12C2989 506(种)(3)解法一 从 100 件产品抽出的 3 件中至少有 1 件是次品，包括有 1 件次品和有 2 件次品两种情况在第(2)小题中已求得其中 1 件是次品的抽法有 C12C298种，因此根据分类加法计数原理，抽出的 3 件中至少有一件是次品的抽法有 C12C298C22C1989 604(种)解法二 抽出的 3 件产品中至少有 1 件是次品的抽法的种数，也就是从 10
12、0 件中抽出 3件的抽法种数减去 3 件中都是合格品的抽法的种数，即C3100C398161 700152 0969 604(种)分类讨论思想的应用 典例 从3，2，1,0,1,2,3,4 八个数字中任取 3 个不重复的数字分别作为 a、b、c的值构成二次函数 yax2bxc.试问：(1)共可组成多少个不同的二次函数？(2)在这些二次函数图像中，以 y 轴为对称轴的有多少条？经过原点且顶点在第一或第三象限的有多少条？解析 解法一 因为 yax2bxc 是二次函数，所以 a0.因此，可从3，2，1,1,2,3,4 中选取一个排在 a 的位置上，有 C17种选法b，c 的取值没有特殊要求，所以从剩
13、余的 6 个非零元素加上 0 共 7 个元素中选取两个有 C27种选法，再把它们排在 b，c 的位置上有A22种排法由分步乘法计数原理，共有 C17C27A227762 2294 个不同的二次函数解法二 利用排除法，从所有情况中去掉“0”排在 a 位置的情况C38A33C27A22876321321762 2294 个不同的二次函数(2)当对称轴为 y 轴时，b0，这样的抛物线有 A2742(条)当抛物线过原点时，c0，抛物线的顶点为 b2a，b24a.当顶点在第一象限时，有 b2a0，b24a0，故a0，b0，这样的抛物线有 A13A1412(条)；当顶点在第三象限时，有 b2a0，b24a
14、0，故a0，b0，这样的抛物线有 A2412(条)故经过原点且顶点在第一或第三象限的共有 24 条感悟提高 1.二次函数要求 a0，要优先考虑 a 的取值；也可以用排除法，结合顶点对a、b、c 的符号进行分类讨论是解决本例第(2)问的关键2实际问题数学化，文字表述代数化是解决实际背景问题的常见方法如果一个三位正整数形如“a1a2a3”，满足 a1a2，且 a3a2，则称这样的三位数为凸数(120,363,374 等)，那么所有的凸数个数为()A240 B204C729D920解析：由题意知：a10，a22.下面只需对 a22，a23，a29 分别进行讨论，并求其值后求和当 a22 时，a1，a
15、3 只能从 0,1 中取，a1 只能取 1，a3 可取 0,1，共有 2 种；当a23 时，a1 从 1,2 中任取一个有 C12种，a3 从 0,1,2 中任取一个有 C13种，所以共有 C12C13种；当a24 时，a1 从 1,2,3 中任取一个有 C13种，a3 从 0,1,2,3 中任取一个有 C14种，所以共有 C13C14种；当 a29 时，a1 从 1,2,3，8 中任取一个有 C18种，a3 从 0,1,2，8 中任取一个有 C19种，共有 C18C19种综上，可得组合成所有的凸数个数为 2C12C13C13C14C14C15C15C16C16C17C17C18C18C19240.答案：A
