1、第二章检测 (时间:90分钟满分:100分)一、选择题(本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知平面内动点P到两定点F1,F2的距离的和等于常数2a,关于动点P的轨迹有以下说法:点P的轨迹一定是椭圆;2a|F1F2|时,点P的轨迹是椭圆;2a=|F1F2|时,点P的轨迹是线段F1F2;点P的轨迹一定存在;点P的轨迹不一定存在.则上述说法中,正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个答案:C2.双曲().3C.4D.2答案:C3.抛物线y=4ax2(a0)的焦点坐标是()答案:B4.设抛物线的顶点在原点,焦点F在y轴上,若抛物线上的
2、点(k,-2)与点F的距离为4,则k等于()A.4或-4B.5C.5或-3D.-5或3答案:A5.若椭m=()AC答案:A6.双曲a0,b0),过焦点F1的直线交双曲线的一支上的弦长|AB|=m,另一焦点为F2,则ABF2的周长为()A.4aB.4a-mC.4a+2mD.4a-2m解析:由双曲线的定义知,|AF2|-|AF1|=2a,|BF2|-|BF1|=2a.所以|AF2|+|BF2|-|AF1|-|BF1|=|AF2|+|BF2|-|AB|=|AF2|+|BF2|-m=4a,所以|AF2|+|BF2|=4a+m.故|AF2|+|BF2|+|AB|=4a+2m.答案:C7.设点P是椭F1,
3、F2是焦点,设k=|PF1|PF2|,则k的最大值为()A.1B.2C.3D.4解析:因为点P在椭,所以|PF1|+|PF2|=2a=4.所以4=|PF1|+|PF2|故|PF1|PF2|4.答案:D8.P是椭P作椭圆长轴的垂线,垂足为点M,则PM的中点的轨迹方程为()AC解析:用代入法,设点P的坐标为(x1,y1),PM的中点的坐标为(x,y),则x1=x,y1=2y,代入椭圆方程即得PM的中点的轨迹方程.答案:B9.设双曲线的一个焦点为F,虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为()A解析:设双曲线方程a0,b0),F(c,0),B(0,b),则k
4、BF=y=b2=ac,c2-a2=ac,e2-e-1=0,解得ee1,eD.答案:D10.双曲线的虚轴长为4,离心率eF1,F2分别是它的左,右焦点,若过点F1的直线与双曲线的左支交于A,B两点,且|AB|是|AF1|,|AF2|的等差中项,则|BF1|等于()A.解析:由题意,b=2,a=c=由|AB|是|AF1|,|AF2|的等差中项及双曲线的定义得|BF1|=a.答案:C二、填空题(本大题共5个小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.若双曲b0)的渐近线方程为y=b=.解析:由双曲线渐近线方程b=1.答案:112.椭F1,F2,点P在椭圆上,若|PF1|=4,则|PF2
5、|=,F1PF2的大小为.解析:由椭圆定义得|PF2|=2a-|PF1|=6-4=2.由余弦定理可得cosF1PF2=又F1PF2是三角形的内角,故F1PF答案:213.若抛物线y2=2px(p0)上一点到准线及对称轴的距离分别为10和6,则抛物线方程为.解析:设该点坐标为(x,y).由题意知x=1|y|=6.代入抛物线方程得36=解得p=2或p=18.答案:y2=4x或y2=36x14.过点-2)且与双曲=1有公共渐近线的双曲线方程是.解析:设双曲线方程=m(m0),将已知点的坐标代入可得m=-3.故所求双曲线方程.答案:15.以下命题:两直线平行的充要条件是它们的斜率相等.过点(x0,y0
6、)与圆x2+y2=r2相切的直线方程是x0x+y0y=r2.平面内到两定点的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.抛物线上任意一点M到焦点的距离等于点M到其准线的距离.其中正确命题的序号是.解析:中斜率不一定存在;点(x0,y0)不一定在圆上;当2a=|F1F2|时,轨迹为线段.答案:三、解答题(本大题共3个小题,共25分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)已知抛物线y2=8x,过点M(2,1)的直线交抛物线于A,B两点,如果点M恰是线段AB的中点,求直线AB的方程.分析:利用“设而不求”和“点差法”解决.解:由题意知,直线斜率显然存在.设A,B两点的坐标分别为(x1,y1)
7、,(x2,y2),直线斜率为k,则y2+y1=2.将A,B两点坐标代入抛物线方程得x1,x2,-得(y2-y1)(y2+y1)=8(x2-x1)故k.所以所求直线方程为y-1=4(x-2),即4x-y-7=0.17.(8分)已知椭ab0)的离心率e4.(1)求椭圆的方程;(2)设直线l与椭圆相交于不同的两点A,B,若点A的坐标为(-a,0),|AB|l的倾斜角.分析:(1)由离心率e2ab=4可求得a,b的值.(2)用“设而不求”的方法和“弦长公式”解题.解:(1)由e3a2=4c2.再由c2=a2-b2,解得a=2b.由题意可a2b=4,即ab=2.解方程a=2,b=1.所以椭圆的方程=1.
8、(2)由(1)可知点A的坐标是(-2,0).设点B的坐标为(x1,y1),直线l的斜率为k,则直线l的方程为y=k(x+2).于是A,B两点的坐标满足方程y并整理,得(1+4k2)x2+16k2x+(16k2-4)=0.由-2xxy|AB|由|AB|整理得32k4-9k2-23=0,即(k2-1)(32k2+23)=0.解得k=1.所以直线l的倾斜角18.(9分)如图,已知抛物线C:x2=4y,过点M(0,2)任作一直线与C相交于A,B两点,过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点).(1)证明动点D在定直线上;(2)作C的任意一条切线l(不含x轴),与直线y=2相交于点N1,与
9、(1)中的定直线相交于点N2,证明|MN2|2-|MN1|2为定值,并求此定值.(1)证明:依题意可设AB方程为y=kx+2,代入x2=4y,得x2=4(kx+2),即x2-4kx-8=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1x2=-8,直线AO的方程为yBD的方程为x=x2.解得交点D的坐标x1x2=-8y1,则有y.因此D点在定直线y=-2上(x0).(2)解:依题设,切线l的斜率存在且不等于0,设切线l的方程为y=ax+b(a0),代入x2=4y得x2=4(ax+b),即x2-4ax-4b=0,由=0得(4a)2+16b=0,化简整理得b=-a2.故切线l的方程可写为y=ax-a2.分别令y=2,y=-2得N1,N2的坐标为NN则|MN2|2-|MN1|即|MN2|2-|MN1|2为定值8.
