1、2020年全国中考数学试题精选50题：二次函数及其应用一、单选题 1.（2020玉林）把二次函数yax2+bx+c（a0）的图象作关于x轴的对称变换，所得图象的解析式为ya（x1）2+4a，若（m1）a+b+c0，则m的最大值是（ ） A.4B.0C.2D.62.（2020铁岭）如图，二次函数 的图象的对称轴是直线 ，则以下四个结论中： ， ， ， .正确的个数是（ ） A.1B.2C.3D.43.（2020盘锦）如图，四边形 是边长为1的正方形，点 是射线 上的动点（点 不与点 ，点 重合），点 在线段 的延长线上，且 ，连接 ，将 绕点 顺时针旋转90得到 ，连接 .设 ，四边形 的面积为
2、 ，下列图象能正确反映出 与 的函数关系的是（ ） A.B.C.D.4.（2020阜新）已知二次函数 ，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（ ） A.图象的开口向上B.图象的顶点坐标是 C.当 时，y随x的增大而增大D.图象与x轴有唯一交点5.（2020丹东）如图，二次函数 （ ）的图象与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，点 坐标为 ，点 在 与 之间（不包括这两点），抛物线的顶点为 ，对称轴为直线 ，有以下结论： ；若点 ，点 是函数图象上的两点，则 ； ； 可以是等腰直角三形.其中正确的有（ ） A.1个B.2个C.3个D.4个6.（2020镇江）点P(m，n)在以y轴为对称轴
3、的二次函数yx2+ax+4的图象上.则mn的最大值等于（ ） A.B.4C. D. 7.（2020绵阳）三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（ ） A.4 米B.5 米C.2 米D.7米8.（2020眉山）已知二次函数 （ 为常数）的图象与x轴有交点，且当 时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（ ） A.B.C.D.9.（2020凉山州）二次函数 的图象如图所示，有如下结论： ； ； ； （m为实数
4、）其中符合题意结论的个数是（ ） A.1个B.2个C.3个D.4个10.（2020威海）如图，抛物线 交x轴于点A，B，交 轴于点C若点A坐标为 ，对称轴为直线 ，则下列结论错误的是（ ） A.二次函数的最大值为 B.C.D.11.（2020东营）如图，已知抛物线 的图象与x轴交于 两点，其对称轴与x轴交于点C其中 两点的横坐标分别为-1和1下列说法错误的是（ ） A.B.C.D.当 时，y随x的增大而减小12.（2020滨州）对称轴为直线x1的抛物线 （a、b、c为常数，且a0）如图所示，小明同学得出了以下结论：abc0，b24ac，4a2bc0，3ac0，abm(amb)（m为任意实数），
5、 当x1时，y随x的增大而增大，其中结论正确的个数为（ ） A.3B.4C.5D.613.（2020昆明）如图，抛物线yax2+bx+c（a0）的对称轴为直线x1，与y轴交于点B（0，2），点A（1，m）在抛物线上，则下列结论中错误的是（ ） A.ab0B.一元二次方程ax2+bx+c0的正实数根在2和3之间C.a D.点P1（t，y1），P2（t+1，y2）在抛物线上，当实数t 时，y1y214.（2020山西）竖直上抛物体离地面的高度 与运动时间 之间的关系可以近似地用公式 表示，其中 是物体抛出时离地面的高度， 是物体抛出时的速度某人将一个小球从距地面 的高处以 的速度竖直向上抛出，小球
6、达到的离地面的最大高度为（ ） A.B.C.D.15.（2020呼和浩特）关于二次函数 ，下列说法错误的是（ ） A.若将图象向上平移10个单位，再向左平移2个单位后过点 ，则 B.当 时，y有最小值 C.对应的函数值比最小值大7D.当 时，图象与x轴有两个不同的交点16.（2020长沙）“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把焦脆而不糊的豆腐块数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，“可食用率”p与加工煎炸的时间t（单位：分钟）近似满足函数关系式： （ a，b，c为常数），如图纪录了三次实验数据，根据上述函数关系和实
7、验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为( ) A.3.50分钟B.4.05分钟C.3.75分钟D.4.25分钟17.（2020深圳）二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，下列说法错误的是（ ） A.B.4ac-b20，对称轴在y轴右边， ，即b0，抛物线与 轴的交点在 轴的下方， ， ，故错误；对称轴在1左侧， -b0，故错误；当x=-2时，y=4a-2b+c0，故正确；当x=-1时，抛物线过x轴，即a-b+c=0，b=a+c，又2a+b0，2a+a+c0，即3a+c0，故正确；故答案为：B.【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，进
8、而判断；根据对称轴1求出2a与b的关系，进而判断；根据x=2时，y0可判断；由x=-1和2a与b的关系可判断.22.【答案】 B 【解析】【解答】二次函数 的图象经过 与 两点，即方程 的两个根是3和1， 可以看成二次函数y的图象沿着y轴平移m个单位,得到一个根3，由1到3移动2个单位，可得另一个根为5.由于0nm，可知方程 的两根范围在53和13，由此判断B符合该范围.故答案为：B.【分析】由题意可得方程 的两个根是3，1，方程在y的基础上加m，可以理解为二次函数的图象沿着y轴平移m个单位,由此判断加m后的两个根,即可判断选项.23.【答案】 C 【解析】【解答】解：由图象可得：a0，c0，
9、b24ac0， 1， b2a0，b24ac ， 故A选项不合题意，abc0，故B选项不合题意，当x1时，y0，ab+c0，a+c0，即ac0，故C选项符合题意，当xm时，yam2+bm+c ， 当x1时，y有最小值为ab+c ， am2+bm+cab+c ， am2+bmab ， 故D选项不合题意，故答案为：C 【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案24.【答案】 C 【解析】【解答】解：二次函数 的图像经过 ， ， 对称轴x= ，即x= ，对称轴x=b， =b，化简得c=b-1，该二次函数的图象与x轴有公共点，= = = = b=2，c=1，b+c=3，故答案为：C.【分析】根据
10、二次函数 的图像经过 ， ，可得到二次函数的对称轴x= ，又根据对称轴公式可得x=b，由此可得到b与c的数量关系，然后由该二次函数的图象与x轴有公共点列出不等式解答即可25.【答案】 D 【解析】【解答】解：由图可知二次函数的图象的开向下，所以a0,故A选项不符合题意； 因为二次函数的解析式为 ，所以图象的对称轴为直线 ，故B选项不符合题意；因为二次函数的对称轴为直线 ，A,B两点是抛物线与x轴的交点，所以A,B两点到对称轴的距离相等，设B点坐标为（b,0）,则有b-(-1)=(-1)-(-3),解得b=1,所以B点坐标为（-1,0）.故C选项不符合题意；由图形可知当x -1时,y随x的增大而
11、增大，当-1x0.又 ，b0. ， ， ,x10.y1y2.故答案为：B.【分析】首先分析出a,b,x1的取值范围，然后用含有代数式表示y1,y2 ， 再作差法比较y1,y2的大小.30.【答案】 D 【解析】【解答】抛物线开口向下， a0，b=-2a，b0，抛物线与y轴的交点在正半轴，c0，abc0，不符合题意；由图像可得当x=-1时，y=a-b+can2+bn+c，即a+bn(an+b)，(n1)，符合题意；当x=3时，函数值小于0，y=9a+3b+c0，b=-2a，即a= ，代入9a+3b+c0得9（ ）+3b+c0，+c0，-3b+2c0，即2c3b，符合题意；故答案为：D【分析】由图
12、像判断出a0，c0，即可判断；根据b=-2a可判断；根据当x=-1时函数值小于0可判断；根据当x=1时，y有最大值，y=a+b+c，当x=n时，y=an2+bn+c即可判断；当x=3时，函数值小于0，y=9a+3b+c0，且b=-2a，即a= ，代入9a+3b+c0可判断二、填空题31.【答案】 且k1 【解析】【解答】解：抛物线 与x轴有交点， ， ，又 ， ，k的取值范围是 且 ；故答案为： 且 .【分析】直接利用根的判别式进行计算，再结合 ，即可得到答案.32.【答案】 【解析】【解答】解：在所列的5个数中任取一个数有5种等可能结果，其中使抛物线y=ax2+bx+c的开口向上的有3种结果
13、， 使抛物线y=ax2+bx+c的开口向上的概率为 ，故答案为： .【分析】使抛物线y=ax2+bx+c的开口向上的条件是a0，据此从所列5个数中找到符合此条件的结果，再利用概率公式求解可得33.【答案】 【解析】【解答】解：由二次函数的图象开口向上可得a0，对称轴在y轴的右侧，b0， ab0，故不符合题意；由图象可知抛物线与x轴的交点为（1，0），与y轴的交点为（0，1），c1，a+b10，故符合题意；a+b10，a1b，b0，a10，a1，故符合题意；抛物线与y轴的交点为（0，1），抛物线为yax2+bx1，抛物线与x轴的交点为（1，0），ax2+bx10的一个根为1，根据根与系数的关系，
14、另一个根为 ，故符合题意；故答案为【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点得出c的值，然后根据抛物线与x轴交点的个数及x1时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断34.【答案】 【解析】【解答】解：根据表中x与y之间的数据，假设函数关系式为： ，并将表中(-1，0)、(0，3)、(1，4)三个点带入函数关系式，得： 解得： ，函数的表达式为： 故答案为： 【分析】根据表中x与y之间的数据，假设函数关系式为： ，并将表中的点(-1，0)、(0，3)、(1，4)、(3，0)任取三个点带入函数关系式，求出二次项系数、一次项系数、常数项即可求得答案35.【答案】 y
15、=x2+3 【解析】【解答】抛物线y=x2向上平移3个单位得到y=x2+3 故答案为：y=x2+3【分析】直接根据抛物线向上平移的规律求解36.【答案】 4 【解析】【解答】A、B的纵坐标一样, A、B是对称的两点,对称轴 ,即 ,b=4抛物线顶点(2,3)满足题意n得最小值为4,故答案为4【分析】通过A、B两点得出对称轴,再根据对称轴公式算出b,由此可得出二次函数表达式,从而算出最小值即可推出n的最小值37.【答案】 (2，5) 【解析】【解答】抛物线y=(x1)25的顶点为（1，-5）， 关于y轴对称的坐标为（-1，-5），再向右平移3个单位长度后的坐标为（2，-5），故答案为：(2，5)
16、。【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再根据题意进行变换即可求解38.【答案】 （1,0）或（2,0）或（0,2） 【解析】【解答】解：将关联数为 代入函数 得到： ，关联数为 的函数图象与x轴有两个整交点（m为正整数），y=0，即 ，因式分解得 ，又关联数为 的函数图象与x轴有两个整交点，即 m=1， ，与x轴交点即y=0解得x=1或x=2，即坐标为 或 ，与y轴交点即x=0解得y=2，即坐标为 ，这个函数图象上整交点的坐标为 或 或 ；故答案为： 或 或 .【分析】将关联数为 代入函数 得到： ，由题意将y=0和x=0代入即可.39.【答案】 或 【解析】【解答】解：对 ，当x=0时，y=3，
17、点B坐标为（0，3）， 抛物线 的对称轴是直线： ，当ABM=90时，如图1，过点M作MFy轴于点F，则 ，1+2=90，2+3=90，1=3，又MFB=BOA=90，BFMAOB， ，即 ，解得：BF=3，OF=6，点M的坐标是（ ，6）；当BAM=90时，如图2，过点A作EHx轴，过点M作MHEH于点H，过点B作BEEH于点E，则 ，同上面的方法可得BAEAMH， ，即 ，解得：AH=9，点M的坐标是（ ，9）；综上，点M的坐标是 或 .故答案为： 或 .【分析】先求出点B的坐标和抛物线的对称轴，然后分两种情况讨论：当ABM=90时，如图1，过点M作MFy轴于点F，易证BFMAOB，然后根
18、据相似三角形的性质可求得BF的长，进而可得点M坐标；当BAM=90时，辅助线的作法如图2，同样根据BAEAMH求出AH的长，继而可得点M坐标.40.【答案】 【解析】【解答】 当 时，将二次函数 的图象先向右平移m个单位长度，再向上平移 个单位长度即可得到二次函数 的图象；当 时，将二次函数 的图象先向左平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度即可得到二次函数 的图象 该函数的图象与函数 的图象形状相同，结论正确对于 当 时， 即该函数的图象一定经过点 ，结论正确由二次函数的性质可知，当 时，y随x的增大而增大；当 时，y随x的增大而减小则结论错误的顶点坐标为 对于二次函数 当 时， 即该函数
19、的图象的顶点 在函数 的图象上，结论正确综上，所有正确的结论序号是故答案为：.【分析】两个二次函数可以通过平移得到，由此即可得两个函数的图象形状相同；求出当 时，y的值即可得；根据二次函数的增减性即可得；先求出二次函数 的顶点坐标，再代入函数 进行验证即可得.三、综合题41.【答案】 （1）（2）解：当 时， 元答：零售商一次性批发200件，需要支付18000元（3）解：当 时 ，抛物线开口向下当 时， 随 的增大而增大又 为10的正整数倍时， 最大，最大值是3800当 时， 随 的增大而减小又 为10的正整数倍时， 最大，最大值是3800当 时， 随 的增大而增大时， 最大，最大值是3600
20、当 或 时， 最大，最大值是3800【解析】【解答】解：（1）当100x300时，设 与 的函数关系式为y=kx+b，(k0)， 将点（100，100），（300，80）代入y=kx+b ，(k0)，解，得 故答案填： 【分析】（1）将两点（100，100），（300，80）代入到一次函数解析式，利用待定系数法即可求解；（2）将x=200代入到（1）求出y的值，最后求得答案；（3）当 时，求得y的最大值，当 求得y的最大值，最后作答.42.【答案】 （1）解：设一次函数表达式为 ， 将 代入，得 解得 .（2）解：根据题意，得 ， 整理，得 ，解得 （不合题意，舍去）.答：该超市要想获得100
21、0元的日销售利润，每千克樱桃的售价应定为30元.（3）解：方法1： 设日销售利润为w元.，抛物线开口向下，又 ，当 时，w随x的增大而增大.当 时，w有最大值， （元）.答：当每千克樱桃的售价定为40元时，可获得最大利润，最大利润是1600元.方法2：设日销售利润为w元.，抛物线开口向下，对称轴为直线 .当 时，w随着x的增大而增大，当 时，w有最大值， （元）.答：当每千克樱桃的售价定为40元时，可获得最大利润，最大利润是1600元.【解析】【分析】（1）任选表中的两组对应数值，用待定系数法求一次函数的解析式即可；（2）销售利润=销售量 每千克所获得的利润，得 ，解出方程；（3）构造 ，利用
22、二次函数的最大值问题解决.43.【答案】 （1）y=-x+120（2）解： ，抛物线开口向下，函数有最大值当 时， 答：当销售单价是75元时，最大日利润是2025元.（3）解： 当 时， 解得 ，有两种情况 时，在对称轴左侧，w随x的增大而增大，当 时， 时，在 范围内 ，这种情况不成立， 【解析】【解答】解：（1）设解析式为 ， 将 和 代入，可得 ，解得 ，所以y与x的关系式为 ，所以答案为 ；【分析】（1）根据题中所给的表格中的数据，可以直接写出其关系式；（2）根据利润等于每件的利润乘以件数，再利用配方法求得其最值；（3）根据题意，列出关系式，再分类讨论求最值，比较得到结果.44.【答案
23、】 （1）解：PDAB,AC=3,BC=4,CP=x, ,即 . .AD= .（2）解： . 对称轴为 ,二次函数开口向下,S随x增大而减小时x的取值为2x4.【解析】【分析】(1)由比例求出CD与CP的关系式,再求出AD.(2)把AD当作底,CP当作高,利用三角形面积公式求出S与x的函数表达式,再由条件求出范围即可.45.【答案】 （1）证明：四边形ABCD是正方形， DCG=90，CF平分DCG，FCG= DCG=45，G=90，GCF=CFG=45，FG=CG，四边形ABCD是正方形，EFAE，B=G=AEF=90，BAE+AEB=90，AEB+FEG=90，BAE=FEG，B=G=90
24、，BAEGEF；（2）解：AB=BC=10，CE=2， BE=8，FG=CG，EG=CE+CG=2+FG，由（1）知，BAEGEF， ， ，FG=8，SECF= CEFG= 28=8；（3）解：设CE=x，则BE=10-x， EG=CE+CG=x+FG，由（1）知，BAEGEF， ， ，FG=10-x，SECF= CEFG= x（10-x）= ，当x=5时，SECF最大= ，当EC=5时， 的面积最大.【解析】【分析】（1）先判断出CG=FG，再利用同角的余角相等，判断出BAE=FEG，进而得出ABEEGF，即可得出结论；（2）先求出BE=8，进而表示出EG=2+FG，由BAEGEF，得出 ，
25、求出FG，最后用三角形面积公式即可得出结论；（3）同（2）的方法，即可得出SECF= ，即可得出结论.46.【答案】 （1）解：抛物线yx22mxm22m1过点B（3，5）， 把B（3，5）代入yx22mxm22m1，整理得，m24m30，解得m11，m23，当m1时，yx22x2（x1）21，其顶点A的坐标为（1，1）；当m3时，yx26xm214（x3）25，其顶点A的坐标为（3，5）；综上，顶点A的坐标为（1，1）或（3，5）；（2）解：yx22mxm22m1（xm）22m1， 顶点A的坐标为（m，2m1），点A的坐标记为（x，y），xm，y2x1；（3）解：由（2）可知，抛物线的顶点在
26、直线y2x1上运动，且形状不变， 由（1）知，当m1或3时，抛物线过B（3，5），把C（0，2）代入yx22mxm22m1，得m22m12，解得m1或3，所以当m1或3时，抛物线经过点C（0，2），如图所示，当m3或3时，抛物线与线段BC只有一个交点（即线段CB的端点），当m1时，抛物线同时过点B、C，不合题意，所以m的取值范围是3m3且m1【解析】【分析】（1）根据待定系数法求得解析式，然后把解析式化成顶点式即可求得；（2）化成顶点式，求得顶点坐标，即可得出y与x的函数表达式；（3）把C（0，2）代入yx22mxm22m1，求得m1或3，结合（1）根据图象即可求得47.【答案】 （1）解：由
27、题意得： y=500-10（x-50）=1000-10x，W=（x-40）（1000-10x）=-10x2+1400x-40000；（2）解：由题意得：-10x2+1400x-40000=8000， 解得：x1=60，x2=80，当x=60时，成本=40500-10（60-50）=1600010000不符合要求，舍去，当x=80时，成本=40500-10（80-50）=800010000符合要求，销售价应定为每件80元；（3）解：W=-10x2+1400x-40000， 当x=70时，W取最大值9000，故销售价定为每件70元时会获得最大利润9000元【解析】【分析】（1）根据题意一个月能售出
28、500件，若销售单价每涨1元，每周销量就减少10件，可得y=500-10（x-50），再利用一个月的销售量每件销售利润=一个月的销售利润列出一个月的销售利润为W，写出W与x的函数关系式；（2）令W=8000，求出x的取值即可；（3）根据二次函数最值的求法求解即可48.【答案】 （1）解：对于抛物线 当 时， ，解得 或 点A在x轴的负半轴上，点 点 是抛物线 的最高点抛物线 的对称轴为 ，即 解得 把 代入 得： 解得 则抛物线 的解析式为 设点B的坐标为 则 ，解得 或 答：抛物线 的解析式为 ，点B的坐标为 ；（2）解：设点C的坐标为 ，则点D的坐标为 由题意得： 整理得： 由二次函数的性
29、质可知，当 时，CD随a的增大而增大；当 时，CD随a的增大而减小则当 时，CD取得最大值，最大值为5， 轴边CD上的高为 则 .【解析】【分析】（1）先求出点A的坐标，再根据“点A为抛物线 的最高点”可求出b的值，然后将点A代入 可求出c的值，从而可得抛物线 的解析式，最后设点B的坐标为 ，代入 可得一个关于m、n的方程组，求解即可得； （2）设点C的坐标为 ，从而可得点D的坐标和a的取值范围，再利用二次函数的性质求出CD的最大值，然后根据三角形的面积公式即可得.49.【答案】 （1）解：由题意得：y80+20 ， y40x+880；（2）解：设每天的销售利润为w元，则有： w（40x+88
30、0）（x16）40（x19）2+360，a400，二次函数图象开口向下，当x19时，w有最大值，最大值为360元.答：当销售单价为19元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为880元.【解析】【分析】（1）销售单价为x（元），销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），则 为降低了多少个0.5元，再乘以20即为多售出的瓶数，然后加上80即可得出每天的销售量y； （2）设每天的销售利润为w元，根据利润等于每天的销售量乘以每瓶的利润，列出w关于x的函数关系式，将其写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案.50.【答案】 （1）解：设y与x之间的函数表达式为
31、 （ ），将表中数据（55，70）、（60，60）代入得： ，解得： ，y与x之间的函数表达式为 ；（2）解：由题意得： ， 整理得 ，解得 ，答：为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为60元/千克或80元/千克；（3）解：设当天的销售利润为w元，则： ，20，当 时，w最大值=800.答：当销售单价定为70元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元.【解析】【分析】（1）利用待定系数法来求一次函数的解析式即可； （2）根据单件的利润乘以销售的数量=总利润可列出关于销售单价x的方程，然后解一元二次方程即可； （3）利用每件的利润乘以销售量可得总利润，然后根据二次函数的性质来进行计算即可.
