1、1在等比数列an中,若首项a11,公比q4,则该数列前5项和S5_.解析:在等比数列an中,因为a11,q4,所以S5341. 答案:3412等比数列中,|a1|1,a58a2,a5a2,则an_解析:因为|a1|1,所以a11或a11.因为a58a2a2q3,所以q38,所以q2.又a5a2,即a2q3a2,所以a20.而a2a1qa1(2)0,所以a11.故ana1(2)n1(2)n1.答案:(2)n13(2016邯郸大名一中月考改编)若等比数列an满足a1a320,a2a440,则公比q_解析:q2.答案:24等比数列an的前n项和为Sn,已知S3a210a1,a59,则a1_解析:设等
2、比数列an的公比为q,由S3a210a1得a1a2a3a210a1,即a39a1,q29,又a5a1q49,所以a1.答案:5若数列an的前n项和为Snan,则数列an的通项公式是an_.解析:Snan,Sn1an1(n2),相减得ananan1,即an2an1(n2)又S1a1,即a11,故an(2)n1.答案:(2)n16在1与4之间插入三个数使这五个数成等比数列,则这三个数分别是_解析:设等比数列的公比为q,则4q4,即q.当q时,插入的三个数是,2,2.当q时,插入的三个数是,2,2.答案:,2,2或,2,27设f(x)是定义在R上恒不为零的函数,且对任意的实数x,yR,都有f(x)f
3、(y)f(xy),若a1,anf(n)(nN*),则数列an的前n项和Sn的取值范围是_解析:由已知可得a1f(1),令xn,y1,所以f(n)f(1)f(n1),所以f(1),所以an是以f(1)为首项,f(1)为公比的等比数列所以anf(n)f(1)n,所以Sn1.因为nN*,所以Sn1.答案:8已知an是等比数列,a22,a5,则a1a2a2a3anan1(nN*)的取值范围是_解析:因为a5a2q3,所以2q3,所以q,所以a14,所以an423n,所以akak1,所以a1a2a2a3anan13232.答案:9已知an是首项为1的等比数列,若Sn是an的前n项和,且28S3S6,则数
4、列的前4项和为_解析:设数列an的公比为q.当q1时,由a11,得28S328384.而S66,两者不相等,因此不合题意当q1时,由28S3S6及首项为1,得,解得q3.所以数列an的通项公式为an3n1.所以数列的前4项和为1.答案:10已知Sn是等比数列an的前n项和,若存在mN*,满足9,则数列an的公比为_解析:设公比为q,若q1,则2,与题中条件矛盾,故q1.因为qm19,所以qm8.所以qm8,所以m3,所以q38,所以q2.答案:211已知等差数列an满足a22,a58.(1)求an的通项公式;(2)各项均为正数的等比数列bn中,b11,b2b3a4,求bn的前n项和Tn.解:(
5、1)设等差数列an的公差为d,则由已知得所以a10,d2. 所以ana1(n1)d2n2.(2)设等比数列bn的公比为q,则由已知得qq2a4,因为a46,所以q2或q3.因为等比数列bn的各项均为正数,所以q2.所以bn的前n项和Tn2n1.12(2016杭州模拟)设等差数列an的首项a1为a(a0),前n项和为Sn.(1)若S1,S2,S4成等比数列,求数列an的通项公式;(2)证明:对nN*,Sn,Sn1,Sn2不构成等比数列解:(1)设等差数列an的公差为d,则Snnad,所以S1a,S22ad,S44a6d.因为S1,S2,S4成等比数列,所以SS1S4,即(2ad)2a(4a6d)
6、,整理得d(2ad)0,所以d0或d2a.当d0时,ana(a0);当d2a时,ana(n1)d(2n1)a(a0)(2)证明:不妨设存在mN*,使得Sm,Sm1,Sm2构成等比数列,则SSmSm2,得a2madm(m1)d20,(*)若d0,则a0,这与已知矛盾;若d0,要使数列an的首项a存在,则必有(*)式的0,然而(md)22m(m1)d2(2mm2)d21,因此a11,am16,Sm,即31,解得q2,ama1qm12m116,m5.答案:53(2016山西省四校联考)等比数列an满足an0,nN*,且a3a2n322n(n2),则当n1时,log2a1log2a2log2a2n1_
7、.解析:由等比数列的性质,得a3a2n3a22n,从而得an2n,所以log2anlog22nn.log2a1log2a2log2a2n112(2n1)n(2n1)答案:n(2n1)4已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意的a,bR,满足f(ab)af(b)bf(a),f(2)2,an(nN*),bn(nN*),考察下列结论:f(0)f(1);f(x)为偶函数;数列an为等比数列;数列bn为等差数列其中正确的是_解析:令a0,b0,则f(0)0,令ab1,则f(1)2f(1),故f(0)f(1)0;设a1,bx,因为f(1)f(1)(1)2f(1),则f(1)0,所以f(x)f(
8、x)xf(1)f(x),f(x)为奇函数;设a2,b2n1,f(2n)2f(2n1)2n1f(2)2f(2n1)2n1,则数列bn为等差数列;因为b11,所以bn1(n1)1n.所以n,an2n,则数列an为等比数列答案:5设数列an的前n项和为Sn,已知a11,Sn14an2.(1)设bnan12an,证明数列bn是等比数列;(2)在(1)的条件下证明是等差数列,并求an.解:(1)证明:由a11,及Sn14an2,有a1a24a12,a23a125,所以b1a22a13.由Sn14an2,知当n2时,有Sn4an12,得an14an4an1,所以an12an2(an2an1)又因为bnan
9、12an,所以bn2bn1.所以bn是首项b13,公比q2的等比数列(2)由(1)可得bnan12an32n1,所以.所以数列是首项为,公差为的等差数列所以(n1)n.an(3n1)2n2.6已知首项为的等比数列an不是递减数列,其前n项和为Sn(nN*),且S3a3,S5a5,S4a4成等差数列(1)求数列an的通项公式;(2)设TnSn(nN*),求数列Tn的最大项的值与最小项的值解:(1)设等比数列an的公比为q,因为S3a3,S5a5,S4a4成等差数列,所以S5a5S3a3S4a4S5a5,即4a5a3,于是q2.又an不是递减数列且a1,所以q.故等比数列an的通项公式为an(1)n1.(2)由(1)得Sn1当n为奇数时,Sn随n的增大而减小,所以1SnS1,故0SnS1.当n为偶数时,Sn随n的增大而增大,所以S2SnSnS2.综上,对于nN*,总有Sn.所以数列Tn的最大项的值为,最小项的值为.