1、学业分层测评（二十） 方程的根与函数的零点(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1下列函数没有零点的是()Af(x)0Bf(x)2Cf(x)x21Df(x)x【解析】函数f(x)2，不能满足方程f(x)0，因此没有零点【答案】B2已知函数f(x)则函数f(x)的零点为()A.，0B2,0C.D0【解析】当x1时，由f(x)0，得2x10，所以x0.当x1时，由f(x)0，得1log2x0，所以x，不成立，所以函数的零点为0，选D.【答案】D3函数f(x)x33x5的零点所在的大致区间是() 【导学号：97030131】A(2,0)B(0,1)C(1,2)D(2,3)【解析】函数f(x)x33
2、x5是单调递减函数，又f(1)1331510，f(2)2332590，函数f(x)的零点必在区间(1,2)上，故必存在零点的区间是(1,2)，故选C.【答案】C4已知0a1，则函数y|logax|a|x|零点的个数是()A1个B2个C3个D1个或2个或3个【解析】0a1，函数y|logax|a|x|的零点的个数就等于方程a|x|logax|的解的个数，即函数ya|x|与y|logax|的交点的个数如图所示，函数ya|x|与y|logax|的交点的个数为2，故选B.【答案】B5已知方程|2x1|a有两个不等实根，则实数a的取值范围是()A(，0)B(1,2)C(0，)D(0,1)【解析】若关于x
3、的方程|2x1|a有两个不等实数根，则y|2x1|的图象与ya有两个交点，函数y|2x1|的图象如图所示：由图可得，当a(0,1)时，函数y|2x1|的图象与ya有两个交点，故实数a的取值范围是(0,1)，故选D.【答案】D二、填空题6函数f(x)的零点是_【解析】令f(x)0，即0，即x10或ln x0，x1，故函数f(x)的零点为1.【答案】17若方程|x24x|a0有四个不相等的实根，则实数a的取值范围是_【解析】由|x24x|a0，得a|x24x|，作出函数y|x24x|的图象，则由图象可知，要使方程|x24x|a0有四个不相等的实根，则0a4.【答案】(0,4)8已知函数f(x)2x
4、log3x的零点在区间上，则整数k的值为_【解析】函数f(x)2xlog3x在(0，)上单调递增函数f(x)2xlog3x最多有一个零点当k1时，区间为，当x0时，f(x)，当x时，flog320，函数f(x)在区间上存在零点，因此必然k1.【答案】1三、解答题9设函数g(x)ax2bxc(a0)，且g(1).(1)求证：函数g(x)有两个零点； 【导学号：97030132】(2)讨论函数g(x)在区间(0,2)内的零点个数【解】(1)证明：g(1)abc，3a2b2c0，cab.g(x)ax2bxab，(2ab)22a2，a0，0恒成立，故函数f(x)有两个零点(2)根据g(0)c，g(2)
5、4a2bc，由(1)知3a2b2c0，g(2)ac.当c0时，有g(0)0，又a0，g(1)0，故函数g(x)在区间(0,1)内有一个零点，故在区间(0,2)内至少有一个零点当c0时，g(1)0，g(0)c0，g(2)ac0，函数f(x)在区间(1,2)内有一零点，综合，可知函数g(x)在区间(0,2)内至少有一个零点10(2016沈阳高一检测)设函数f(x)(1)画出函数yf(x)的图象；(2)讨论方程|f(x)|a的解的个数(只写明结果，无需过程)【解】(1)函数yf(x)的图象如图所示：(2)函数y|f(x)|的图象如图所示：0a4时，方程有四个解；a4时，方程有三个解；a0或a4时，方
6、程有二个解；a0时，方程没有实数解能力提升1函数f(x)xlg x3的零点所在的区间为()A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3，)【解析】易知函数f(x)xlg x3在定义域上是增函数，f(1)1030，f(2)2lg 230，f(3)3lg 330，故函数f(x)xlg x3的零点所在的区间为(2,3)，故选C.【答案】C2偶函数f(x)在区间0，a(a0)上是单调函数，且f(0)f(a)0，则方程f(x)0在区间a，a内根的个数是()A1B2C3D0【解析】由函数零点的存在性定理可知，函数f(x)在区间0，a上只有一个零点，设为x0，则f(x0)0，又因为f(x)为偶函数，所以f(x
7、0)f(x0)0，即x0是函数在a,0内唯一的零点，故方程f(x)0在区间a，a内根的个数为2.【答案】B3已知函数f(x)且函数F(x)f(x)xa有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是_. 【导学号：97030133】【解析】由F(x)f(x)xa0，得f(x)xa，设yf(x)，yxa.做出函数f(x)的图象，当yx1时，直线yx1与yf(x)有两个交点，所以要使F(x)f(x)xa有且仅有两个零点，则有a1，即实数a的取值范围是(，1【答案】(，14(2016赣州高一检测)已知函数f(x)x2mx4在区间2,1上的两个端点处取得最大值和最小值(1)求实数m的所有取值组成的集合A；(2)
8、试写出f(x)在区间2,1上的最大值g(m)；(3)设h(x)x2x7，令F(m)其中BRA，若关于m的方程F(m)a恰有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围【解】(1)f(x)x2mx4在区间2,1上的两个端点处取得最大值和最小值，函数在区间2,1上是单调函数，又函数f(x)的图象为开口向上的抛物线，对称轴为x，必有1，或2，解得m4或m2，实数m的所有取值组成的集合Am|m4或m2(2)当m4时，2，函数f(x)在区间2,1上单调递增，函数f(x)的最大值g(m)f(1)m3；当m2时，1，函数f(x)在区间2,1上单调递减，函数f(x)的最大值g(m)f(2)2m.(3)由题意可知F(m)关于m的方程F(m)a恰有两个不相等的实数根等价于yF(m)的图象与ya的图象有两个不同的交点，作图可知实数a的取值范围为：a或1a4.
