1、立体几何第8讲空间几何体的三视图、表面积和体积题型1几何体的三视图、表面积和体积(对应学生用书第27页)核心知识储备1画几何体的三视图应遵循：“长对正、高平齐、宽相等”2柱体、锥体、台体的侧面积公式(1)S柱侧ch(c为底面周长，h为高)；(2)S锥侧ch(c为底面周长，h为斜高)；(3)S台侧(cc)h(c，c分别为上下底面的周长，h为斜高)3柱体、锥体、台体的体积公式(1)V柱体Sh(S为底面面积，h为高)；(2)V锥体Sh(S为底面面积，h为高)；(3)V台(SS)h(不要求记忆)4球体的体积公式VR3；表面积公式S4R2(其中R为球的半径)典题试解寻法【典题1】(考查多面体的体积问题)
2、如图81，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为() 【导学号：07804054】图81A64B.C16D.思路分析三视图直观图多面体的体积解析利用正方体还原几何体，如图中的三棱锥DABC所示，由三视图可知ABC的边BC2，BC边上的高为4，三棱锥DABC的高为CD4，故三棱锥DABC的体积为V244.故选D.答案D【典题2】(考查组合体的表面积问题)(2016全国卷)如图82，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径若该几何体的体积是，则它的表面积是()图82A17B18C20D28思路分析三视图球体的球体的半径几何体的表面积解析
3、由几何体的三视图可知，该几何体是一个球体去掉上半球的，得到的几何体如图设球的半径为R，则R3R3，解得R2.因此它的表面积为4R2R217.故选A.答案A【典题3】(考查立体几何中的数学文化题)(2017武昌区模拟)(立体几何中的数学文化题)中国古代数学名著九章算术中记载了公元前344年商鞅监制的一种标准量器商鞅铜方升，其三视图如图83所示(单位：寸)，若取3，其体积为12.6(单位：立方寸)，则图中的x为()图83A1.2B1.6C1.8D2.4思路分析数学文化信息提取空间几何体的体积量的计算解析该几何体是一个组合体，左边是一个底面半径为的圆柱，右边是一个长、宽、高分别为5.4x、3、1的长
4、方体，组合体的体积VV圆柱V长方体x(5.4x)3112.6(其中3)，解得x1.6.故选B.答案B类题通法1.在长方体(或正方体)中根据三视图还原几何体的直观图，能快速确定几何体中线面位置关系.2.空间几何体的体积与表面积求法(1)三视图中数据的还原：分析三视图，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系.(2)割补法：求不规则几何体的体积或表面积时，通过割补转化成规则几何体求解.(3)等积变换：涉及三棱锥的体积，注意灵活选择底面和对应的高.对点即时训练1正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱BB1的中点(如图84)，用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的正
5、视图为() 【导学号：07804055】图84C过点A，E，C1的平面与棱DD1相交于点F，且F是棱DD1的中点，截去正方体的上半部分，剩余几何体的直观图如图所示，则其正视图应为选项C.2某几何体的三视图如图85所示，则该几何体的表面积为()图85A.1BC.1D1C由三视图可知该几何体是一个圆柱和半个圆锥的组合体，故其表面积为1221，选C.题型强化集训(见专题限时集训T2、T3、T4、T5、T6、T11、T14、T15、T16、T17、T19)题型2球与几何体的切接问题(对应学生用书第28页)核心知识储备1多面体与球接、切问题求解策略(1)截面法：过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)
6、或线作截面，利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系(2)补形法：“补形”成为一个球内接长方体，则利用4R2a2b2c2求解. 2球的切、接问题的常用结论(1)长、宽、高分别为a，b，c的长方体的体对角线长等于外接球的直径，即2R.(2)棱长为a的正方体的体对角线长等于外接球的直径，即a2R.(3)棱长为a的正方体的面对角线长等于内切球的直径，即a2R.(4)若直棱柱(或有一条棱垂直于一个面的棱锥)的高为h，底面外接圆半径为x，则该几何体外接球半径R满足R2x2.典题试解寻法【典题1】(考查与球有关的几何体的切、接问题)(2016南昌二模)一个几何体的三视图如图86所示，其中正视图是正三角形，
7、则该几何体的外接球的表面积为()【导学号：07804056】图86A.BC.D思路分析三视图空间几何体确定球心求半径R.解析由三视图可知，该几何体是如图所示的三棱锥S ABC，其中HS是三棱锥的高，由三视图可知HS2，HAHBHC2，故H为ABC外接圆的圆心，该圆的半径为2.由几何体的对称性可知三棱锥SABC外接球的球心O在直线HS上，连接OB.设球的半径为R，则球心O到ABC外接圆的距离为OH|SHOS|2R|，由球的截面性质可得ROB，解得R，所以所求外接球的表面积为4R24.故选D.答案D【典题2】(考查与球有关的最值问题)(2016全国卷)在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积
8、为V的球若ABBC，AB6，BC8，AA13，则V的最大值是()A4BC6D思路分析先计算球与直三棱柱三个侧面相切时球的半径，再计算球与直三棱柱两底面相切时球的半径，半径较小的球即为所求解析由题意得要使球的体积最大，则球与直三棱柱的若干面相切设球的半径为R.因为ABC的内切圆半径为2，所以R2.又2R3，所以R，所以Vmax.故选B.答案B类题通法 多面体与球接、切问题的求解策略涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，进而画出内接、外切的几何体的直观图，确定球心的位置，找到
9、球的半径(或直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.对点即时训练1球O的球面上有四点S，A，B，C，其中O，A，B，C四点共面，ABC是边长为4的正三角形，平面SAB平面ABC，则三棱锥SABC的体积的最大值为()【导学号：07804057】A.BC.D2A取AB中点D，连接SD，CD，可知当SDAB时棱锥体积最大因为平面SAB平面ABC，交线为AB，所以SD平面ABC.解正三角形ABC可得：SABC4，球半径ROC ，SD2.故棱锥体积为24.2如图87，在四面体ABCD中，AB平面BCD，BCD是边长为6的等边三角形若AB4，则四面体ABCD外接球的表面积为_图8764由题意知四面
10、体ABCD的外接球与如图中正三棱柱的外接球是同一个球，记E、F分别为ACD和BCD的中心，连接EF，则EF的中点O为四面体ABCD外接球的球心连接AO，AE，BF，因为底面是边长为6的正三角形，所以AE6sin 602，OEAB2，所以R2OE2AE216，则外接球表面积S4R264.题型强化集训(见专题限时集训T1、T7、T8、T9、T10、T12、T13、T18、T20)三年真题| 验收复习效果(对应学生用书第29页)1(2017全国卷)某多面体的三视图如图88所示，其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形该多面体的各个面中有若干个是梯形，
11、这些梯形的面积之和为() 【导学号：07804058】图88A10B12C14D16B观察三视图可知该多面体是由直三棱柱和三棱锥组合而成的，且直三棱柱的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，侧棱长为2.三棱锥的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，高为2，如图所示因此该多面体各个面中有2个梯形，且这两个梯形全等，梯形的上底长为2，下底长为4，高为2，故这些梯形的面积之和为2(24)212.故选B.2(2017全国卷)如图89，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为()图89A90B63C42D36B法一：(割补法)由
12、几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱被截去上面虚线部分所得，如图所示将圆柱补全，并将圆柱从点A处水平分成上下两部分由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的，所以该几何体的体积V32432663故选B.法二：(估值法)由题意知，V圆柱V几何体V圆柱又V圆柱321090，45V几何体90.观察选项可知只有63符合题意故选B.3(2017全国卷)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()ABC.DB设圆柱的底面半径为r，球的半径为R，且R1，由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，r，R及圆柱的高的一半构成直角三角形r.圆柱的
13、体积为Vr2h1.故选B.4(2015全国卷)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图810，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有()图810A14斛B22斛C36斛D66斛B 设米堆的底面半径为r尺，则r8，所以r，所以米堆的体积为Vr255(立方尺)故堆放的米约有1.6222(斛)故选B.5(2015全国卷)已知A，B是球O的球面上两点，AOB90，C
14、为该球面上的动点若三棱锥OABC体积的最大值为36，则球O的表面积为()A36B64C144D256C如图，设球的半径为R，AOB90，SAOBR2.VOABCVCAOB，而AOB面积为定值，当点C到平面AOB的距离最大时，VOABC最大，当C为与球的大圆面AOB垂直的直径的端点时，体积VOABC最大为R2R36，R6，球O的表面积为4R2462144.故选C.6(2017全国卷)如图811，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，DBC，ECA，FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起DBC，ECA，FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥当ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为_. 【导学号：07804059】图8114 cm3如图，连接OD，交BC于点G，由题意，知ODBC，OGBC.设OGx，则BC2x，DG5x，三棱锥的高h，SABC2x3x3x2，则三棱锥的体积VSABChx2.令f(x)25x410x5，x，则f(x)100x350x4.令f(x)0得x2.当x(0,2)时，f(x)0，f(x)单调递增，当x时，f(x)0，f(x)单调递减，故当x2时，f(x)取得最大值80，则V4.三棱锥体积的最大值为4 cm3.
