1、A组基础巩固1若直线l的方向向量为a,平面的法向量为n,则能使l的是()Aa(1,0,0),n(2,0,0)Ba(1,3,5),n(1,0,1)Ca(0,2,1),n(1,0,1)Da(1,1,3),n(0,3,1)解析:la n 0,经检验只有D适合答案:D2已知(3,1,2),平面的一个法向量为n(2,2,4),点A不在平面内,则直线AB与平面的位置关系为()AABBABCAB与相交但不垂直DAB解析:因为n2(3)(2)1420,所以n.又点A不在平面内,n为平面的一个法向量,所以AB,故选D.答案:D3已知三条直线l1,l2,l3的一个方向向量分别为a(4,1,0),b(1,4,5),
2、c(3,12,9),则()Al1l2,但l1与l3不垂直Bl1l3,但l1与l2不垂直Cl2l3,但l2与l1不垂直Dl1,l2,l3两两互相垂直解析:ab(4,1,0)(1,4,5)4400,ac(4,1,0)(3,12,9)12120240,bc(1,4,5)(3,12,9)348450,ab,a与c不垂直,bc,l1l2,l2l3,但l1不垂直于l3.答案:A4已知平面的法向量是(2,3,1),平面的法向量是(4,2),若,则的值是()AB6C6 D.解析:,的法向量与的法向量也互相平行,6.答案:B5.如图,PA平面ABCD,四边形ABCD为正方形,E是CD的中点,F是AD上一点,当B
3、FPE时,AFFD等于()A12 B11C31 D21解析:建立如图所示的空间直角坐标系,设正方形边长为1,PAa.则B(1,0,0),E,P(0,0,a)设点F的坐标为(0,y,0),则(1,y,0),.BFPE,0,解得y,则F点坐标为,F为AD中点,AFFD11.答案:B6设两条不重合的直线a,b的方向向量分别是e1,e2,平面的法向量是n,有下面命题:b;ab;b; b.其中,正确命题的序号是_解析:对于,有b,不正确,正确,易判断正确答案:7已知平面,的一个法向量分别是u(1,3,0),v(3,9,0),则平面、的关系是_解析:因为v3u,所以vu,所以或与重合答案:平行或重合8若平
4、面1的一个法向量为n1(3,y,2),平面2的一个法向量为n2(6,2,z),且12,则yz_.解析:12,n1n2.y1,z4.yz3.答案:39如图,四棱锥PABCD中,PA底面ABCD,ABAD,ACCD,ABC60,PAABBC2,E是PC的中点,求证:(1)CDAE;(2)PD平面ABE.证明:(1)以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(1,0),D,P(0,0,2),E,所以,所以1010,所以CDAE.(2)由(1),得,(2,0,0),设向量n(x,y,z)是平面ABE的法向量,则由,得
5、,取y2,则n(0,2,),所以n,所以n,所以PD平面ABE.10.如图,在空间直角坐标系中,直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD为等腰梯形,ABCD,AB4,BCCD2,AA12,E,E1,F分别是棱AD,AA1,AB的中点,M是AF的中点,求证:(1)直线EE1平面FCC1;(2)平面ADD1A1平面FCC1.证明:因为D(0,0,0),D1(0,0,2),A(,1,0),F(,1,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(,0),E1(,1,1),所以(,1,0),(0,0,2),(,1),(,1,0),(0,0,2)(1)设平面FCC1的法向量为n(x,y,z),则,
6、即,令x1,可得n(1,0),则n00,所以n,又直线EE1平面FCC1,所以直线EE1平面FCC1.(2)设平面ADD1A1的法向量为m(x,y,z),则,即,令x1,可得m(1,0),由(1)知mn,即mn,所以平面ADD1A1平面FCC1.B组能力提升1.(1,5,2),(3,1,z),(x1,y,3),若ABBC,且BP平面ABC,则实数x,y,z分别为()A.,4 B.,4C.,2,4 D4,15解析:因为ABBC,所以0,即352z0,得z4,又BP平面ABC,所以,又(3,1,4),所以解得答案:B2已知直线l过点P(1,0,1)且平行于向量a(2,1,1),平面过直线l与点M(
7、1,2,3),则平面的法向量不可能是()A(1,4,2) B.C. D(0,1,1)解析:经验证D中(0,1,1)不可能为平面的法向量答案:D3已知a(1,2,3),b(1,0,1),ca2b,dmab,若cd,则m_.解析:ca2b,c(1,2,3)2(1,0,1)(1,2,1),dmab,dm(1,2,3)(1,0,1)(m1,2m,3m1)又cd,cd0,即(1,2,1)(m1,2m,3m1)0,即1m4m3m10,m0.答案:04在直角坐标系Oxyz中,已知点P(2cos x1,2cos 2x2,0)和点Q(cos x,1,3),其中x0,若直线OP与直线OQ垂直,则x的值为_解析:由
8、OPOQ,得0,即(2cos x1)cos x(2cos 2x2)(1)0.cos x0或cos x.x0,x或x.答案:或5.如图,已知ABCDA1B1C1D1是棱长为3的正方体,点E在AA1上,点F在CC1上,且AEFC11.(1)求证:E,B,F,D1四点共面;(2)若点G在BC上,BG,点M在BB1上,GMBF,垂足为H,求证:ME平面BCC1B1.证明:(1)以B为坐标原点,BA,BC,BB1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz,则B(0,0,0),E(3,0,1),F(0,3,2),D1(3,3,3)则(3,0,1),(0,3,2),(3,3,3),
9、故,共面又它们有公共点B,E,B,F,D1四点共面(2)设M(0,0,z),则,而(0,3,2),由题设得3z20,得z1.M(0,0,1),E(3,0,1),(3,0,0),又(0,0,3),(0,3,0)0,0,从而MEBB1,MEBC.又BB1BCB,BB1,BC平面BCC1B1,故ME平面BCC1B1.6.如图所示,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是DAB60且边长为2的菱形,侧面PAD为正三角形,且平面PAD平面ABCD,若点E,F分别是BC,PC上的动点,记1,2,当平面DEF平面ABCD时,试确定1与2的关系解析:过点P作PGAD于G,连接BG,则PG平面ABCD,PGBG,BGAD,以G为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,因为ADAB2,所以AG1,PGBG,所以B(,0,0),P(0,0,),C(,2,0),D(0,1,0),A(0,1,0),E(,0),F(,),(,0),(,),设平面DEF的一个法向量n(x,y,z),则所以(假设11)所以n(x,x,x)(11),当x1时,n(1,),平面ABCD的一个法向量为(0,0,),因为平面DEF平面ABCD,所以n0,所以()0(11),所以当11时,1221;当11时,有21,也满足1221,综上可得1与2的关系为1221.