1、单元质检十二概率(A)(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.已知函数f(x)=2x(x0),其值域为D,在区间(-1,2)上随机取一个数x,则xD的概率是()A.12B.13C.14D.23答案:B解析:函数f(x)=2x(xk)=P(Xk)=P(Xk-4),k+(k-4)=25,k=7,故选B.6.设随机变量X服从二项分布XB5,12,则函数f(x)=x2+4x+X存在零点的概率是()A.56B.45C.3132D.12答案:C解析:函数f(x)=x2+4x+X存在零点,=16-4X0,X4.随机变量X服从二项分布XB5,12,P(X4)=1-
2、P(X=5)=1-125=3132.二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯,汽车在这三处通行的概率分别为13,12,23,则汽车在这三处停车一次的概率为.答案:718解析:设汽车分别在甲、乙、丙三处通行为事件A,B,C,停车为A,B,C,则P(A)=13,P(B)=12,P(C)=23,停车一次即为事件(ABC)(ABC)(ABC)发生,故所求概率为1-131223+131-1223+13121-23=718.8.在区间0,1上随机抽取两个数x,y,则事件“xy12”发生的概率为.答案:1-ln22解析:设P(x,y).0x1,0y1,点P落在正
3、方形OABC内部(含边界),如图.作曲线y=12x,交正方形OABC于D,E两点,则满足条件xy12的点P落在区域BDE内(含边界),如图阴影部分所示.由于S阴影=121-12112xdx=12-12ln2.因此“xy12”发生的概率为S阴影S正方形OABC=12-12ln2.三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)11分制乒乓球比赛,每赢一球得1分.当某局打成1010平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方1010平后,甲先发球,两人又打了X
4、个球该局比赛结束.(1)求P(X=2);(2)求事件“X=4且甲获胜”的概率.解:(1)X=2就是1010平后,两人又打了两个球该局比赛结束,则这两个球均由甲得分,或者均由乙得分.因此P(X=2)=0.50.4+(1-0.5)(1-0.4)=0.5.(2)X=4且甲获胜,就是1010平后,两人又打了4个球该局比赛结束,且这4个球的得分情况为:前两球是甲、乙各得1分,后两球均为甲得分.因此所求概率为0.5(1-0.4)+(1-0.5)0.40.50.4=0.1.10.(15分)为迎接2022年北京冬奥会,推广滑雪运动,某滑雪场开展滑雪促销活动,该滑雪场的收费标准是:滑雪时间不超过1小时免费,超过
5、1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动,设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为14,16;1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为12,23;两人滑雪时间都不会超过3小时.(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率;(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量,求的分布列与均值E().解:(1)甲、乙两人所付费用相同即为0元、40元、80元.都付0元的概率为P1=1416=124,都付40元的概率为P2=1223=13,都付80元的概率为P3=1-14-121-16-23=124,故所付费用相同的概率为P1+P2+P3=512.(
6、2)由题意,得甲、乙两人所付的滑雪费用之和的可能取值为0,40,80,120,160,P(=0)=1416=124,P(=40)=1423+1216=312,P(=80)=141-16-23+1-14-1216+1223=1024,P(=120)=121-16-23+231-14-12=312,P(=160)=1-14-121-16-23=124,故的分布列为04080120160P1243121024312124均值E()=0124+40312+801024+120312+160124=80.11.(15分)某学校就某岛有关常识随机抽取了16名学生进行测试,用“十分制”以茎叶图方式记录了他们
7、对该岛的了解程度,分别以分数中小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶.(1)指出这组数据的众数和中位数;(2)若所得分数不低于9.5分,则称该学生对该岛“非常了解”.求从这16人中随机选取3人,求至多有1人“非常了解”的概率;(3)以这16人的样本数据来估计该所学校学生的总体数据,若从该所学校(人数可视为很多)任选3人,记表示抽到“非常了解”的人数,求的分布列及均值.解:(1)众数:8.6;中位数:8.7+8.82=8.75.(2)设Ai表示所取3人中有i人对该岛“非常了解”,至多有1人对该岛“非常了解”记为事件A,则P(A)=P(A0)+P(A1)=C123C163+C41C122C163=121140.(3)的可能取值为0,1,2,3.P(=0)=343=2764;P(=1)=C3114342=2764;P(=2)=C3214234=964;P(=3)=143=164.所以的分布列为0123P27642764964164E()=02764+12764+2964+3164=0.75.另解:的可能取值为0,1,2,3,则B3,14,P(=k)=C3k14k343-k.所以E()=314=0.75.
