1、第一章数列2等差数列2.1等差数列的概念及其通项公式第1课时等差数列的概念及其通项公式课后篇巩固提升必备知识基础练1.下列数列不是等差数列的是()A.1,1,1,1,1B.4,7,10,13,16C.13,23,1,43,53D.-3,-2,-1,1,2答案D2.已知在ABC中,三个内角A,B,C成等差数列,则角B等于()A.30B.60C.90D.120答案B解析因为A,B,C成等差数列,所以B是A,C的等差中项,则有A+C=2B,又因为A+B+C=180,所以3B=180,从而B=60.3.若数列an满足3an+1=3an+1,则数列an是()A.公差为1的等差数列B.公差为13的等差数列
2、C.公差为-13的等差数列D.不是等差数列答案B解析由3an+1=3an+1,得3an+1-3an=1,即an+1-an=13,所以数列an是公差为13的等差数列.4.已知等差数列1,-1,-3,-5,-89,则它的项数是()A.92B.47C.46D.45答案C解析d=-1-1=-2,设-89为第n项,则-89=a1+(n-1)d=1+(n-1)(-2),n=46.5.设数列an是公差为d的等差数列,若a2=4,a4=6,则d等于()A.4B.3C.2D.1答案D解析a4-a2=a1+3d-(a1+d)=6-4=2.d=1.6.若一个等差数列的前三项为a,2a-1,3-a,则这个数列的通项公
3、式为.答案an=n4+1,nN+解析a+(3-a)=2(2a-1),a=54.这个等差数列的前三项依次为54,32,74,d=14,an=54+(n-1)14=n4+1,nN+.7.若5,x,y,z,21成等差数列,则x+y+z的值为.答案39解析5,x,y,z,21成等差数列,y既是5和21的等差中项也是x和z的等差中项.5+21=2y,y=13,x+z=2y=26,x+y+z=39.8.已知数列an满足a1=2,an+1=2anan+2.(1)数列1an是否为等差数列?请说明理由.(2)求an.解(1)数列1an是等差数列.理由如下:a1=2,an+1=2anan+2,1an+1=an+2
4、2an=12+1an,1an+1-1an=12,即1an是首项为1a1=12,公差为d=12的等差数列.(2)由(1)可知1an=1a1+(n-1)d=n2,故an=2n.关键能力提升练9.一个等差数列的前4项是a,x,b,2x,则ab等于()A.14B.12C.13D.23答案C解析b是x,2x的等差中项,b=x+2x2=3x2.又x是a,b的等差中项,2x=a+b,a=x2,ab=13.10.在等差数列an中,a2=6,a5=15,若bn=a2n,则b15等于()A.30B.45C.90D.186答案C解析设数列an的公差为d,则a2=a1+d=6,a5=a1+4d=15,解得a1=3,d
5、=3,an=3+3(n-1)=3n,bn=a2n=6n,b15=615=90.11.在等差数列an中,a1+3a8+a15=120,则2a9-a10的值为()A.24B.22C.20D.-8答案A解析设公差为d,a1+3a8+a15=120,a1+3(a1+7d)+a1+14d=120,5a8=120.a8=24.2a9-a10=2(a1+8d)-(a1+9d)=a1+7d=a8=24.12.(2021江西鹰潭一模)图是程阳永济桥,又名“风雨桥”,因为行人过往能够躲避风雨而得名.已知程阳永济桥上的塔从上往下看,其边界构成的曲线可以看作正六边形结构,如图所示,且各层的六边形的边长均为整数,从内往
6、外依次成等差数列,若这四层六边形的周长之和为156,且图中阴影部分的面积为3323,则最外层六边形的周长为()A.30B.42C.48D.54答案C解析设该图形中各层的六边形边长从内向外依次为a1,a2,a3,a4成等差数列,由题意得6(a1+a2+a3+a4)=156,即a1+a2+a3+a4=26,所以2a1+3d=13.因为阴影部分的面积S=634(a22-a12)=3323,所以2a1d+d2=11,联立得2a1+3d=13,2a1d+d2=11,解得a1=5,d=1或a1=-74,d=112(不合题意,舍去),故a4=a1+3d=8,所以最外层六边形的周长为48.13.(多选题)等差
7、数列an中,a1=1,公差d1,2,且a3+a9+a15=15,则实数的可能取值为()A.-13B.-1917C.-32D.-2答案AB解析a1=1,a3+a9+a15=15,1+2d+(1+8d)+1+14d=15,整理得d=13-16+8,d1,2,13-16+81,13-16+82,解得-1917-13.实数的可能取值为-13,-1917.14.(多选题)(2021江苏南通期末)在等差数列an中每相邻两项之间都插入k(kN+)个数,使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列bn.若b9是数列an的项,则k的值可能为()A.1B.3C.5D.7答案ABD解析由题意得a1=b1,a2=bk+
8、2,a3=b2k+3,a4=b3k+4,等差数列an中的项在新的等差数列bn中间隔排列,且下标是以1为首项,k+1为公差的等差数列,则an=b1+(n-1)(k+1),b9是数列an的项,令1+(n-1)(k+1)=9,当n=2时,k=7,当n=3时,k=3,当n=5时,k=1,故k的值可能是1,3,7.15.已知数列an中,a1=1,an-1-an=anan-1(n2,nN+),则a10=.答案110解析易知an0,数列an满足an-1-an=anan-1(n2,nN+),1an-1an-1=1(n2,nN+),故数列1an是等差数列,且公差为1,首项为1,1a10=1+9=10,a10=1
9、10.16.首项为-24的等差数列,从第10项起开始为正数,则公差d的取值范围是.答案83,3解析设an=-24+(n-1)d,则a9=-24+8d0,a10=-24+9d0,解得83d3.17.已知数列an满足an+1=6an-4an+2,且a1=3(nN+).(1)证明:数列1an-2是等差数列;(2)求数列an的通项公式.(1)证明由1an+1-2=16an-4an+2-2=an+2(6an-4)-2(an+2)=an+24an-8=(an-2)+44(an-2)=1an-2+14,得1an+1-2-1an-2=14,nN+,故数列1an-2是等差数列.(2)解由(1)知1an-2=1a1-2+(n-1)14=n+34,所以an=2n+10n+3,nN+.学科素养创新练18.已知等差数列an满足a3=5,a4+a6=18.(1)求an的通项公式;(2)若对一切nN+,ann恒成立,求的取值范围.解(1)设等差数列an的首项为a1,公差为d,由a3=5,a4+a6=18,得a1+2d=5,a1+3d+a1+5d=18,解得a1=1,d=2,an=2n-1,nN+.(2)由ann恒成立,得2n-1n恒成立,即2-1n对一切nN+恒成立,当n=1时,2-1n取最小值1,1,即的取值范围是(-,1.5
