1、第三章单元质量评估第卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的)1函数f(x)(x3)ex的单调递增区间是(D)A(,2) B(0,3)C(1,4) D(2,)解析:f(x)(x3)ex(x3)(ex)(x2)ex,令f(x)0,解得x2.2下列函数存在极值的是(D)Ay2x ByCy3x1 Dyx2解析:画出各选项函数的图像可知,只有yx2存在极值3.已知函数yf(x),其导函数yf(x)的图像如图所示,则yf(x)(C)A在(,0)上为减函数B在x0处取极小值C在(4,)上为减函数D在x2处取极大值解析:在(,0)
2、上,f(x)0,故f(x)在(,0)上为增函数,A错;在x0处,导数由正变负,f(x)由增变减,故在x0处取极大值,B错;在(4,)上,f(x)0,f(x)为减函数,C对;在x2处取极小值,D错4函数f(x)x34x4在区间0,3上的最大值与最小值之积为(B)A BC D解析:f(x)x24(x2)(x2)当x(0,2)时,f(x)0,f(x)单调递增,且f(0)4,f(2),f(3)1.据此可得函数在0,3上的最大值为f(0)4,最小值为f(2),则最大值与最小值之积为4,故选B.5已知a0,函数f(x)x3ax在1,)上是单调减函数,则a的最大值为(C)A1 B2C3 D4解析:由题意知f
3、(x)3x2a0在1,)上恒成立,即a3x2在1,)上恒成立,则a3,故选C.6对于在R上可导的任意函数f(x),若满足(xa)f(x)0,则必有(C)Af(x)f(a) Bf(x)a时f(x)0,当x0 Ba0Ca0 Da0解析:函数f(x)ax3x1有极值的充要条件是f(x)0有两个不相等的实数根,即3ax210有实根,当a0时显然方程没有实根,当a0时,方程有实根8函数f(x)ax25x6在区间1,3上单调递减,则实数a的取值范围为(C)AaCa Da解析:f(x)2ax5,由于f(x)在1,3上单调递减,故f(x)在1,3上不大于0,故解得a.9若函数f(x)2x36x23a对任意的x
4、(2,2)都有f(x)0,则a的取值范围为(C)A(,3) B(2,)C3,) D(0,3)解析:f(x)2x36x23a,f(x)6x212x6x(x2),在(2,0)上f(x)0,f(x)单调递增;在(0,2)上f(x)0),yx2,由y0,得x25,x(0,25)时,y0,x(25,)时,y0,所以x25时,y取最大值11设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数当x0,且g(3)0,则不等式f(x)g(x)0的解集是(D)A(3,0)(3,) B(3,0)(0,3)C(,3)(3,) D(,3)(0,3)解析:设h(x)f(x)g(x),则h(x)f(x)g(x)f(x)g(
5、x),所以h(x)是R上的奇函数,且h(3)h(3)0.当x0,所以h(x)在(,0)上是增函数,根据奇函数的对称性可知,h(x)在(0,)上也是增函数,因此h(x)2,则函数f(x)x3ax21在(0,2)上恰好有(B)A0个零点 B1个零点C2个零点 D3个零点解析:f(x)x3ax21,则f(x)x22axx(x2a),令f(x)0,得x10,x22a4,当x(0,2)时,f(x)0,f(x)在(0,2)上单调递减又f(0)f(2)14a0,即ex1,解得x0,所以所求的单调增区间为(,0)14若x2是函数f(x)x(xm)2的极大值点,则函数f(x)的极大值为32.解析:f(x)x32
6、mx2m2x,f(x)3x24mxm2,f(2)0,128mm20,m2或m6.当m2时,f(x)3x28x4.令f(x)0,则x12,x2,当x2时,f(x)0,当x2时,f(x)0,f(2)是极小值,m2应舍去当m6时,f(x)3x224x36.令f(x)0时,x12,x26,当x6时,f(x)0,当2x6时,f(x)0,f(2)是极大值,f(2)2(26)232.15已知函数f(x)xexc有两个零点,则c的取值范围是(,e1)解析:f(x)ex(x1),易知f(x)在(,1)上是减函数,在(1,)上是增函数,且f(x)minf(1)ce1,由题意得ce10,得c0)若当x(0,)时,f
7、(x)2恒成立,则实数a的取值范围是e,)解析:f(x)2即a2x22x2lnx.令g(x)2x22x2lnx,则g(x)2x(12lnx)三、解答题(本大题共6小题,共70分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17(10分)设函数f(x),求f(x)的单调区间解:f(x).当2kx,即f(x)0;当2kx2k(kZ)时,cosx,即f(x)0.因此f(x)的单调递增区间为(kZ),单调递减区间为(kZ)18(12分)已知函数f(x)lnxexm在x1处有极值,求m的值及f(x)的单调区间解:f(x)的定义域为(0,),f(x)exm.由题意得f(1)0,解得m1,f(x)ex1,利用基本
8、函数单调性可知,在(0,)上f(x)单调递减,且f(1)0,所以当0x0,f(x)单调递增,当x1时,f(x)0,f(x)单调递减f(x)的单调增区间是(0,1),单调减区间是(1,)19(12分)已知函数f(x)x3x2bxc.(1)若f(x)有极值,求b的取值范围;(2)若f(x)在x1处取得极值,且当x1,2时,f(x)0得112b0即b.所以b的取值范围是.(2)f(x)在x1处取得极值,f(1)0,31b0,得b2.则f(x)3x2x2(3x2)(x1)令f(x)0,得x1,x21,又f(1)c,fc,f(1)c,f(2)2c.f(x)max2c2或c1.c的取值范围是(,1)(2,
9、)20(12分)证明:曲线yex与yx2x1在R上有唯一的公共点证明:曲线yex与yx2x1的公共点的个数等于函数(x)exx2x1零点的个数(0)110,(x)存在零点x0.又(x)exx1,令h(x)(x)exx1,则h(x)ex1.当x0时,h(x)0时,h(x)0,(x)在(0,)上单调递增,(x)在R上有唯一的极小值(0)0,即(x)在R上的最小值为(0)0.(x)0在R上恒成立,(x)在R上是单调递增的,(x)在R上有唯一的零点故曲线yex与yx2x1在R上有唯一的公共点21(12分)已知函数f(x)(a0,r0)(1)求f(x)的定义域,并讨论f(x)的单调性;(2)若400,求
10、f(x)在(0,)内的极值解:(1)由题意知xr,所求的定义域为(,r)(r,)f(x),f(x),所以当xr时,f(x)0,当rx0,因此,f(x)的单调递减区间为(,r),(r,);f(x)的单调递增区间为(r,r)(2)由(1)的解答可知f(r)0,f(x)在(0,r)上单调递增,在(r,)上单调递减因此,xr是f(x)的极大值点,所以f(x)在(0,)内的极大值为f(r)100.无极小值22(12分)设函数f(x)emxx2mx.(1)证明:f(x)在(,0)上单调递减,在(0,)上单调递增;(2)若对于任意x1,x21,1,都有|f(x1)f(x2)|e1,求m的取值范围解:(1)证
11、明:f(x)m(emx1)2x.若m0,则当x(,0)时,emx10,f(x)0.若m0,f(x)0;当x(0,)时,emx10.所以,f(x)在(,0)上单调递减,在(0,)上单调递增(2)由(1)知,对任意的m,f(x)在1,0上单调递减,在0,1上单调递增,故f(x)在x0处取得最小值且f(0)1.所以对于任意x1,x21,1,|f(x1)f(x2)|e1的充要条件是f(x)在1,1上的最大值f(x)maxe.因为f(1)f(1)emem2m,经求导计算可知,当m0时,f(1)f(1)0,即f(1)f(1),此时要满足emme1;当m0时,f(1)f(1)0,即f(1)f(1),此时需满足emme1;当m0时,f(1)f(1)20时,令g(m)emm,则g(m)em10,当m1时,g(1)e1,所以m(0,1);当m0时,令h(m)emm,则h(m)em10,当m1时,h(1)e1,所以m(1,0)综上,m的取值范围是1,1