1、抛物线基础篇【基础集训】考点一抛物线的定义及标准方程1.设抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,若F到直线y=3x的距离为3,则p为()A.2B.4C.23D.43答案B2.已知抛物线y2=4x上一点P到准线的距离为d1,到直线l:4x-3y+11=0的距离为d2,则d1+d2的最小值为()A.3B.4C.5D.7答案A3.已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,ABC三个顶点都在抛物线上,且ABC的重心为抛物线的焦点,若BC边所在直线的方程为x+4y-20=0,则抛物线的方程为()A.y2=16xB.y2=8xC.x2=16yD.x2=8y答案C4.抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,O为坐
2、标原点,M为抛物线上一点,且|MF|=4|OF|,MFO的面积为43,则抛物线方程为()A.y2=6xB.y2=8xC.y2=16xD.y2=152x答案B5.已知抛物线C:y=mx2(mR,m0)过点P(-1,4),则抛物线C的准线方程为.答案y=-1166.抛物线y2=8x的焦点为F,点A(6,3),P为抛物线上一点,且P不在直线AF上,则PAF周长的最小值为.答案137.已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,点P为抛物线上的动点,点M为其准线上的动点,若FPM是边长为6的等边三角形,则此抛物线的方程为.答案y2=6x考点二抛物线的几何性质8.已知点F是抛物线y2=2x的焦点,M,N是
3、该抛物线上的两点,若|MF|+|NF|=4,则线段MN中点的横坐标为()A.32B.2C.52D.3答案A9.O为坐标原点,F为抛物线C:y2=42x的焦点,P为C上一点,若|PF|=42,则POF的面积为()A.2B.22C.23D.4答案C10.抛物线x2=y的焦点F的坐标为,若该抛物线上有一点P满足|PF|=54,且P在第一象限,则点P的坐标为.答案0,14;(1,1)考点三直线与抛物线的位置关系11.已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,过点A的直线与C在第一象限相切于点B,记C的焦点为F,则直线BF的斜率为()A.12B.23C.34D.43答案D12.已知F为抛物线
4、y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,OAOB=2(其中O为坐标原点),则ABO与AFO面积之和的最小值是()A.2B.3C.1728D.10答案B13.平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x=-1的距离相等.若机器人接触不到过点P(-1,0)且斜率为k的直线,则k的取值范围是.答案(-,-1)(1,+)教师专用题组【基础集训】考点一抛物线的定义及标准方程1.(2017辽宁鞍山铁东四模,7)过抛物线y2=2px(p0)的焦点作直线交抛物线于P,Q两点,若线段PQ中点的横坐标为3,|PQ|=10,则抛物线的方程是()A.y2=4xB.y2=2xC.y2=8
5、xD.y2=6x答案C设抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,P(x1,y1),Q(x2,y2),|PQ|=|PF|+|QF|=x1+p2+x2+p2=x1+x2+p,线段PQ中点的横坐标为3,|PQ|=10,10=6+p,得p=4,抛物线方程为y2=8x,故选C.2.(2018云南昆明质检,7)已知点M是抛物线C:y2=2px(p0)上一点,F为C的焦点,MF的中点坐标是(2,2),则p的值为()A.1B.2C.3D.4答案D抛物线C:y2=2px的焦点为Fp2,0,设My122p,y1,由中点坐标公式可知p2+y122p=22,y1=22,解得p=4,故选D.3.(2018江苏南京、盐城高
6、三一模,6)若抛物线y2=2px(p0)的焦点与双曲线x24-y25=1的右焦点重合,则实数p的值为.答案6解析c2=4+5=9,故双曲线的右焦点为(3,0),所以p2=3,解得p=6.考点二抛物线的几何性质1.(2019云南曲靖一中1月月考,10)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则OAB的面积为()A.334B.938C.6332D.94答案D解法一:由公式得SAOB=p22sin,其中=30,p=32,所以SAOB=94,选D.解法二:易知直线AB的方程为y=33x-34,与y2=3x联立并消去x得4y2-123y-9=0.设A(x
7、1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=33,y1y2=-94.SOAB=12|OF|y1-y2|=1234(y1+y2)2-4y1y2=94.故选D.2.(2019广东佛山一中高三期中,5)已知正六边形ABCDEF的边长是2,一条抛物线恰好经过该正六边形相邻的四个顶点,则抛物线的焦点到准线的距离是()A.34B.32C.3D.23答案B如图所示,x轴过正六边形的中心O,且平分其一组对边,设B(x0,1),则A(x0+3,2),设抛物线方程为y2=2px,p0,则1=2px0,4=2p(x0+3),解得p=32,因此焦点到准线距离为32,故选B.3.(2020北师大附中期中,13)已知抛物
8、线y2=2px(p0)的焦点为F,准线与x轴的交点为M,N为抛物线上一点,且满足|MN|=2|NF|,则NMF=.答案3解析本题考查抛物线的定义,考查学生运用数形结合的思想方法分析问题与解决问题的能力,体现直观想象与数学运算的核心素养.过点N作NH准线l,垂足为H,由抛物线的定义可得|NF|=|NH|,在直角三角形NMH中,由|MN|=2|NH|,可得cosMNH=|NH|MN|=12,故NMF=MNH=3.综合篇【综合集训】考法一求与抛物线定义有关问题的方法1.(2019湖南岳阳二模,4)过抛物线x2=4y的焦点F作直线,交抛物线于P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点,若y1+y2=6
9、,则|P1P2|=()A.5B.6C.8D.10答案C2.(2020山东滨州三模,7)已知抛物线C:y2=4x与圆E:(x-1)2+y2=9相交于A,B两点,点M为劣弧AB上不同A,B的一个动点,平行于x轴的直线MN交抛物线于点N,则MNE的周长的取值范围为()A.(3,5)B.(5,7)C.(6,8)D.(6,8答案C3.(2019吉林第三次调研测试,12)已知抛物线y2=4x的焦点为F,点A(4,3),P为抛物线上一点,且P不在直线AF上,则PAF周长取最小值时,线段PF的长为()A.1B.134C.5D.214答案B4.(多选题)(2020山东聊城二模,10)已知抛物线C:y2=2px(
10、p0)过点P(1,1),则下列结论正确的是()A.点P到抛物线焦点的距离为32B.过点P作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q,则OPQ的面积为532C.过点P与抛物线相切的直线方程为x-2y+1=0D.过点P作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于M,N点,则直线MN的斜率为定值答案BCD考法二抛物线焦点弦问题的求解方法5.(2020山东临沂、枣庄临考演练,6)已知F是抛物线y2=2px(p0)的焦点,过F的直线与抛物线交于A,B两点,AB的中点为C,过C作抛物线准线的垂线,交准线于C1,若CC1的中点为M(1,4),则p=()A.4B.8C.42D.82答案B6.(多选题)(2020山东威海三模,
11、11)已知抛物线y2=2px(p0)上三点A(x1,y1),B(1,2),C(x2,y2),F为抛物线的焦点,则()A.抛物线的准线方程为x=-1B.若FA+FB+FC=0,则FA,FB,FC成等差数列C.若A,F,C三点共线,则y1y2=-1D.若AC=6,则AC的中点到y轴距离的最小值为2答案ABD7.(2020山东仿真联考2,14)已知抛物线y2=2px(p0)与直线l:4x-3y-2p=0在第一、四象限分别交于A,B两点,F是抛物线的焦点,若|AF|=|FB|,则=.答案4教师专用题组【综合集训】考法一求与抛物线定义有关问题的方法1.(2019江苏盐城中学月考)已知抛物线C1:x2=2
12、py(p0)的准线与抛物线C2:x2=-2py(p0)交于A,B两点,C1的焦点为F,若FAB的面积等于1,则C1的方程是.答案x2=2y解析由题意得F0,p2,不妨设Ap,-p2,B-p,-p2,所以SFAB=122pp=1,则p=1,即抛物线C1的方程是x2=2y.2.(2016江苏扬州中学月考,12)已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点在x轴上,ABC的三个顶点都在抛物线上,并且ABC的重心是抛物线的焦点,BC边所在的直线方程为4x+y-20=0,则抛物线的方程为.答案y2=16x解析设抛物线的方程为y2=2px(p0),由4x+y-20=0,y2=2px可得2y2+py-20p=0,设B(x1,y1),C(x2,y2),则y1+y2=-p2,故x1+x2=5-y14+5-y24=10-14(y1+y2)=10+p8.设A(x3,y3),由三角形重心为Fp2,0,可得x1+x2+x33=p2,y1+y2+y33=0,所以x3=11p8-10,y3=p2,因为A在抛物线上,所以p22=2p118p-10,从而p=8,所以所求抛物线方程为y2=16x.
