1、2007 年江苏省南京市金陵中学高三第三次模拟数学试题 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的。1已知集合QPxxQxxxP,2|,0)3(|=（）A（2，0）B（0，2）C（2，3）D（2，3）2如果将一组数据中的每一数据都加上同一个非零常数，那么这组数据的平均数和方差的变化情况为（）A平均数和方差都不变B平均数不变，方差改变C平均数改变，方差不变D平均数和方差都改变3设 m,n 是两条不同的直线，,是三个不同的平面。给出下列四个命题（）若nmnm则,/,；若/,则；若nmnm/,/,/则；若mm则,/,/；其中正确
2、的序号是（）A和B和C和D和4若方程5,1022在区间 axx上有解，则 a 的取值范围（）A1,523B),523C),1 D523,(5设双曲线)0,0(12222babyax的右准线与两渐近交于 A，B 两点，点 F 为右焦点，若以 AB 为直径的圆经过点 F，则该双曲线的离心率为（）A332B2C 3D26若tan,0cossin,45cossin则且（）A大于 1B等于 1C小于 1D等于17现有浓度为 25%的酒精溶液一瓶，把“每次倒出半瓶，再用水加满”称为一次操作，至少须经过 k 次这样的操作，才能使瓶中溶液的浓度不高于 1%，其中 k 的最小值为（）A4B5C6D78设函数)1
3、ln()(2xxxxf，则对任意实数 a 和 b，a+b0 是0)()(bfaf的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件9反复掷掷一个骰子，依次记录下每一次抛掷落地时向上的点数，当记有三个不同点数时即停止抛掷，若抛掷五次恰好停止，则记有这五次点数的所有不同记录结果的种数有（）A360 种B600 种C840 种D1680 种10点 P 到点 A)2,(,0,21aB及直线21x的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么 a 的取值个数为（）A1 个B2 个C3 个D无数个二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分，不需写出解答过程，请把答案直接
4、填写在答题纸相应位置上。11函数)1(11)(xxxxf的反函数为。12设地球的半径为 R，若甲地位于北纬 35东经 110，乙地位于南纬 85东经 110，则甲、乙两地的球面距离为。13采用简单随机抽样，从含有 8 个个体的总体中抽取一个容量为 4 的样本，个体 a 前三次未被抽到，第四次被抽到的概率为。14等差数列na的前 n 项和为 Sn，且25324,26,8nSTaaaann 记，如果存在正整数 M，使得对一切正整数MTnn,都成立，则 M 的最小值是。15已知函数;ln2)(xxfxexfcos3)(；xexf3)(；xxfcos3)(。其中对于)(xf定义域内的任意一个自变量1x
5、 都存在唯一个个自变量2x，使3)()(21xfxf成立的函数是。（填上所有正确结论的序号）16设yxyxz,3实数满足不等式组25531yxx若当且仅当2,5yx时，z 取得最大值，则不等式组中应增加的不等式可以是。（只要写出适合条件的一个不等式即可）三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分。请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（本小题满分 12 分）在锐角三角形 ABC 中，a，b，c 分别是角 A、B、C 的对边，qbcap),(),(cbac且qp（1）求 A 的大小；（2）记)(),62sin(sin2)(2BfBBBf求的取值范围。18（本小
6、题满分 14 分）已知OAB 是边长为 4 的正三角形，CO平面 OAB，且 CO=2，设 D、E 分别是OA、AB 的中点。（1）求证：OB/平面 CDE；（2）求点 B 到平面 CDE 的距离；（3）求二面角 OCDE 的大小。19（本小题满分 14 分）A、B 两城相距 100km，在两地之间距 A 城 xkm 处 D 地建一核电站给 A、B 两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得少于 10km。已知供电费用与供电距离的立方和供电量之积成正比，比例系数=0.25，若 A 城供电量为 20 亿度/月，B 城为 10亿度/月。（1）把两城市月供电总费用 y 表示成 x 的函数，并求其
7、定义域；（2）核电站建在距 A 城多远，才能使供电费用最小。（414.12，结果保留一位小数）20（本小题满分 14 分）如图，已知 A，B，C 是长轴长为 4 的椭圆上的三点，点 A 是长轴的一个端点，BC过椭圆中心 O，且.|2|,0ACBCBCAC（1）建立适当的坐标系，求椭圆的方程；（2）如果椭圆上有两点 P，Q，使PCQ 的平分线垂直于 AO，证明：存在实数，使ABPQ.21（本小题满分 16 分）设).2,(),(2npNpnCpnfpn数列).,(),()2(),1(),(pnfaaaapnmpppn满足（1）求证：)2,(na是等差数列；（2）求证：1212),()2,()1,
8、(2212nnCnnfnfnf；（3）设函数)()(,)2,()2,()1,()(22aHxHxnnfxnfxnfxHn试比较与)()1(212axann的大小.江苏省南京市金陵中学 20062007 学年度高三年级第三次综合练习 数学试题 一.B C D A D A B C C B二.11.)10(11xxxy12.R3213.8114.2 15.16.符合532)5(kxky的任一个,如2y等三.17.(1)3A4 分(2)2cos212sin23(22cos12)(BBBBf=1)62sin(12cos212sin23BBB8 分又 B 为锐角三角形的内角26 B65)62(6B10 分
9、1)62sin(21B)(Bf的取值范围为2,23(12 分18(1)4 分(2)72128 分(3)742arcsin14 分19.(1)333350.252010(100)5(100)2yxxxx（1090)x6 分（2）221515(100)2yxx，令0y 则441)12(100 x（舍去负根）9 分当44110 x时0y，当1004.41 x时0y.x=41.4 时 y 有极小值 12 分此时极小值为 y 在10,90上的最小值。故当 x=41.4 时，y 有最小值。答:核电站建在离 A 地41.7km 时，供电费用最省。14 分20.(1)143422yx4 分(2)由于PCQ 的
10、平分线垂直于 AO又 C（1，1）不妨设 PC 的斜率为 k，则 QC 的斜率为k，因此 PC 和 QC 的方程分别为 yk（x1）1，yk（x1）+1 6 分其中 k0，由yk（x1）1x243y24 1，消去 y 并整理得（13k2）x26k（k1）x3k26k10（）C（1，1）在椭圆上，x1 是方程（）的一个根从而 xP3k26k113k2，同理 xQ3k26k113k2，10 分从而直线 PQ 的斜率为 kPQ13又知 A（2，0），B（1，1），所以 kAB13，所以 kPQkAB所以存在实数 使得PQ=AB 成立.14 分21.（1）由 a（1，p）a（2，p）a（n，p）f（n
11、，p），令 p2，得a（1，2）a（2，2）a（n，2）f（n，2），a（1，2）a（2，2）a（n1，2）f（n1，2）（n2，且 nN*），两式相减，得 a（n，2）2)1(222nnCC4n3，且 n1 时也成立所以 a（n1，2）a（n，2）4，即a（n，2）是等差数列5 分（2）设 f（n，1）f（n，2）f（n，n）C 12nC 22nC n2nS，而 C 02nC 12nC 22nC2n2n22n，又 C2n12n C12n，C2n22n C22n，Cn2nCn2n所以 2S2Cn2n22n，所以 S22n112Cn2n1.10 分（3）H（x）f（n，1）xf（n，2）x2f（
12、n，2n）x2n，（1x）2n1，所以 H（x）H（a）（1x）2n（1a）2n为了比较 H（x）H（a）与 2n（1a）2n1（xa）的大小，即要判断（1x）2n（1a）2n2n（1a）2n1（xa）的符号设 X1x，A1a，则上式即为 X2nA2n2nA2n1（XA），设 F（X）X2nA2n2nA2n1（XA），其导数为 F（X）2nX2n12nA2n12n（X2n1A2n1）当 XA 时，F（X）0，则 F（X）是增函数，所以 F（X）F（A），且当 XA 时等号成立当 XA 时，F（X）0，则 F（X）是减函数，所以 F（X）F（A）纵上所述，H（x）H（a）2n（1a）2n1（xa），当且仅当 xa 时等号成立
