1、第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数代数形式的四则运算 3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义 学 习 目 标核 心 素 养 1掌握复数代数形式的加、减运算法则(重点)2了解复数代数形式的加、减运算的几何意义(易错点)1通过复数代数形式的加、减运算，培养学生的数学运算核心素养2通过复数加、减运算几何意义的学习，培养学生直观想象的核心素养.自 主 预 习 探 新 知 1复数加法与减法的运算法则 设 z1abi，z2cdi 是任意两个复数，则(1)z1z2_；(2)z1z2_.(ac)(bd)i(ac)(bd)i2复数加法与减法的运算律对任意 z1，z2，z3C，有(1)z1z2
2、_；(2)(z1z2)z3_z2z1z1(z2z3)3复数加减法的几何意义复数加法的几何意义复数 z1z2 是以OZ1，OZ2 为邻边的平行四边形的对角线OZ所对应的复数 复数减法的几何意义复数z1z2是从向量OZ2 的终点指向向量OZ1 的终点的向量Z2Z1 所对应的复数 思考：类比绝对值|xx0|的几何意义，|zz0|(z，z0C)的几何意义是什么？提示|zz0|(z，z0C)的几何意义是复平面内点 Z 到点 Z0 的距离1已知复数 z134i，z234i，则 z1z2()A8i B6C68iD68iB z1z234i34i(33)(44)i6.2复数(1i)(2i)3i 等于()A1iB
3、1iCiDiA(1i)(2i)3i(12)(ii3i)1i.故选 A.3已知复数 z3i333i，则 z()A0 B6i C6 D66iD z3i333i，z(33i)(3i3)66i.4已知向量OZ1 对应的复数为 23i，向量OZ2 对应的复数为 34i，则向量Z1Z2 对应的复数为_1i Z1Z2 OZ2 OZ1(34i)(23i)1i.合 作 探 究 释 疑 难 复数加减法的运算【例 1】(1)计算：(23i)(42i)_.(2)已知 z1(3x4y)(y2x)i，z2(2xy)(x3y)i，x，y为实数，若 z1z253i，则|z1z2|_.(1)2i(2)2(1)(23i)(42i
4、)(24)(32)i2i.(2)z1z2(3x4y)(y2x)i(2xy)(x3y)i(3x4y)(2xy)(y2x)(x3y)i(5x5y)(3x4y)i53i，所以5x5y5，3x4y3，解得 x1，y0，所以 z132i，z22i，则 z1z21i，所以|z1z2|2.复数与复数相加减，相当于多项式加减法的合并同类项，将两个复数的实部与实部相加(减)，虚部与虚部相加(减)跟进训练1计算：(1)(35i)(34i)_；(2)(32i)(45i)_；(3)(56i)(22i)(33i)_.(1)6i(2)77i(3)11i(1)(35i)(34i)(33)(54)i6i.(2)(32i)(4
5、5i)(34)(25)i77i.(3)(56i)(22i)(33i)(523)(623)i11i.复数加减运算的几何意义【例 2】(1)复数 z1，z2 满足|z1|z2|1，|z1z2|2，则|z1z2|_.(2)如图所示，平行四边形 OABC 的顶点 O，A，C 对应复数分别为 0、32i、24i，试求：AO 所表示的复数，BC所表示的复数；对角线CA所表示的复数；对角线OB 所表示的复数及OB 的长度(1)2 由|z1|z2|1，|z1z2|2，知 z1，z2，z1z2 对应的点是一个边长为 1 的正方形的三个顶点，所求|z1z2|是这个正方形的一条对角线长，所以|z1z2|2.(2)解
6、 AO OA，AO 所表示的复数为32i.BCAO，BC所表示的复数为32i.CAOA OC，CA所表示的复数为(32i)(24i)52i.对角线OB OA OC，它所对应的复数 z(32i)(24i)16i，|OB|1262 37.1用复数加、减运算的几何意义解题的技巧(1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理(2)数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中2常见结论在复平面内，z1，z2 对应的点分别为 A，B，z1z2 对应的点为 C，O 为坐标原点，则四边形 OACB 为平行四边形；若|z1z2|z1z2|，则四边形 OAC
7、B 为矩形；若|z1|z2|，则四边形 OACB 为菱形；若|z1|z2|且|z1z2|z1z2|，则四边形 OACB 为正方形跟进训练2复数 z112i，z22i，z312i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数解 设复数 z1，z2，z3 在复平面内所对应的点分别为 A，B，C，正方形的第四个顶点 D 对应的复数为 xyi(x，yR)，如图则AD OD OA(x，y)(1,2)(x1，y2)BCOC OB(1，2)(2,1)(1，3)AD BC，x11，y23，解得x2，y1，故点 D 对应的复数为 2i.复数模的最值问题探究问题1满足|z|1
8、的所有复数 z 对应的点组成什么图形？提示 满足|z|1 的所有复数 z 对应的点在以原点为圆心，半径为 1 的圆上2若|z1|z1|，则复数 z 对应的点组成什么图形？提示|z1|z1|，点 Z 到(1,0)和(1,0)的距离相等，即点 Z 在以(1,0)和(1,0)为端点的线段的中垂线上3复数|z1z2|的几何意义是什么？提示 复数|z1z2|表示复数 z1，z2 对应两点 Z1 与 Z2 间的距离【例 3】(1)如果复数 z 满足|zi|zi|2，那么|zi1|的最小值是()A1 B12C2D 5(2)若复数 z 满足|z 3i|1，求|z|的最大值和最小值(1)A 设复数i，i，1i
9、在复平面内对应的点分别为 Z1，Z2，Z3，因为|zi|zi|2,|Z1Z2|2，所以点 Z 的集合为线段 Z1Z2.问题转化为：动点 Z 在线段 Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值，因为|Z1Z3|1，所以|zi1|min1.(2)解 如图所示，|OM|32122.所以|z|max213，|z|min211.1(变条件)若本例题(2)条件改为“设复数z满足|z34i|1”，求|z|的最大值解 因为|z34i|1，所以复数 z 所对应的点在以 C(3,4)为圆心，半径为 1 的圆上，由几何性质得|z|的最大值是 324216.2(变条件)若本例题(2)条件改为已知|z|1 且 zC，求|z2
10、2i|(i 为虚数单位)的最小值解 因为|z|1 且 zC，作图，如图所示：所以|z22i|的几何意义为单位圆上的点 M到复平面上的点 P(2,2)的距离，所以|z22i|的最小值为|OP|12 21.|z1z2|表示复平面内 z1，z2 对应的两点间的距离利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解.课 堂 小 结 提 素 养 1复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算2复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则1.a，b 为实数，设 z12bi，z2ai
11、，当 z1z20 时，复数abi 为()A1i B2iC3D2iD z12bi，z2ai，z1z22bi(ai)0，所以 a2，b1，即 abi2i.2已知 z12i，z212i，则复数 zz2z1 对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限B zz2z1(12i)(2i)1i，实部小于零，虚部大于零，故位于第二象限3计算|(3i)(12i)(13i)|_.5|(3i)(12i)(13i)|(2i)(13i)|34i|32425.4已知复数 z1(a22)(a4)i，z2a(a22)i(aR)，且 z1z2 为纯虚数，则 a_.1 z1z2(a2a2)(a4a22)i(aR)为纯虚数，a2a20，a2a60，解得 a1.5在复平面内，复数3i 与 5i 对应的向量分别是OA 与OB，其中 O 是原点，求向量OA OB，BA对应的复数及 A，B 两点间的距离解 向量OA OB 对应的复数为(3i)(5i)2.BAOA OB，向量BA对应的复数为(3i)(5i)82i.A，B 两点间的距离为|82i|82222 17.点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
