1、1从平面向量到空间向量授课提示：对应学生用书第12页一、空间向量定义在空间中，既有大小又有方向的量，叫作空间向量表示方法用a，b，c表示；用有向线段表示，如：，其中A叫作向量的起点，B叫作向量的终点自由向量数学中所讨论的向量与向量的起点无关，称之为自由向量长度或模与平面向量一样，空间向量或a的大小也叫作向量的长度或模，用|或|a|表示夹角定义如图，两非零向量a，b，在空间中任取一点O，作a，b，则AOB叫作向量a，b的夹角，记作a，b范围规定0a，b向量垂直当a，b时，向量a与b垂直，记作ab向量平行当a，b0或时，向量a与b平行，记作ab二、向量、直线、平面1直线的方向向量设l是空间一直线，
2、A，B是直线l上任意两点，则称为直线l的方向向量2平面的法向量如果直线l垂直于平面，那么把直线l的方向向量a叫作平面的法向量平面有无数个法向量，平面的所有法向量都平行疑难提示空间向量与平面向量的关系平面向量的集合是空间向量集合的子集，空间向量内容是平面向量内容的扩展因此，平面向量的概念在空间向量中仍然成立如零向量、单位向量、相等向量、相反向量、平行向量等概念在空间向量中仍然成立想一想1当空间中两直线平行时，它们的方向向量有什么样的关系？其方向向量的夹角是多少？提示：由于直线与其方向向量平行，故当两直线平行时，它们的方向向量也平行，从而其夹角为0(同向时)或(反向时)练一练2在长方体ABCDAB
3、CD的棱所在的向量中，与向量的模相等的向量至少有()A0个B3个C7个 D9个解析：与向量的模一定相等的向量有，共7个答案：C3下列命题中正确的是()A若a与b共线，b与c共线，则a与c共线B若向量a，b平行，则a，b所在直线平行C零向量没有确定的方向D直线的所有方向向量方向相同解析：对于A，若b为零向量，则a与c不一定共线，故A错；对于B，考虑到零向量与任意向量平行，可知B错；C正确；显然D错，故选C.答案：C4若空间向量m，n，p满足mn，np，则m_p.答案：授课提示：对应学生用书第13页探究一空间向量的概念辨析典例1下列关于单位向量与零向量的叙述中，正确的是()A零向量是没有方向的向量
4、，两个单位向量的模相等B零向量的方向是任意的，所有单位向量都相等C零向量的长度为0，两个单位向量不一定是相等向量D零向量只有一个方向，模相等的单位向量的方向不一定相同解析因为零向量的方向是任意的，且长度为0，两个单位向量的模相等，但方向不一定相同，故选C.答案C对于概念辨析题，准确熟练地掌握有关概念的差别，特别是细微之处的差别，是解决这类问题的关键 1下列说法正确的有_若|a|b|，则ab或ab；0方向任意；相等向量是指它们的起点与终点对应重合解析：中|a|b|仅说明模相等，方向没有限定；中相等向量指大小相等、方向相同，但起点与终点不一定重合的向量答案：2如图所示，在长方体ABCDA1B1C1
5、D1中，AB3，AD2，AA11.则以八个顶点中的两点分别为起点和终点的向量中：(1)单位向量是哪几个？(2)模为的向量是哪些？(3)与相等的向量是哪些？(4)的相反向量是哪些？解析：(1)由于长方体的高为1，所以长方体的四条高对应的向量，为单位向量(2)由于长方体左、右两侧的面的对角线长均为，故模为的向量有，.(3)与相等的向量有，.(4)的相反向量为，.探究二求向量之间的夹角典例2在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，BC的中点，求：(1)，；(2)，解析(1)如图所示，连接AC，E，F分别是AB，BC的中点，EFAC，且方向相同，0.，且方向相反，180.(2)在正方形A
6、BCD中，ABBC，90.A1B1平面A1ADD1，又AD1平面A1ADD1，A1B1AD1.，90.1在利用平面角求向量角时，要注意两种角的取值范围，线线角的范围是0，而向量夹角的范围是0，比如a，b与a，b两个角互补，而它们对应的线线角却是相等的2对于非零向量a，b而言，常有以下结论：(1)当a，b同向时，夹角为0；(2)当a，b反向时，夹角为180；(3)当a，b垂直时，夹角为90. 3.如图，在正四面体ABCD中，的大小为()A.B.C. D.解析：在正四面体ABCD中，易证ABCD，所以，的大小为.答案：C4在长方体ABCDABCD中，AB，AA1，AD，求，解析：如图，连接AC，B
7、C.，BAC的大小就等于，由长方体的性质和三角形勾股定理知，在ABC中AB2，AC3，BC.cosBAC.BAC.即，.探究三直线的方向向量与平面的法向量5如图所示，长方体ABCDA1B1C1D1中，AEAA1，AFAB.(1)可以作为哪些直线的方向向量？(2)与平行的向量有哪些？解析：(1)可以作为直线EF，直线A1B，直线D1C的方向向量(2)与平行的向量有：，.6已知正四面体ABCD.(1)过点A作出方向向量为的空间直线；(2)过点A作出平面BCD的一个法向量解析：(1)如图，过点A作直线AEBC，由直线的方向向量的定义可知，直线AE即为过点A且方向向量为的空间直线(2)如图，取BCD的中心O，由正四面体的性质可知，AO垂直于平面BCD，故向量可作为平面BCD的一个法向量对空间向量的概念理解不到位致误典例下列说法中，错误的个数为()在正方体ABCDA1B1C1D1中，；若两个非零向量与满足，则，为相反向量的充要条件是A与C重合，B与D重合A1B2C3D0解析正确正确.，且，为非零向量，所以，为相反向量错误由，知|，且与同向，但A与C，B与D不一定重合答案A错因与防范解答本题易误点：对关于向量的相等理解不到位而致误解答与空间向量有关概念问题时，应将空间向量的有关概念和平面向量的有关概念反复对照，注意它们的区别与联系，特别是细微之处的差别，同时要注意培养空间想象的能力
